Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра МПМ

Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

Реферат

Исполнитель:

Студентка группы М-42 Локтева А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Содержание

Введение

1. Образовательные цели изучения первообразной функции и интеграла в школьном курсе математики

2. Методическая схема изучения первообразной функции

3. Методическая схема изучения теоремы о площади криволинейной трапеции

4. Методическая схема и аспекты введения понятия интеграла в средней школе

Заключение

Литература

Введение

Основная образовательная цель изучения темы "Первообразная и интеграл" может быть сформулирована так: 1) ознакомить учащихся с операцией, которая является обратной по отношению к операции дифференцирования функций; 2) познакомить с использованием метода интегрального исчисления для решения геометрических задач, некоторых задач практического содержания. В связи с этим развивающими целями будут: а) введение нового метода решения задач ( в частности нахождение площади объёма фигуры) показать известную универсальность математических методов; б) показ учащимся основных этапов решения прикладных задач средствами математики.

1. Образовательные цели изучения первообразной функции и интеграла в школьном курсе математики

Теме "Первообразная и интеграл" предшествует тема "Производная и её применение". Такая последовательность изучения материала создаёт предпосылки для: 1) понимание учащимися взаимосвязи между операциями дифференцирования и интегрирования функций, а также основной идеи метода дифференциального и интегрального исчислений; 2) осознание учащимися того факта, что аппарат производной и интеграла – основа метода математического анализа. С одной стороны, он выступает как язык, описывающий многие явления, процессы мира. С другой – как инструмент, с помощью которого с учётом особенностей языка исследуются эти явления и процессы.

Основу содержания темы составляют два типа вопросов, каждый из которых группируется около двух понятий: "Первообразная", "Интеграл". Основное внимание при изучении уделяется: 1) нахождению первообразных и вычислению интегралов на базе таблиц первообразных и правил нахождения первообразных; 2) вычислению площадей криволинейной трапеции.

В качестве основных задач, решённых в процессе изучения темы, можно выделить следующие:

• введение понятий первообразной и интеграла;

• ознакомление учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения первообразных;

• раскрытие смысла операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции дифференцирования заданной функции:

• провести классификацию типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объёма тела, задачи с физическим содержанием), показать, каким образом реализуется метод интегрального исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования.

Теоретический материал включает в себя понятия первообразной и её основное свойство понятие интеграла функции; связь между понятиями "интеграл" и "первообразная", которая устанавливается с помощью формулы Ньютона-Лейбница; формула Ньютона-Лейбница как аппарат вычисления интеграла данной функции.

Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров.

Задачи, помимо использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение теоретического материала, служат средством его закрепления, о чем свидетельствуют и их формулировки, например: "Найти такую первообразную функцию, график которой проходит через данную точку".

2. Методическая схема изучения первообразной функции

В школьном учебнике были "испытаны" различные варианты введения понятия интеграла. В первых изданиях учебного пособия (под ред. А.Н. Колмогорова) интеграл определяется с помощью формулы Ньютона-Лейбница (как приращение первообразной), в более поздних изданиях применялось традиционное определение интеграла как предела интегральных сумм.

Методическая схема изучения первообразной:

1. рассмотреть примеры взаимно обратных операций;

2. ввести интегрирование как операцию, обратную дифференцированию, а первообразную как результат операции интегрирования;

3. выполнить упражнения типа: "Доказать, что данная функция есть первообразная другой данной функции

4. ", "Решить задачи на отыскание первообразной для данной функции ";

5. ознакомить учащихся с основным свойством первообразной;

6. составить таблицу первообразных;

7. ознакомить учащихся с правилами нахождения первообразных;

8. решить физические задачи с применением первообразной.

Определению первообразной предшествует задача из механики. . Если в начальный момент времени скорость тела равна 0, т.е. , то при свободном падении тело к моменту времени пройдет путь: . Продифференцировав ее, получаем ; - ускорение постоянно. Более типично для механики иное: известно ускорение точки , требуется найти закон изменения скорости и координату . Для решения таких задач служит операция интегрирования.

При введении понятия первообразной пользуются аналогией с известными учащимся примерами взаимно обратных операций. Например, операция сложения позволяет по двум данным числам найти третье число – их сумму. Если же известно первое слагаемое и сумма, то второе слагаемое может быть "восстановлено" выполнением операции вычитания. Следовательно, вычитание – операция, обратная сложению, приводящая к единственному результату. Однако такое бывает не всегда. Например, возведение в квадрат числа 3 дает число 9. Пусть теперь известно, что число 9 является квадратом некоторого числа: . Выполнив обратную операцию – извлечение квадратного корня – получаем два значения: 3 и -3.

Дифференцирование функции приводит к новой функции , которая является производной функции Пусть теперь известно, что производная некоторой функции равна , т.е.: ; требуется найти функцию .

Операция нахождения функции по ее производной называется интегрированием. Выполняя интегрирование, можем получать следующие результаты: ;

; и т.д. Функция называется первообразными функции . Таким образом, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию; результат операции интегрирования называется первообразной. После этого сообщается определение первообразной: функция называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка

.

Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров.

Задачи, помимо использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение теоретического материала, служат средством его закрепления, о чем свидетельствуют и их формулировки. Например: найти такую первообразную функции, график которой проходит через данную точку.

Целесообразно обратить внимание учащихся на следующее: запись F(x)+c (общий вид первообразных для функции f(x) на заданном промежутке). Она связывает нас, с одной стороны, с произвольным значением постоянной с, а с другой стороны, в зависимости от условия предложенной для решения задачи – с конкретным. С этой целью можно вернуться к анализу решений уже рассмотренных задач. Чтобы показать, что учет конкретных условий задачи влечет обращение к вполне определенной первообразной, можно предложить учащимся найти управление пути, если за 2 секунды тело прошло 15 м.(найти уравнение кривой, проходящей через фиксированную точку А(1;2)).

Решение обеих задач связано с нахождением тех первообразных заданных функций, которые удовлетворяют указанным начальным условиям.

Работа с задачами убеждает учащихся в том, что их решение связано с выделением из множества первообразных данной функции вполне определенных конкретных первообразных (именно с этим мы сталкиваемся при решении задач практического содержания).

Изучение вопроса о правилах отыскания первообразных естественно связать с обращением к двум взаимообратным операциям: дифференцированию и интегрированию.

Например, введение третьего правила (ели F(x)-первообразная для функции f(x),а k(k0) и b – постоянные, то (1/k)F(kx+b) есть первообразная для функции f(kx+b) ), можно предварить рассмотрением с учащимися следующих задач:

1. Найти производные функций: sinx; sin4x; sin(4x+3);

2. Найти хотя бы одну первообразную для функции: cosx; cos4x; cos(4x+3).

Анализ решений этих задач и приводит к формулировке указанного правила нахождения первообразных, доказательство которого можно предложить учащимся провести самостоятельно.

3. Методическая схема изучения теоремы о площади криволинейной трапеции

Центральное место в изучении этой темы является теорема о площади криволинейной трапеции: "Пусть f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a, b] функция, S – площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F есть первообразная для f на отрезке [a, b], то S=F(b)-F(a)."

С помощью этой теоремы можно обосновать формулу Ньютона-Лейбница. Изучение доказательства проведем методом подготовительных задач.

1. Приращение аргумента, приращение функции.

Задача: "На рисунке площадь криволинейной трапеции представлена как функция от x. Укажите на этом рисунке

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов реферата