183495 (743583), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(5')

Из (2) с очевидностью следует система уравнений вида:

, (6)

Результат вычисления полного дифференциала для каждой из функций

Представим (6) в "развернутом" виде, используя концепцию зависимых и независимых переменных:

, (6')

Заметим, что (6') в отличии от (5') представляет собой систему, состоящую из уравнений.

Умножим каждое -ое уравнение системы (6') на соответствующий -ый множитель Лагранжа. Сложим их между собой и с уравнением (5') и получим выражение:

(7)

Распорядимся множителями Лагранжа таким образом, чтобы выражение в квадратных скобках под знаком первой суммы (иными словами, коэффициенты при дифференциалах независимых переменных , ) равнялось нулю.

Термин "распорядимся" множителями Лагранжа вышеуказанным образом означает, что необходимо решить некоторую систему из уравнений относительно .

Структуру такой системы уравнений легко получить приравняв выражение в квадратной скобке под знаком первой суммы нулю:

, (8)

Перепишем (8) в виде

, (8')

Система (8') представляет собой систему из линейных уравнений относительно известных: . Система разрешима, если (вот почему, как и в методе исключения в рассматриваемом случае должно выполняться условие ). (9)

Поскольку в ключевом выражении (7) первая сумма равна нулю, то легко понять, что и вторая сумма будет равняться нулю, т.е. имеет место следующая система уравнений:

(10)

Система уравнений (8) состоит из уравнений, а система уравнений (10) состоит из уравнений; всего уравнений в двух системах, а неизвестных

: ,

Недостающие уравнений дает система уравнений ограничений (2):

,

Итак, имеется система из уравнений для нахождения неизвестных:

(11)

Полученный результат – система уравнений (11) составляет основное содержание ММЛ.

Легко понять, что систему уравнений (11) можно получить очень просто, вводя в рассмотрение специально сконструированную функцию Лагранжа (3).

Действительно

, (12)

, (13)

Итак, система уравнений (11) представима в виде (используя (12), (13)):

(14)

Система уравнений (14) представляет необходимое условие в классической задаче условной оптимизации.

Найденное в результате решение этой системы значение вектора называется условно-стационарной точкой.

Для того, чтобы выяснить характер условно-стационарной точки необходимо воспользоваться достаточными условиями.

5.3 Достаточные условия в классической задаче условной оптимизации. Алгоритм ММЛ

Эти условия позволяют выяснить, является ли условно-стационарная точка точкой локального условного минимума, или точкой локального условного максимума.

Относительно просто, подобно тому, как были получены достаточные условия в задаче на безусловный экстремум. Можно получить достаточные условия и в задаче классической условной оптимизации.

Результат этого исследования:

где - точка локального условного минимума.

где - точка локального условного максимума, - матрица Гессе с элементами

,

Матрица Гессе имеет размерность .

Размерность матрицы Гессе можно уменьшить, используя условие неравенства нулю якобиана: . При этом условии можно зависимые переменные выразить через независимые переменные , тогда матрица Гессе будет иметь размерность , т.е. необходимо говорить о матрице с элементами

,

тогда достаточные условия будут иметь вид:

, - точка локального условного минимума.

, - точка локального условного максимума.

Доказательство: Алгоритм ММЛ:

1. составляем функцию Лагранжа: ;

1. используя необходимые условия, формируем систему уравнений:

1. из решения этой системы находим точку ;

2. используя достаточные условия, определяем, является ли точка точкой локального условного минимума или максимума, затем находим

1.5.4. Графо-аналитический метод решения классической задачи условной оптимизации в пространстве и его модификации при решении простейших задач ИП и АП

Этот метод использует геометрическую интерпретацию классической задачи условной оптимизации и основан на ряде важных фактов, присущих этой задаче.

; ; ;

В - общая касательная для функции и функции , представляющей ОДР .

Как видно из рисунка точка - точка безусловного минимума, точка точка условного локального минимума, точка - точка условного локального максимума.

Докажем, что в точках условных локальных экстремумов кривая и соответствующие линии уровня

; .

Из курса МА известно, что в точке касания выполняется условие

где - угловой коэффициент касательной, проведенной соответствующей линией уровня; - угловой коэффициент касательной, проведенной к функции

Известно выражение (МА) для этих коэффициентов:

;

Докажем, что эти коэффициенты равны.

;

потому что об этом "говорят" необходимые условия

.

Вышесказанное позволяет сформулировать алгоритм ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации:

1. строим семейство линий уровня целевой функции:

; ;

1. строим ОДР, используя уравнение ограничения

1. с целью внесения исправления возрастания функции , находим и выясняем характер экстремальных точек;

2. исследуем взаимодействие линий уровня и функции , находя при этом из системы уравнений координаты условно стационарных точек – локальных условных минимумов и локальных условных максимумов.

3. вычисляем

Следует особо отметить, что основные этапы ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации совпадают с основными этапами ГФА метода решения задач НП и ЛП, отличие лишь в ОДР , а также в нахождении местоположения экстремальных точек в ОДР (например, в задачах ЛП эти точки обязательно находятся в вершинах выпуклого многоугольника, представляющего ОДР ).

5.5. О практическом смысле ММЛ

Представим классическую задачу условной оптимизации в виде:

(1)

(2)

где - переменные величины, представляющие в прикладных технических и экономических задачах переменные ресурсы.

В пространстве задача (1), (2) принимает вид:

(1')

где - переменная величина. (2')

Пусть - точка условного экстремума:

При изменении изменяется

, т.е.

Соответственно изменится и значение целевой функции:

Вычислим производную:

. (3)

(4)

(5)

Из (3), (4), (5) . (6)

Из (5) . (5')

Подставим (5') в (3) и получаем:

(6')

Из (6) , что множитель Лагранжа характеризует "реакцию" значение (ортогональна значению целевой функции) на изменения параметра .

В общем случае (6) принимает вид:

; (7)

Из (6), (7) , что множитель , характеризует изменение при изменении соответствующего -того ресурса на 1.

Если - максимальная прибыль или минимальная стоимость, то , характеризует изменения этой величины при изменении , на 1.

5.6. Классическая задача условной оптимизации, как задача о нахождении седловой точки функции Лагранжа:

Пара называется седловой точкой, если выполняется неравенство.

(1)

Очевидно, что из (1) . (2)

Из (2) , что . (3)

Как видно система (3) содержит уравнений, подобных тем уравнениям, которые представляют необходимое условие в классической задаче условной оптимизации:

(4)

где - функция Лагранжа.

В связи с аналогией систем уравнений (3) и (4), классическую задачу условной оптимизации можно рассматривать как задачу о нахождении седловой точки функции Лагранжа.

Характеристики

Список файлов реферата