114916 (711471), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

S(x); S(x+x); S=S(x+x) – S(x)".

S(x) = a A B x; S(x+x) = a A C ; S = x B C ;

(необходимо потому, что учащиеся встречаются с новой геометрической интерпретацией уже известных понятий ).

1. Определение производной.

"Запишите определение производной функции применительно к функции S(x) ". В результате получим запись:

3. Понятие функции, непрерывной в точке.

"Пусть f(x) – функция, непрерывная в точке x.(см. рисунок) Отметим на оси абсцисс точки x, x+∆x и точку с, лежащую между ними. Пусть ∆x→0. К чему стремится f(c)? Из графических соображений получаем ответ, что если

∆x→0, то с→x, а f(c)→f(x).

4. Утверждение о том, что площадь криволинейной трапеции с основанием ∆x можно заменить равной площадью прямоугольника с тем же основанием ∆x и высотой f(c), где с – некоторая точка отрезка [x; x+∆x].

Существование точки с утверждается теоремой и может быть проиллюстрировано следующими заданиями: "На рисунке дана криволинейная трапеция с основанием ∆x. Построить прямоугольник, у которого основание было бы равно ∆x, а площадь равнялась бы площади криволинейной трапеции." Задание выполняется "на глаз", от руки и преследует цель добиться интуитивного(на наглядно-геометрическом уровне) осознания рассматриваемого факта.

5. Определение первообразной.

"Пусть S(x) – первообразная f(x). Поясните, что это обозначает. Пусть S(x) – одна из первообразных для функции f(x). Запишите формулу для общего вида первообразных функции f(x)"(привычное определение первообразной применяется в новых обозначениях).

Доказательство теоремы целесообразно разбить на три части:

1. Введём функцию S(x). Рассмотрим функцию S(x), определенную на отрезке [a,b], которая выражает зависимость площади криволинейной трапеции от аргумента x. Дадим аргументу x приращение ∆x, такое, что

.

Тогда приращение функции в точке x:

(∆x полагаем положительным)

2) Докажем что функция S(x) является первообразной для функции

для всех

Согласно определению производной, Так как - площадь криволинейной трапеции с основанием , то её можно заменить равной площадью прямоугольника с основанием и высотой f(c), где

Тогда:

Поскольку с лежит между x и x+∆x, то при ∆x→0 точка с стремится к x, а f(c)→f(x). Эти рассуждения можно записать в одну строчку следующим образом:

Итак,

.

3) Подведем итоги. Мы доказали , что S(x)– первообразная для f(x) на [a,b]. Но по условию F(x) – также первообразная для f(x) на этом отрезке. Следовательно, функции S(x) и F(x) отличаются друг от друга на некоторую константу С:

(1)

Пусть x=a равенство (1) примет вид: , откуда C=-F(a). При x=b равенство (1) запишется в виде: S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a). Таким образом, S= F(b)-F(a)

Рассмотрим простейший случай криволинейной трапеции – обычную трапецию. Пусть также трапеция образована графиком функции y=x и прямыми: x=1 и x=2. По формуле площади трапеции, известной из курса планиметрии,

Первообразная данной функции , а разность

Таким образом, этот пример подтверждает, что площадь трапеции может быть найдена как приращение первообразной: . Методика использования рассмотренного примера при ознакомлении учащихся с теоремой может быть такой: вначале ставится учебная проблема о нахождении связи между площадью криволинейной трапеции и первообразной; приводится пример, указывающий эту связь; формулируется теорема или сначала сообщается теорема, затем приводится примет, подтверждающий эту теорему.

4. Методическая схема и аспекты введения понятия интеграла в средней школе

Методическая схема введения понятия интеграла.

1)привести подводящую задачу;

2)сформулировать определение интеграла

1) Задачи, подводящие к этому понятию.

Задача№1. На отрезке [a,b] задана непрерывная и неотрицательная функция y=f(x). Укажите новый способ(не связанный с первообразной) нахождения площади S криволинейной трапеции, образованной графиком этой функции и прямых x=a и x=b.

Этапы решения задачи: 1) построение ступенчатой фигуры и вычисление её площади

[a,b] разбиваем на n равных частей:

Одна сторона прямоугольника - , вторая - , поэтому:

2) Выражение площади криволинейной трапеции через .

Производим деление [a;b] на более "мелкие" части и вычисляем следующее значение . После сравнения получаем: .

Задача№2. Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скоростью , где - непрерывная на отрезке функция. Требуется найти путь, который пройдет материальная точка за промежуток времени от до .

В простейшем случае, когда мгновенная скорость постоянна, путь, пройденный телом, равен произведению его скорости на время движения. В общем случае, когда мгновенная скорость непостоянна, поступают следующим образом:

Сравнивая результаты решения этих двух задач, формулируем общий метод решения: разбиение отрезка, на котором задана функция, на равные части; составление суммы вида , которая принимается в качестве приближенного значения искомой величины; выполнение предельного перехода: . Такие пределы встречаются при решении многих задач из разных областей науки и техники. Поэтому они получили специальное название "интеграл функции f(x) от a до b" и обозначение . Таким образом, по определению:

,

где f(x) – непрерывная на [a,b] функция; - точки, разбивающие отрезок [a,b] на равные части; - длина каждой из этих частей.

Запишем результаты решенных задач. Площадь криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией f(x) на [a,b],

Путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от до со скоростью , где - непрерывная на отрезке функция,

.

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции

и ,

получаем:

,

где F – первообразная для f на [a,b] – формула Ньютона-Лейбница, позволяющее вычислять интегралы.

Анализ материала учебных пособий, связанных с введением понятия "интеграл" и получением способа вычисления интегралов, приводят к следующим важным в методическом отношении выводам:

1. определение интеграла и формула Ньютона-Лейбница дают возможность доказать ряд часто применяемых свойств интеграла. В процессе доказательства этих свойств понятие интеграла и его геометрический смысл усваиваются глубже. Можно предложить, например, установить справедливость следующих утверждений:

1. если функция f имеет на отрезке [a,b] первообразную, то

,

где C – некоторая постоянная;

1. доказать формулу вычисления производной от интеграла с переменным верхним пределом интегрирования:

,

где f(x) – функция, непрерывная на интервале, содержащем точки a и x.

Предложенные упражнения полезны ещё и потому, что в процессе их решения устанавливаются (и используются) связи между операциями дифференцирования и интегрирования, между понятиями "производная", "первообразная", "интеграл" и их свойствами.

1. Понятие "интеграла" вводится для функции непрерывной на некотором отрезке (такая функция имеет на этом отрезке первообразную). Сознательному усвоению учащимися этого понятия (и понятия первообразной) будет способствовать специальное привлечение внимания школьников к этому факту. С этой целью могут быть использованы задачи, например, такие:

1. Возможно ли вычислить ? (подынтегральная функция имеет точку разрыва ), принадлежащую отрезку ).

2. Найти ошибку в вычислении интеграла:

(о том, что ошибка действительно допущена, свидетельствует результат: интеграл от положительной функции оказался отрицательным числом).

1. При каких значениях пределов интегрирования интеграл существует: ?

В точках 5 и –5 подынтегральная функция терпит разрыв; поэтому можно говорить о следующих условиях, которым должны удовлетворять значения пределов интегрирования:

1. Вычислить: а)

; б) ; в)

(в двух последних случаях интегралы не могут быть вычислены, т.к. подынтегральная функция не определена в каждой точке отрезка, заданного проделами интегрирования).

1. Установление связи понятий "интеграл" и "первообразная" происходит через обращения к площади соответствующей криволинейной трапеции. Уделяя внимание геометрическому смыслу интеграла, не следует ограничиваться только геометрической иллюстрацией в процессе решения задач на вычисление интегралов. Целесообразно специально подчеркнуть, что, опираясь на геометрический смысл интеграла, иногда получаем возможность: установить существование более простого по сравнению с рассмотренным способом вычисления интегралов (например, по симметричному относительно точки 0 промежутку от четной или нечетной функции). Сделать это можно, обратившись к задачам: не только вычислять площадь фигур, но и находить числовые значения интеграла, вычисление которых по известным учащимся формулам выполнить не удается. Например: .

1. Показать, что если f – непрерывная, четная на отрезке [-a,a] функция, то:

.

1. Показать, что если f – непрерывная, нечетная на отрезке [-a,a] функция, то: .

Вычислить:

Характеристики

Список файлов реферата