CBRR0997 (731724), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

- времени работы нескольких видов промышленного оборудования,

- времени работы рабочих нескольких специальностей,

и им подобные задачи.

При использовании m видов сырья для производства n видов изделий во всех задачах выпуска процесс производства описывается матрицей затрат c, составляющие которой

c_i ^j [количество i-сырья / на единицу j-изделия] ³ 0 ,

имеют обратные количественные размерности по отношению к количественным размерностям матрицы выпуска a : [ a_j ⁱ] = количество j-изделий / на единицу i-сырья.

В условиях заданного вектора предложения сырья q ¹ и заданных цен p₂ на производимые изделия в количественной (прямой) части обратной задачи ищется наиболее доходное предложение (план производства) изделий q ² , а в ценовой (двойственной) части - наименее расходные цены p₁ потребляемого сырья:

	q 21 ¼ q 2n
p1 1 ¼ p1 m	c1 1 ¼ c1 n ¼ ¼ ¼ cm1 ¼ cm n	q 11 ¼ q 1m
	p21 ¼ p2 n

Формальным отличием приведенной таблицы от таблицы предыдущей задачи является, как мы видим, замена сырьевых переменных "издельными" и наоборот.

2.Количественная часть задачи выпуска. В условиях затрат c_i ^j единиц i-сырья на каждую единицу производимого j-изделия, на выпуск q ²₁ , ¼ , q ²_n единиц изделий всех n видов потребуется q ¹₁ , ¼ , q ¹_m :

q ¹₁ = c₁ ¹ q ²₁ + ¼ + c₁ ⁿ q ²_n º ác₁ , q ²ñ ;

. . .

q ¹_m = c_m ¹ q ²₁ + ¼ + c_m ⁿ q ²_n º ác_m , q ²ñ ,

единиц сырья каждого вида. n-мерные строки матрицы затрат, служащие коэффициентами балансовых соотношений:

c₁ = ( c₁ ¹ ¼ c₁ ⁿ );

. . .

c_m = ( c_m ¹ ¼ c_m ⁿ ),

есть векторы затрат сырья каждого вида на весь ассортимент производимых из него изделий. Матричное представление полученных балансовых соотношений:

q ¹ = q ¹(q ²) = c q ² ,

описывает линейный процесс пересчета предложения выпускаемых изделий в спрос на потребляемое для их производства сырье.

Допустимым является такое предложение изделий, при котором спрос на потребляемое сырье не превосходит его предложения:

q ¹ = c q ² £ q ¹.

Доход такого производства, выражаемый стоимостью M(q ²) продаваемых по ценам p₂ предлагаемых количеств изделий:

M(q ²) = p₂ ¹ q ²₁ + ¼ + p₂ ⁿ q ²_n º áp₂ , q ²ñ ,

называется функцией стоимости количественной части обратной задачи. Сама же задача состоит в том, чтобы на множестве ее допустимых планов производства найти план наибольшей стоимости:

q 2 : á p2 , q 2ñ = max á p2 , q 2ñ q 2 ½ c q 2 £ q 1

.

В сущности, все задачи равновесного управления являются определениями равновесных значений своих искомых неизвестных.

3.Ценовая часть задачи выпуска. Одновременно, затраты на каждую единицу j-изделия c_i ^j единиц сырья всех m видов по ценам p₁ ⁱ: i=1, ¼ , m, сообщают выпускаемым изделиям цены p₂ ¹ , ¼ , p₂ ⁿ :

p₂ ¹ = p₁ ¹ c₁ ¹ + ¼ + p₁ ^m c_m ¹ º áp₁ , d ¹ñ ;

. . .

p₂ ⁿ = p₁ ¹ c₁ ⁿ + ¼ + p₁ ^m c_m ⁿ º áp₁ , d ⁿñ .

m-мерные столбцовые векторы матрицы затрат:

d 1 º

c1 1 ¼ cm 1

, ¼ , d n º

c1 n ¼ cm n

,

есть векторы затрат сырья на выпуск изделия каждого вида. Ценовые балансовые соотношения

p₂ = p₂(p₁) = p₁ c

описывают осуществляемое матрицей затрат двойственное линейное преобразование цен потребляемого сырья в цены производимых из них изделий.

При заданных продажных ценах изделий вложенное в них сырье приобретает ценность, не меньшую ценности выпускаемых из него изделий:

p₂ = p₁ c ³ p₂ .

Как и в задаче затрат полученные ценовые условия равновесия выражают необходимое условие продаж: покупка готовых изделий не должна быть дороже их самостоятельного изготовления.

Стоимость расходуемого сырья:

M^dual(p₁) = p₁ ¹ q ¹₁ + ¼ + p₁ ^m q ¹_m º áp₁ , q ¹ñ ,

составляет расход производства. Ищутся допустимые цены сырья, сообщающие его стоимости наименьшее значение:

p1 : á p1 , q 1ñ º min á p1 , q 1ñ p1 ½ p1 c ³ p2 .

4.Каноническая пара задач. Итак, мы описали все четыре линейные статические задачи равновесного производственного управления:

с прямой задачей оптимального планирования закупок сырья:

q ¹ : min áp₁ , q ¹ñ при a q ¹ ³ q ² ,

и двойственной ей задачей оптимального планирования цен выпускаемых изделий:

p₂ : max áp₂ , q ²ñ при p₂ a £ p₁ ;

с прямой задачей оптимального планирования выпуска изделий:

q ² : max á p₂ , q ²ñ при c q ² £ q ¹ ,

и ей двойственной задачей оптимального оценивания сырья:

p₁ : min á p₁ , q ¹ñ при p₁ c ³ p₂ .

Как мы видим, обе задачи обладают "перекрестной" симметрией и формально, то есть безотносительно к экономическому содержанию, прямая и обратная пары задач тождественны друг другу с точностью до - 1)- переобозначения своих величин и -2)- перестановки между собой их взаимно-двойственных частей:

min á p₁ , q ¹ñ при a q ¹ ³ q ² max á p₂ , q ²ñ при c q ² £ q ¹,

max á p₂ , q ²ñ при p₂ a £ p₁ min á p₁ , q ¹ñ при p₁ c ³ p₂ .

Точная взаимозаменяемость задач достигается:

- заменой технологических матриц:

c « a ,

- и переобозначением количественных и ценовых векторов:

(p_{1; 2} )^t « q ^{1; 2} .

При этом прямая часть задачи затрат становится равносильной двойственной части задачи выпуска, а двойственная часть первой - прямой части второй.

Будем называть взаимно-двойственную пару задач прямого (затратного) вида с прямой (количественной) частью на минимум и двойственной (ценовой) частью на максимум:

	q 1			q 1 : min á p1 , q 1ñ при a q 1 ³ q 2 ,
p2	a	q 2	:
	p1			p2 : max á p2 , q 2ñ при p2 a £ p1 .

- канонической парой линейных задач статического равновесия, а их переменные q ¹ и p₂ - канонически сопряженными переменными.

1.4. Задача равновесия

Физическое содержание задачи равновесия. В трехмерном случае: m, n £ 3, наша задача имеет простое физическое истолкование. Во внешнем силовом поле постоянной во времени и пространстве напряженности p₁ скалярная линейная функция координат L(q ¹):

L(q ¹) = áp₁ , q ¹ñ ,

является потенциальной энергией находящегося в точке q ¹ пробного тела единичной массы (заряда). Все налагаемые на перемещения пробного тела дополнительные ограничения называются в механике связями. Ограничения нашей задачи

q ¹: a q ¹ ³ q ²

задают в пространстве ее переменной q ¹ выпуклую многогранную область допустимых перемещений. В итоге, каноническая задача оптимального производственного управления:

q ¹: min á p₁ , q ¹ñ при a q ¹ ³ q ² - ?

- физически представляет собою задачу вычисления в ограниченной области простран­ства координат q ¹ точки наименьшей потенциальной энергии L(q ¹) пробного тела единичной массы в постоянном внешнем силовом поле p₁ .

Точка наименьшей потенциальной энергии называется точкой статического равновесия и задача ее определения - задачей статического равновесия. По этой причине линейную задачу оптимального производственного планирования мы будем называть так, как об этом заявлено в названии, а именно - линейной задачей статического равновесия.

Особенностью линейных задач является независимость их свойств от геометричеких размерностей их величин. Это обстоятельство используется для распространения трехмерной терминологии на линейные задачи равновесия любой пространственной размерности.

Возьмем в качестве пробного тела идеальный маленький шарик (то есть шарик, с диаметром, меньшим длины самого короткого ребра допустимой области, без трения покоя перекатывающийся между всеми ее угловыми точками) и поместим его в образуемую системой ограничений выпуклую многогранную область. Основные свойства задачи равновесия становятся физически очевидными свойствами его поведения в этих условиях.

Так, условие невыкатывания шарика из области ограничений под действием приложенной к нему внешней силы является признаком существования решения задачи равновесия. Геометрически он состоит в условии принадлежности вектора силы p₁ выпуклой оболочке коэффициентных векторов всех ограничений.

Характеристики

Список файлов реферата