147304 (730461), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Объединение множеств S1 и S ₂ (рис. 10, а) представляется как:

а пересечение (рис. 10, б) как:

Рис. 10. Пересекающиеся и непересекающиеся множества и подмножества

Операторы и используются также для разбиения множества на ряд непересекающихся подмножеств (рис. 10,в) т.е. , если для, где 0 - знак пустого множества.

Для получения более удобных узких подмножеств обычно используют разбиения с помощью отношения эквивалентности, выражаемого следующими свойствами: х ~ х для любого х (свойство рефлексивности); х ~ у => у ~ х (симметрия); х ~ у и у ~ z => х (транзитивность).

Более общий способ установления отношений между элементами множеств состоит в отображении элементов одного множества на элементы другого по определенному правилу, т.е. отображение - это правило, по которому элементам множества S₁ (рис.11) ставятся в соответствие элементы множества S₂. Символически это записывается как f : , что означает у = f (х), , т.е. у - образ х в S ₂ при отображении f.

Рис. 11. Отображение сигналов

При взаимно однозначных отображениях используют и обратное отображение S₂ на S_1, т.е. , а также составные или последовательные отображения (рис. 12), т.е.

Рис. 12. Составное отображение

Любое отношение эквивалентности может быть выражено как отображение, а любое отображение порождает отношение эквивалентности.

Наиболее широко применяемым в теории сигналов является отображение, называемое преобразованием Фурье:

(1)

где:

Обратное отображение задаётся соотношением:

(2.)

Соотношения (2.1) и (2.2) являются парой преобразований Фурье, причем первое из них выражает так называемую спектральную плотность сигнала (частотный спектр).

Любой сигнал конечной длительности или периодический сигнал могут быть представлены совокупностью периодических (гармонических) составляющих (рис. 13) в соответствии с разложением в ряд Фурье.

Рис. 13. Представление сигналов гармоническими составляющими

Коэффициенты разложения определяются функционалами:

где:

Другим широко используемым способом представления любого сигнала является его представление временным рядом, т.е. конечным набором функций, описывающих интерполирующий импульс (рис. 14, а) при разных его смещениях по оси времени (рис. 14, б). Обычно такой импульс удовлетворяет условиям:

Р ис. 14. Представление сигналов временным рядом

Сигналы с ограниченной частотой изменения представляют дискретным набором отсчетов через равностоящие промежутки времени (рис. 15) в соответствии с теоремой Котельникова (теорема отсчетов), т.е. для любого

Кроме указанных способов представления произвольных сигналов существует множество других, например разложения по полиномам Лежандра, Чебышева, Лагерра, функциям Бесселя, Хаара и др.

Рис. 15 Представление сигналов дискретными отсчетами

Таким образом, для описания любых детерминированных во времени сигналов существуют различные методы. Однако в реальных системах часто приходится иметь дело со случайными сигналами, т.е. с такими функциями времени, значения которых лежат в определенном диапазоне и появление любой из них имеет определенную вероятность (стохастический процесс) где рассматривается как вектор в гильбертовом пространстве, образуемом точками по параметру t.

В таких системах стремятся определить не конкретное значение сигнала (отдельная реализация), а вычислить статистические средние значения по отношению к случайным переменным (математическое ожидание). Тогда случайный процесс во времени характеризуется детерминированной во времени функцией от различных ожиданий, а не формой конкретных сигналов. В этом состоит принципиальное различие в описаниях детерминированных и случайных сигналов.

Для сравнительной оценки сигналов одного множества по каким-либо свойствам каждой паре элементов множества ставится в соответствие действительное положительное число, называемое расстоянием между элементами.

Расстояния во множестве, представляющем пространство сигналов, определяют по условному правилу, называемому метрикой данного пространства. Метрика должна удовлетворять следующим условиям:

т.е. расстояние неотрицательно;

т.е. расстояние от х до у равно расстоянию от у до х (симметрия);

т.е. длина одной стороны треугольника векторов не может быть больше суммы двух других.

Для одного и того же множества элементов по разным метрикам могут быть образованы разные метрические пространства. Например, если принять и то расстояние в трехмерном пространстве (Евклидова метрика)

Из этого же множества элементов может быть образовано пространство, определяемое по метрике Хэмминга, т.е.

В этом случае расстояние между любой парой слов определяется числом несовпадающих символов (суммирование по модулю 2) по всем разрядам. Эта метрика широко применяется для сравнения кодов по возможностям обнаружения и исправления ошибок.

Кодирование. Сообщения, подлежащие передаче по каналу связи, должны быть представлены в форме, наиболее удобной для передачи по данному каналу. Таким образом, подразумевается преобразование одного исходного пространства сигналов в эквивалентное ему. Подобное преобразование проходит в два этапа. Первоначально из избыточного множества сигналов следует выделить подмножество , содержащее М нужных сигналов. Затем их необходимо поставить в однозначное соответствие с исходными сигналами. Первый этап может быть осуществлен различными способами, а второй — М! Таким образом, общее число возможных правил кодирования .

Подмножество выбранное по любому из К правил, составляет код. По ГОСТ 26.014 — 81 код — совокупность условных сигналов, обозначающих дискретные сообщения.

Символическая запись сложного сигнала из подмножества представляет собой кодовую комбинацию (кодовую последовательность). Вид записи комбинации зависит от системы счисления, используемой для рассматриваемого кода, так как любая комбинация это число, записанное в определенной системе счисления.

Основание системы счисления состоит из конечного набора цифр (символов), из комбинаций которых может быть образовано любое число. Так, основание наиболее привычной в обычной жизни десятичной системы счисления содержит 10 цифр (0 — 9), а основание наиболее распространенной в технике передачи и обработки данных двоичной системы составляют цифры 0 и 1.

Любое число в системе счисления с основанием х может быть представлено многочленом:

где: a — знаки основания от 0 до х - 1.

Например, десятичное число 169 в двоичной системе записывается так:

или

F(х) = 10101001

Обычно при записи двоичного числа в виде многочлена опускают члены с коэффициентом 0 и не пишут множители 1, т. е. для числа 169 получаем:

F(х) = х⁷ + х⁵ + х³ + 1.

Представление кодовых комбинаций в виде многочленов широко используется благодаря возможности проводить над ними обычные алгебраические операции при анализе свойств кода. Однако для сохранения заданного кодом числа разрядов при сложении любых комбинаций используется сложение по модулю 2, т.е. по следующим правилам:

Пространство сигналов, построенное в соответствии с этими требованиями, удовлетворяет метрике Хэмминга

Действительно, при использовании n разрядов в комбинации возможно всего комбинаций. Сложение любых двух (или большего числа) комбинаций по модулю 2 дает комбинацию из указанной совокупности. Данные коды называются систематическими. Если в коде используются всевозможные комбинации, то некоторые отличаются друг от друга только в одном разряде, т.е. по Хеммингу расстояние d=1. Такие коды являются непомехозащищенными, так как искажение какого-либо разряда помехами (любого происхождения) приводит к другой разрешенной комбинации.

Однако, если выбрать для использования только комбинации с расстоянием d=2, одиночные искажения в комбинациях легко обнаруживаются. Такая совокупность комбинаций будет уже представлять код с обнаружением одиночных ошибок. Коды с расстоянием d = 2 называются помехозащищенньми. Они подразделяются на две группы: коды с обнаружением ошибок (пассивная помехоустойчивость); коды с обнаружением и исправлением ошибок (активная помехоустойчивость), т.е. корректирующие коды.

По числу разрядов, используемых в кодовых комбинациях, коды могут быть равномерными и неравномерными, т.е. содержащими одинаковое или разное число элементов в комбинациях.

Непомехозащищенные коды (группа кодов с кодовым расстоянием d = 1) получили достаточно широкое распространение в телемеханических системах, несмотря на низкую помехозащищенность.

Наиболее известными представителями этой группы являются группы Морзе, Бодо, Грея, международный телеграфный и двоичнодесятичный коды.

В коде Морзе используются комбинации двух символов — точка и тире, разделяемые паузой. Длительности точки и паузы между элементами одной комбинации одинаковы, а длительность тире в 3 раза больше. Число элементов (и время передачи) в комбинациях колеблется в широких пределах, что является серьезным недостатком кода Морзе.

Код Бодо более удобен, так как он является равномерным и содержит пять элементов в каждой комбинации.

Для уменьшения влияния помех в отдельных разрядах при передаче цифровых данных используется код Грея, соседние комбинации в котором отличаются только в одном разряде. Такие коды широко применяют при передаче результатов телеизмерений.

Двоично-десятичные непомехозащищенные коды нашли применение в системах передачи данных и вычислительной технике. В этих кодах каждый десятичный разряд представляется четырехразрядной комбинацией двоичного кода. Например, цифра 1 представляется как 0001, а цифра 9 — как 1001. Нетрудно заметить, что запись многоразрядных десятичных цифр двоично-десятичным кодом поучается весьма громоздкой. Для сокращения числа разрядов используют различные приемы.

Характеристики

Список файлов реферата