12 (732358), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для описания свойств реальных газов применяют различные уравнения состояния, отличные от уравнения Клапейрона-Менделеева. Наиболее удобны двухпараметрические уравнения, разрешимые относительно давления и содержащие объем в третьей степени (кубические уравнения состояния). Первое такое уравнение было предложено Ван-дер-Ваальсом в 1873 г.

Уравнение Ван-дер-Ваальса состояния реального газа имеет следующий вид [7]:

где V₀ – объем 1 моля газа, а – внутреннее давление, обусловленное силами притяжения между молекулами, b – поправка за собственный объем молекул, учитывающая действие сил отталкивания между молекулами и равная учетверенному объему молекул в 1 моле газа:

Здесь N_A – число Авогадро, d – диаметр молекулы, U(r) – потенциальная энергия притяжения двух молекул.

Уравнение состояния Бертло (1900г.):

Здесь а и b связаны с параметрами критического состояния (в критической точке) соотношениями [8]:

Уравнение состояния Вукаловича и Новикова [7]:

Здесь B₁, B₂ и т.д. – так называемые вириальные коэффициенты весьма сложного вида. Их вычисление производится с учетом ассоциации молекул – объединения под влиянием ван-дер-ваальсовых сил притяжения.

Уравнение состояния Майера [7]:

где: d_i=dq_i1*...dq_in.

Здесь U_пij – взаимная потенциальная энергия i-й и j-й молекул, взаимодействующих по закону центральных сил, q_i1,......,q_in – обобщенные координаты i-той молекулы, обладающей n степенями свободы.

Уравнение Камерлинг-Оннеса (1901) [8]:

где , .

Уравнение Редлиха-Квонга (1949 г.) [8]:

Здесь 0,42748·R²·T^2,5_k/P_k, b = 0,08664·R·T_k/P_k. Уравнение Редлиха-Квонга считается наилучшим двухконстантным уравнением. При его выводе авторы не руководствовались какими-то определенными теоретическими обоснованиями [8]. Это уравнение следует рассматривать как произвольную, но удачную эмпирическую модификацию предшествующих уравнений состояния.

Уравнение Мартина (1967 г.) [8]:

где 27·R²·T²_k/(64P_k), b = R·T_k/(8P_k).

1.2. Основные уравнения, описывающие процесс фильтрации газа в пористой среде

В последнее время наблюдается рост интереса к различным термодинамическим эффектам в пористых средах. Это связано с их многообразными практическими приложениями[4,5].

Особую важность упомянутые проблемы имеют в физике нефтегазоносных пластов. Поля давления в нефтегазоносных пластах в условиях разработки, как правило, нестационарны. Дросселирование нефти и газа приводит к проявлению баротермического эффекта – изменению температуры при течении нефти или газа в пористой среде в нестационарном поле давления. Величина барометрического эффекта в отличие от эффекта Джоуля – Томсона, наблюдающегося при стационарном дросселировании, зависит от коллекторских свойств пористой среды, времени, геометрии течения и других факторов. Эти особенности баротермического эффекта обеспечивают возможность его практического применения при исследовании скважин и пластов.

В основу исследований положена полная система уравнений для - той фазы (компонента), описывающих баротермический эффект. Ядром этой системы является уравнение для температуры с учетом термодинамических эффектов высокого порядка [9]

где первое слагаемое в левой части уравнения (I.2.1) описывает изменение температуры в пласте со временем, второе – за счет конвекции (перемещения больших объемов газа). Первое слагаемое в правой части ответственно за теплопроводность, второе – за межфракционный теплообмен, третье описывает адиабатический эффект, четвертое – эффект Джоуля-Томсона и пятое – влияние поля тяготения Земли.

Вторым уравнением системы является уравнение неразрывности, которое записывается в виде:

Фильтрация газа подчиняется закону Дарси

К системе добавляется уравнение состояния

Система (I.2.1)-(I.2.4) является нелинейной, кроме того, уравнения (I.2.1)-(I.2.2) являются взаимосвязанными.

1.3. Описание задачи

Рассмотрим температурную задачу в полярной системе координат, где среда представлена одной бесконечной областью (рис.1). Область является пористой и насыщена газом. Будем рассматривать случай радиального движения газа из бесконечности к скважине радиуса , ось которой совпадает с осью

Рис. 1. постановка задачи

При описании температурной задачи примем следующие допущения:

• пористый пласт считается однородным и изотропным по гидродинамическим и теплофизическим свойствам;

• давления в скважине и на контуре питания остаются неизменными;

• породы, окружающие пласт предполагаются непроницаемыми и однородными по своим теплофизическим свойствам;

• температуры газа и скелета пористой среды в каждой точке совпадают;

• естественное тепловое поле Земли считается стационарным;

• пласт расположен на глубине порядка 1 – 2 км, поэтому суточные и сезонные колебания температуры не достигают пласта;

• адиабатическим эффектом, обусловленным гравитационным полем пренебрегаем.

1.4. Математическая постановка задачи

Математическая постановка задачи включает температурную задачу, гидродинамическую задачу, уравнение состояния и соотношение для поля скорости конвективного переноса тепла. Ниже рассматриваются соответствующие постановки задач.

1.4.1. Математическая постановка температурной задачи

Математическая постановка задачи для всех областей представляется уравнением (I.2.1). Температурное поле в этом случае описывается уравнением Чекалюка в пренебрежении теплопроводностью и адиабатическим эффектом и с учетом закона фильтрации Дарси:

Будем рассматривать задачу при следующих условиях температуры:

начальном

и граничном

1.4.2. Математическая постановка гидродинамической задачи

Математическая постановка гидродинамической задачи в полярной системе координат примет следующий вид. Учитывая, что для осесимметричного течения поле давления является функцией координаты r уравнение можно представить в виде:

Будем рассматривать задачу при следующих условиях. Пусть P_C – давление на границе контура питания. При значении радиуса, равном радиусу контура питания

давление поддерживается равным Рс:

Pс – давление на контуре питания.

При значении радиуса, равном радиусу скважины

давление поддерживается равным P_W:

где P_W – давление в скважине.

1.4. Основные идеи метода характеристик[6]

В данном разделе рассмотрим метод характеристик. Любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка (при двух независимых переменных) может быть записано в следующем виде:

где а, b, с, d, e, f, g — заданные непрерывные функции от x и y (или в частном случае, постоянные).

Попытаемся упростить это уравнение с помощью замены независимых переменных:

Здесь  и  — новые независимые переменные. Функции  и , связывающие новые переменные со старыми, будут подобраны позднее; пока же мы будем считать их дифференцируемыми нужное число раз. Кроме того, будем считать, что система уравнений (1.4.2) может быть однозначно разрешена относительно х и у; это надо понимать следующим образом: если функции  и  и отображают некоторую область G плоскости Оху в область G* плоскости O, то при этом каждой точке ( ,) области G* соответствует только одна точка области G (иначе говоря, отображение области G на G*, даваемое функциями  и , является взаимно однозначным). Как известно, для этого достаточно, чтобы якобиан преобразования (т. е. определитель ) нигде в области G не обращался в нуль.

Характеристики

Список файлов реферата