Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Avaldades siit kiiruse v saame

ja vastava elektroni lainepikkuse

Võrdleme elektroni lainepikkust Bohri raadiusega

ehk

Viimases valemis lisasime raadiusele indeksi n näitamaks, et tegu on just nimelt täisarvule n vastava raadiusega. Valem ise aga näitab, et täisarvule n vastavale orbiidile mahub just nimelt n täislainet. Tuletame meelde, et kõrgemal orbiidil on elektroni kiirus väiksem, seega lainepikkus suurem. Siit järeldub, et orbiidi ümbermõõt (ka raadius) suureneb kahel põhjusel: elektroni lainepikkus suureneb ja orbiidile paigutatavate lainete arv ka suureneb. Siit tulenebki väliste orbiitide läbimõõdu kiire kasvamine kui elektroni summaarne energia hakkab nullile lähenema (elektron kaugeneb tuumast väga kaugele).

Lainemehaanika alged

Lained on ruumis edasilevivad võnkumised. Edasilevimine tuleb sellest, et mingis ruumipunktis toimuv muutus kutsub esile sarnase muutuse naaberpunktis, aga veidi hiljem. Elektroni orbiidil ringlevad samuti lained, kuid kummas suunas? Et eelissuunda ei ole, siis levivad lained mõlemas suunas liikudes vastamisi. Kui seejuures on veel orbiidil täisarv laineid, siis tekib resultatiivselt nagu laine seiskumine, vastassuunalised levimised kompenseeruvad. Seega, elektron aatomi orbiidil moodustab seisva laine. Üldse, madalama potentsiaalse energiaga ruumiosas kinnihoitavad lained moodustavad alati seisvad lained, ja seda madalama potentsiaaliga ruumiosa kutsutakse ‘potentsiaaliauguks’. Gravitatsiooniväljas on kahemõõtmeline potentsiaaliauk näiteks kaev, kus ergastatud lained peegelduvad kaevu seintelt ja moodustavad veepinnal seisvaid laineid. Kolmemõõtmeline elektripotentsiaali auk on näiteks tuuma ümbrus, mis hoiab elektrone kinni kui seisvaid laineid. Seisvat lainet kirjeldav matemaatika on lihtsam kui levivat lainet kirjeldav, sest ajalisi muutusi ei esine ja vastav diferentsiaalvõrrand aega ei sisalda.

Juba varem leidsime, et võnkumiste võrrand on teist järku diferentsiaalvõrrand. Näiteks massi ajaliste võnkumiste jaoks oli põhiprintsiip, et tasakaalu poole suunatud jõud on võrdeline hälbega tasakaalupunktist, seega kiirendus on võrdeline hälbega tasakaalupunktist. Ruumilise võrrandi põhimõte on sama, ainult jõu ja kiirenduse mõistet siin kasutada ei saa:

Võrrand on ühemõõtmeline, kus mingi suurus A lainetab x-telje suunas. Kui lainetus võib esineda kolmes ruumisuunas, siis kirjutatakse lainefunktsiooni lühidalt

, kus

Asendades saame

E_t lainete oluliseks parameetriks on mitte kiirus, vaid energia, siis avaldame kiiruse kineetilise energiaga kui koguenergia ja potentsiaalse energia vahega:

ja

See on kvantmehaanika põhivõrrand, nn. Schrödingeri võrrand, ja tema kolmemõõtmeline lahend esitabki lainefunktsiooni, mis kirjeldab elementaarosakest kui seisvat lainet potentsiaaliaugus. Viimane tingimus tähendab, et lahend on olemas kui koguenergia on negatiivne. Selle võrrandi ruumiline (kolmemõõtmeline) lahend esitabki elementaarosakese kui võnkumise. Lainetav osakene võib esinaeda teatud tõenäosusega igas ruumipunktis. Osakese esinemise tõenäosuse tihedust kirjeldab lainefünktsiooni ruut ja tema leidmise tõenäosus ruumiosas dV on . Tuuma ümber tiirleva elektroni korral on koguenergia määratud Bohri aatomi jaoks leitud tingimustega ja lainete arv mingil energianivool on võrdne täisarvuga n, mis iseloomustas seda energianivood.

Oluline on tähele panna, et Schrödingeri võrrand ei sisalda aega, seega elektroni leidmise tõenäosus mingis punktis on kogu aeg üks ja seesama, elektron asub kogu aeg mingis piiratud ruumiosas. Elektroni hoiab selles ruumiosas elektriväli, mille potentsiaal on negatiivne, st., mis tõmbab elektroni. Tõmbavat, madalama potentsiaaliga (elektroni potentsiaalse energiaga) ruumiosa nimetatakse ‘potntsiaaliauguks’, analoogia põhjal auguga maapinnas, kuhu sissekukkunud kehad sealt ise enam välja ei pääse. Tuumale lähenenud elektron ongi kukkunud potentsiaaliauku. Joonisel on näidatud lihtsaim ühemõõtmelise potentsiaaliaugu juht, kus väljaspool ‘auku’ on potentsiaal ühtlaselt kõrgem ja augus sees ühtlaselt madalam, tuletades meelde näiteks kaevu maapinnas. Elektroni lainetamist niisugune potentsiaaliaugus on matemaatiliselt lihtne arvutada, sest summaarne energia E^-E_p on augus sees kõikjal sama ja võrrand (???) laheneb sinusoidaalsete võnkumistena. Tähtis on, et võrrand ei lahene mitte igasuguse energiaväärtuse puhul, vaid ainult niisuguste puhul, mis võimaldavad augu mõõtmesse paigutada täisarvu poollaineid. Sisuliselt tähendab see tingimus, et augu servas, kus potentsiaal järsult tõuseb, peab elektroni leidmise tõenäosus olema null (vt. joonist). Siit tulenebki potentsiaaliaugus asetseva lainetava elektroni lubatud energia kvantiseeritus, mille tulemusena võrrand laheneb ainult teatud täisarvuliste kordajatega n seotud energiaväärtuste jaoks. Kvantarvu n mõte on sama, mis Bohri aatomis, ta seob elektroni lubatud energia Plancki konstandi h kaudu võnkesagedusega, lainepikkusega, mis täpselt mahub ‘potentsiaaliauku’.

Kuigi elektroni leidmise tõenäosus mingis ruumipunktis on konstant, sõltub see oluliselt, millist ruumipunkti me vaatleme. Näiteks potentsiaaliaugu serval on see null ja on null iga poollaine järel. Poollaineid on seda rohkem, mida kõrgem on elektroni energia. Muide, täpselt null on elektroni leidmine seina-ääres ainult siis kui ‘sein’ on lõpmatu kõrge, st. potentsiaaliauk on väga sügav, väga madala pontentsiaaliga. Madalasse seina tungib elektron veidi sisse, ja kui see sein ei ole mitte väga paks, siis ulatub lektroni lainetus veidi ka naaberauku (Joonis tunnelefekti kohta). Seega, elektron, mis asub piiratud madala potentsiaaliga ruumiosas võib siiski teatud väikese tõenäosusega sattuda ka naaberauku, kuigi nende vahel on sein. Seda nähtust nimetatakse tunneleffektiks ja sellel on bioloogias suur tähtsus elektroni ülekandeprotsessides: Kui lähestikku asuvad kaks aatomit, siis võib elektron kanduda üle ühelt teisele, kuigi vahepeal on kõrge potentsiaaliga ruumiosa (‘sein’).

Nagu öeldud, on Schrödingeri võrrand lihtne lahendada ja annab siinusekujulised lained ainult siis kui summaarne energia on potentsiaaliaugus konstantne. Aatomituuma ümbruses aga on potentsiaaliauk hoopis sügava lehtri kujuline, langedes pöördvõrdeliselt kaugusega tuumast. See teebki võrrandi lahendamise keeruliseks ja annab tulemuseks mitte konstantse lainepikkusega siinuselised lained, vaid pidevalt lüheneva lainepikkusega lained, seda lühema lainepikkusega, mida madalam on potentsiaal antud kaugusel. Kirjutame need lahendid vesiniku aatomi jaoks siiski välja, sest nendest tulenevad kvantarvud, n, l, ja m, mis määravad elektronide võimaliku paigutuse aatomis.

Elektroni lainetus vesiniku aatomis

Schrödingeri võrrandi lahendamine ümber tuuma asetseva elektroni jaoks on eelmises punktis vaadeldust keerukam kahel põhjusel: esiteks, lahend ei ole mitte ühemõõtmeline, vaid kolmemõõtmeline ja potentsiaaliauk ei ole mitte sileda põhjaga, vaid lehtrikujuline. Kuna probleem on ilmselt tsentraalsümmeetriline, siis on otstarbekas Schrödingeri võrrand kirjutada ruumilistes polaarkoordinaatides r, ja Tuletame meelde, et rist-ja polaarkoordinaadid on omavahel seotud järgmiselt:

ja

Asendades need Scrödingeri kolmedimensionaalsesse võrrandisse saame matemaatiliselt järgmise üldvõrrandi elektroni kohta vesiniku aatomis

Siin m_e on elektroni mass. Selle võrrandi lahendamine üldjuhul ei olegi võimalik, vaid vaja on teha teatud eeldusi. Nimelt eeldatakse, et kolmemõõtmeline lainefunktsioon avaldub kolme ühemõõtmelise lainefünktsiooni korrutisena:

See on füüsikaliselt väga oluline koht, eeldades, et võnkumised kolmes eraldi ruumi suunas toimuvad sõltumatult, üksteist mõjutamata. Elektroni summaarne energia kujuneb välja kolmesuunaliste võnkumiste energiate summana. Rakendades seda eeldust ja tehes matemaatilised teisendused saame kolm eraldi võrrandit, igaüks oma koordinaadis toimuvate võnkumiste kohta:

Nendes võrrandites m ei ole elektroni mass vaid mingi täisarv, samuti nagu 

Esimene kolmest võrrandist lahendub väga lihtsalt. Nagu oodatud, on võnkumised polaarnurga suunas siinuselised, sest asimuudi suunas on ju potentsiaalne energia konstantne. Täisarv m on siin lubatud energiat määrava kvantarvu rollis.

Samuti annab siinuselise lahendi teine võrrand, sest ka polaarnurga suunas on potentsiaalne energia konstantne. Siin on aga lahend keerukam, sest sisldab kahte kvantarvu, m ja  Keerukaim lahend on aga raadiusesuunaline, sest siin on potentsiaalne enegia muutlik, pöördvõrdeline raadiusega. Ometi onkasee lahendatud ja leitud tingimused kvantarvu n jaoks, mille puhul lahend on olemas (lubatud energiate väartused).

Ülatoodud võrrandites on kvantarvud esitatud siiski keerukamal kujul kui lihtsas Schrödingeri võrrandis. Põhjus on selles, et, nagu mainisime, on elektroni summaarne energia nüüd määratud kolme energia summaga, vastavalt igas koordinaadis toimuvale võnkumisele. Keemiliste ja füüsikaliste protsesside jaoks on aga tihti kõige tähtsam summaarne energia, pealegi võimaldaks ühe summaarset energiat väljendava kvantarvu sissetoomine siduda kolmemõõtmeliselt võnkuva elektroni ühemõõtmeliselt tiirleva elektroni kvantiseeritud energiaga, nii nagu see oli Bohri aatomis. Seega, tuleks tuua sisse peakvantarv n, mis näitab kõigis koordinaatides toimuvate võnkumiste energiate summat, ja kõrvalkvantarvud, mis näitavad, kui suur osa summaarsest energiast on jaotunud ühe või teise koordinaadi suunas. Niisuguset loogikast tulenebki, et võrrandid ja jaoks sisaldavad juba ise mingeid täisarve, mis on allutatud täisarvule n, mis ei sisaldu R võrrandis vaid tuleneb selle lahenduvuse tingimusena. See alluvuste jada on järgmine:

Täisarv n, peakvantarv, võib omada täisarvulisi positiivseid väärtusi alates nullist: n=0, 1, 2, 3, ...

Füüsikaliselt, n näitab võngete (lainete) koguarvu raadiuse r ja tõusunurga suunas kokku.

Valemis ??? kus l võib omada positiivseid täisarvulisi väärtusi 0, 1, 2, 3, ...n-1. Suurust l nimetatakse orbitaalkvantarvuks ja see näitab, mitu võnget on tõusunurga suunas. Võnked asimuudi suunas ei muuda elektroni energiat muidu kui aatom ei asetse välises magnetväljas. Seetõttu ei olegi asimuudisuunalisi võnkeid energiat määravate võngete koguarvu sisse loetud ja kvantarvu m nimetatakse magnetkvantarvuks. Tema lubatud väärtused on allutatud orbitaalkvantarvu l väärtustele ja võivad olla vahemikus –l..0..+l.

Seega, seoses sellega, et ruum on kolmemõõtmeline, on elektronil kolm kvantarvu, mis iseloomustavad võngete arvu iga koordinaadi suunas. Selleks, et üks kvantarv iseloomustaks võimalikult hästi koguenergiat, on võrrandid lahendatud nii, et peakvantarv n vastab kahe koordinaadi raadiuse ja tõusunurga suunas toimuvate võngete koguarvule.Asimuudi suunas toimuvad võnked ei mõjuta elektroni koguenergiat muidu kui aatom ei asetse välises magnetväljas, seetõttu on magnetkvantarv m summast välja jäetud. Peame meeles järgmised reeglid:

Характеристики

Список файлов реферата