143667 (727084), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Но вы наверняка заметите, что эта сумма - то же самое, что и
2(X1 + X2+...+Xn).
Используя -обозначение, мы можем заменить (X1 + 2X2+...+2Xn) на Хi Результат можно записать так:
2X1 + 2X2+...+2Xn = 2Хi = 2
Хi
Этот результат возник не вследствие какого-либо магического свойства числа 2: с числами 4, 60 или 131,4 результат будет тот же. В самом деле, если с представляет собой какое-либо постоянное число (то есть число, которое не зависит от i), то
сX1 + сX2+...+сXn = сХi = с
Хi (Правило 1)
Если постоянное число (константу) с прибавить к каждому из n чисел, то получим
X1 + с, X2+ с, …, Xn + с
Сумма этих значений
(X1 + с) + (X2+ с) + … + (Xn +с) = ( Xi +с)
При сложении мы всегда можем перегруппировать числа в любом порядке до того, как складывать
( Xi +с) = (X1 + X2+...+Xn ) + (с + с + … + с)
Первая сумма в круглых скобках справа дает Хi
Какова же вторая сумма в круглых скобках? Сколько с сложено? Ответ: n. Поэтому вторая сумма равна nс. Следовательно,
( Xi +с) =
Хi +
с =
Хi + nс (Правило 2)
Другое важное выражение - сумма квадратов n чисел
(X1 X1) + (X2
X2) + ... + (Xn
Xn ) =
+
+ … +
,
которое символически изображается как Х
Аналогично
хотя в элементарной статистике это выражение встречается редко.
Заметим, что Хi символически изображает единственное число: число, которое получается в результате сложения n чисел.
Хi может быть 10, 13 или 1300. с
Хi это произведение двух чисел с и
Хi . (
Хi) (
Хi) является произведением числа (некоторой суммы), умноженного на самого себя. Мы также запишем это следующим образом:
Если Х1 = 3, Х2 = 6, а Х3 = 1, то Хi = 10, а (
Хi)2 = 100.
Обычным в статистическом анализе является выражение
(Xi +с)2 = (X1 + с)2 + (X2+ с)2 + ... + (Xn +с)2
(Xi +с)2 , равное (Xi +с) (Xi +с), иначе можно записать так:
Xi + с
Действительно, тогда
Выражение в скобках можно записать n раз следующим образом:
… … …
… … …
Чему равна сумма первого столбца данного выражения? Она равна Х + Х
+ … + Х
=
Х
. Какова сумма второго столбца? Она составляет
2сХ1 + 2сХ2 + … + 2сХn = 2с (Х1 + Х2 + … + Хn),
что более кратко можно записать как 2с Хi . Какова сумма третьего столбца? Она представляет собой с2 + с2 + ... + с2 = nc2 . Складывая суммы этих трех столбцов, имеем
(Xi +с)2 =
Х
+ 2с
Хi.+ nc2. (Правило 3)
Хотя такие действия правильны, в них нет необходимости. Вместо этого можно "распределить" знак суммирования перед каждым членом и получить непосредственно тот же результат:
(Xi +с)2 =
(Х
+ 2сХi +с2) =
Х
+
2сХi +
с2 =
10