183458 (743577), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Технократичний підхід, домінуючий в перших докладах римському клубу (Форрестер, Медоуз і ін.) згодом стимулював розвиток і чисто гуманітарних аспектів проблеми. Глобальне моделювання стало модним науковим напрямом, в якому опинилися задіяними дослідники самих різних спеціальностей: математики, економісти, політологи, демографи. Різноманітність підходів і проектів в дослідженні процесів світового розвитку привела до необхідності класифікації моделей і їх осмислення, визначення місця і ролі конкретних моделей в існуючому їх різноманітті. Таким чином, поставлена проблема узгодження локальних моделей повинна бути вирішена в системі багатопараметричної макромоделі світового розвитку, об'єднуючої основні національні, регіональні і глобальні моделі розвитку. Частково ця ідея реалізована у відомій системі LINK. Універсальна модель світового розвитку виявляє собою своєрідний банк моделей, заснованої на системі класифікації, кодування і програмно-орієнтованого доступу, передбаченого системою генерації нових локальних моделей.
Ситуація з організацією подібного банку моделей багато в чому аналогічна з ситуацією навкруги різноманіття методів кластерного аналізу, широко вживаного для структурної класифікації потоків інформації. Не існує єдиного алгоритму кластер-аналізу, однаково добре працюючого як на слабо структурованих масивах інформації, так і на масивах, з яскраво вираженими „згустками”. Тому, для дослідження конкретного інформаційного масиву має сенс вибирати з банку алгоритмів той метод, який дасть якнайкращу (в значенні відповідного критерію) класифікацію. Такий вибір відповідного методу може бути здійснений автоматично з використанням попередньої процедури детермінації початкового масиву. Функціонал якості класифікації може бути вибраний різним чином на наявній безлічі алгоритмів кластер-аналізу.
У відмінності від ситуації з побудовою універсального алгоритму кластер-аналізу створення універсальної моделі світового розвитку як своєрідного банку національних, регіональних і глобальних моделей полегшується наявністю в безлічі існуючих моделей світового розвитку часткового порядку по вкладенню: регіональні і глобальні моделі створюються в основному як синтез національних моделей. Тому нижнім (початковим) рівнем універсальної моделі буде набір національних і регіональних моделей розвитку. Верхнім же рівнем будуть як існуючі макромоделі, засновані на синтезі національних моделей, так і нові моделі, що описують взаємодію вибраних моделей нижнього рівня. При цьому основну роль гратиме взаємозв’язка (балансування) моделей нижнього рівня, з яких будується модель верхнього рівня. Загальна ідея взаємозв’язки моделей розвитку належить Л. Клейну - професору пенсільванського університету (США), яка реалізована в розробленому під його керівництвом проекті „ЛІНК”. Основною задачею при такому підході до ув'язки різних національних моделей є прогнозування матриці парних взаємостосунків між країнами (торгових потоків в економічних моделях), що в системі „ЛІНК” робиться за допомогою методу Стоуна-Морігучі. Для підвищення точності прогнозів можна також використовувати метод Бокса-Дженкінса прогнозування тимчасових рядів або - спектральні методи, які можуть бути ефективні як при довгостроковому, так і при короткостроковому прогнозуванні. Принципова відмінність побудови універсальної моделі світового розвитку як спеціально організованого банку національних моделей від побудови універсального алгоритму кластер-аналізу як банка окремих процедур класифікації полягає в наступному. Окремі алгоритми структурної класифікації даних займають відносно невеликий об'єм машинної пам'яті і не вимагають, як правило, скільки-небудь значної витрати машинного часу. Універсальна модель, що вибирає для дослідження пропонованого інформаційного масиву відповідну систему класифікації з тих, що є в банку, принципово може бути створена. Такі моделі у вигляді пакетів прикладних програм для статистичної обробки даних створені, наприклад, в ЦЕМІ РАН під керівництвом С.А. Айвазяна. Створення ж аналогічного пакета національних моделей в одній системі зіткнеться з великими технічними труднощами, викликаними необхідністю мати в машинній пам'яті великий набір програм, що реалізовують моделі національного, регіонального або світового розвитку.
Таким чином, на перший план висувається задача організації кодування
і класифікації окремих моделей, що входять в банк - каталог, що виявляє собою шукану універсальну модель. Роль універсальної моделі в дослідженні заданого об'єкту (країни, регіону) припускає тим самим не остаточне обчислення значень фазових змінних, а вказівка параметрів моделі, кото-1 раю дасть ці значення з найбільшою правдоподібністю в порівнянні з іншими моделями. Відзначимо, що в задачах ухвалення рішення в багатокритерійному випадку згортка критеріїв приводить до втрати інформації: будь-який вектор несе в собі більше інформації, ніж одержуваний з нього скаляр. Точно також, якщо ми хочемо, щоб універсальна модель несла в собі інформації не менше ніж будь-які з існуючих локальних моделей національного, регіонального або світового розвитку, потрібна не „згортка” цих моделей, а організація доступу до всієї групи, що представляється, моделей.
Нарешті, взаємозв’язка моделей в універсальній моделі повинна бути під контролем деякого глобального універсального векторного критерію. В системі міжнародних відносин дослідник, що стоїть на позиції детермінізму, повинен визнавати наявність світового порядку як вищої мети над національними (локальними) критеріями. Такий критерій може реалізовуватися в конкретних випадках по-різному, він може бути інтерпретований різними способами, але, безумовно, одне - такий критерій повинен бути вкладений в інший, більш могутній, але він не може бути незрівнянний з іншим таким критерієм. Одним з таких критеріїв в теорії міжнародних відносин є поняття „потужності”, „могутність” - термін „POWER”, введений Г. Моргентау і має витоки в античній теорії державного пристрою як символ справедливого правління.
1.2.3. Функціональні простори і проблема представлення залежності як суперпозиції елементарних
Розглядаючи політичні процеси і об'єкти як функції на безлічі політичних індикаторів, ми тим самим стаємо перед проблемою характеризації цих математичних об'єктів, знаходженні серед них основних, базових, з яких виходить безліч інших досліджуваних об'єктів. Інша виникаюча проблема - це проблема метрики, тобто, які об'єкти (функції) ми вважатимемо близькими (схожими), а які навпроти далекими, істотно тими, що розрізняються по своїх характеристиках.
У виникаючих моделях в системі міжнародних відносин разом з проблемою метрики (тобто, фактично характеризації виникаючих функціональних просторів) виникає проблема допустимості даних математичних абстракцій. Відомий парадокс Кантора, пов'язаний з категорією „безлічі взагалі всіх множин” приводить до нерозв'язної суперечності, вихід з якої, очевидно, тільки один - заборонити розгляд подібних конструкцій. Тим самим ставляться певні межі абстрагуванню. Це ж питання виникає при розгляді допустимої безлічі функцій, створюючи дані функціональні простори (ясно, що раз не можна розглядати „безліч узагалі всіх множин”, отже, не можна розглядати і характеристичну функцію цієї множини.
Проблема функціональної залежності, проте, багато складніше апорій Зенона. Кантора і т.п.
Інтуїтивне сприйняття функціональної залежності як прояв зв'язку явищ в різних модифікаціях властиве людству з давніх часів, математика протягом всієї історії свого розвитку тими або іншими засобами намагалася виразити цей зв'язок.
Починаючи з навчанням античних математиків про геометричні місця і складанням всіляких таблиць поняття функції зазнавало всі нові і нові зміни. Згадки про функціональну залежність зустрічаються у П. Ферма( 1636 р.), Р. Декарта (1637 р.), И. Барроу (1669 р.). Термін „функція” зобов'язаний своєю появою В. Лейбніцу(1692 р.). Так чи інакше поняття функції зв'язувалося з якимсь аналітичним виразом, задаючим її, Так у И. Бернуллі (1718 р.) „функція, це величина, складена із змінної і постійної”; у Л. Ейлера „функція змінної кількості є аналітичний вираз, складений яким-небудь чином з цієї змінної кількості, чисел або постійних кількостей”.
Перехід від інтуїтивного сприйняття функції до її більш менш схожому на сучасне визначення намітився в знаменитій суперечці про звучну струну.
В XVIII столітті, закінчивши вивчення систем з одним ступенем свободи, математики переходять до систем з декількома ступенями. В 1727 р. Іоганн Бернуллі, а в 1732-1736 рр. Данило Бернуллі і Леонард Ейлер розглядають тільки головні коливання навантаженої невагомої струни. Розглядаючи тільки головні коливання системи, ні Бернуллі, ні Ейлер не помітили, що у разі довільного руху справедливий принцип суперпозиції, тобто складання головних коливань, хоча теоретики музики (Рамо, наприклад, в 1726 р.) давно указували, що окрім основного тону музичного інструменту є ще і обертони. Існував навіть помилковий погляд, що головними коливаннями струни і вичерпуються всі можливі коливання системи (Тейлор, Д. Бернуллі).
Рішення задачі про струну, дане майже одночасно Д'Аламбером і Л. Ейлером (відповідно в 1747 і 1748 рр.) при зовні формальній схожості мали принципово різний зміст, що виражається в різному розумінні Функції. Якщо Д'Аламбер усюди під функцією розумів певний аналітичний вираз, то Ейлер, не відкидаючи це, допуску функції як відповідність за допомогою кривої, утвореної „вільним рухом руки”, або навіть Функції змішаного типу, тобто на одних ділянках один аналітичний вираз, на інших інше або навіть довільна крива.
Трапилося так, що розвиток конкретного матеріалу переріс рамки концепцій і точок зору, що склалися раніше, на основні поняття аналізу. Відсутність належної строгості в обгрунтовуванні накопичених результатів, настійні вимоги коштують практичних задач приводили до перегляду основ аналізу таких як „довільна крива”, „функція”, „інтеграл” і т.п. Губився органічний зв'язок між чистим і прикладним знанням, здорова рівновага між абстрактною спільністю і повнокровною конкретністю була порушена „...віддавшись справжній оргії інтуїтивних припущень, перемішуючи несуперечливі висновки з безглуздими, підлога у містично мі твердженнями, сліпи довіряючись надлюдській силі формальних процедур (математики) відкрили новий математичний світ, повний незчисленних багатств...”. Але вимоги евклідової строгості і внутрішньої естетики брали своє.
„в XIX сторіччі усвідомлення необхідності консолідувати науку, особливо) у зв'язку з потребами вищої освіти ... повело до ревізії основ математики з'ясуванню понять межі. Таким чином, XIX не тільки став епохою нових успіхів, але і був ознаменований плідним поверненням до класичного ідеалі точності і строгості доказів. „ Зараз, озираючись назад, важко дати об'єктивну оцінку позицій всіх сторін, що сперечаються, і аналіз всі XVIII труднощів, що стоять перед математиками, можна лише з певним ступенем упевненості сказати, що основне питання в полеміці Ейлера і Д'Аламбера було таким якщо відхилювати струну довільним чином, то чи існує формула, що дає її форму? Рішення цього питання немає ні у Ейлера і Д' Аламбера, ні в більш пізніх роботах Бернуллі і Лагранжа. Питання актуальне дотепер. „суперечка про звучну струну все ще триває, тільки, зрозуміло, вже зовсім в іншій науковій обстановці, іншими особами і в іншій термінології”. Безперервне поглиблення поняття функції і його еволюція продовжується і понині. Жодне формальне визначення, як пише Н.Н. Лузін, не може охопити всього зміст поняття функції, засвоїти яке можна лише прослідивши основні лінії розвитку, пов'язаного з розвитком природознавства, зокрема, математичної фізики. Нас цікавить, природно, таке питання: коли, на якому етапі свого розвитку поняття функції і тригонометричного ряду стикуються між собою! даючи могутній апарат аналітичного уявлення на додаток до служимо шему роками вірним і, мабуть, єдиним засобом аналітичного уявлення - апарату статечних рядів?
Тригонометричні ряди як такі мають свою історію, висхідну до Ейлеру. В листі до Гольдбаха в 1744 р. Ейлер наводить приклад розкладання:
одержуючи його методом статечних рядів. „поява вказаного ряду у Ейлере була справою чисто випадковим і в усякому разі нічого по суті для розуміння природи і характеру, а також можливості уявності довільних функцій тригонометричними рядами не давало. Ейлер тут стояв на чисто аналітичній точці зору.”5
Поява тригонометричних рядів у Ейлера, як рахує А.Б. Паплаускас має прикладний характер, а самі ряди були лише інструментом дослідження різних питань астрономії, зокрема, небесної механіки. Тому Ейлер і не піднімає питань обгрунтовування збіжності і розкладності. Узгодження на практиці одержаних результатів з дійсністю наштовхує Ейлера на інші розкладання. „часто говорять, що Ейлер... інстинктивно знаходив тільки правильні результати, хоча і слідуючи помилковим шляхом: але сказати це - значить дуже багато: математика перейшла до свого порядку денного через свої неправильні результати”.
Досліди із звучною струною з'явилися тим пробним, на якому перевірялася концепція Д. Бернуллі. Вони поколивали його первинну думку про існування тільки головних коливань, приводячи до відкриття принципу суперпозиції, д. Бернуллі знайшов, що найзагальніший рух струни описується виразом
Тут основний тон визначається першій складовій, їй відповідає період Т,=2 I/a, іншим відповідають періоди Т2=1/2Т1, і т.д. Рішення, повне фізичного змісту, перевірене експериментом і що узгоджується з миючими вченням про обертони, привело Д. Бернулли до переконання, що всі рішення Д’Аламбера і Ейлера охоплюються цим. Таким чином, виникнувши з прикладних задач тригонометричні ряди знаходили в практиці як своє непряме обгрунтовування, так і місце додатку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
