109056 (707866), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

-класс малых бесконечных чисел от ω_-=2^N,ω_-+1,ω_-+2,... до ω₀-1. Наименьшее бесконечное число ω_- называется бесконечным числом Кагота. О его несуществовании говорится в том же смысле, что и о несуществовании числа N;

-начальное бесконечное число ω=ω₀=∞/e. Оно является онтологическим основанием всех бесконечных кардинальных чисел – и больших ω₁,ω₂,..., и малых ω_-1,ω_-2,...;

-класс больших бесконечных чисел от ω+1,ω+2,... до наибольшего кардинала ω₊, о несуществовании которого говорится то же, что и о несуществовании чисел N и ω_-.

Из описания ряда Ω видно, что конечные числа связаны с бесконечными числами соотношением ω_-=2^N, которое называется аксиомой конечного-бесконечного, или гипотезой Кагота.

Если отвлечься от концептуальных противоречий ряда W, то можно отметить следующие его сходства и различия с бесконечным рядом Ω. Первое: все конечные числа в обоих рядах представляют собой, в общем-то, одно и то же счетное множество N, но в ряде W оно постулируется бесконечным с мощностью ω, а в ряде Ω оно обосновывается как конечное множество с мощностью N. Кроме этого, число ω в ряде W не имеет предшественника, а число N в ряде Ω имеет в качестве предшественника число N-1 (число N– это (L+1)-разрядное двоичное число 10...00, а число N-1– это L-разрядное двоичное число 1...11). Второе: все числа в ряде W, следующие за конечными числами и меньшие первого несчетного множества ω₁, являются счетными трансфинитными числами и характеризуют все счетные вполне упорядоченные множества, то есть это счетно бесконечные числа, составляющие вместе с конечными числами несчетное множество мощности ω₁=2^ω [12, с. 69-70]; в ряде же Ω за конечными числами следует класс чисел Кагота, уже не конечных, но еще и не бесконечных, которые вместе с конечными числами составляют наименьшее бесконечное множество ω_-=2^N. В некотором смысле формально, а именно в том смысле, что если числу ω из W сопоставляется число N из Ω, а числу ω₁ из ряда W– число ω_- из Ω, то начальная часть ряда W, имеющая мощность и представляющая собой знаковую конструкцию (6), есть такая же начальная часть ряда Ω, которая, однако, включает в себя наряду с конечными числами числа Кагота, не являющиеся еще бесконечными, но уже и не конечные, и имеет (предельную) наименьшую бесконечную мощность ω_-. Конечно, это так в том смысле, что не имеет особого значения – сколько противоречий имеет ряд W – столько же или на одно больше. Дальше в ряде порядковых чисел W идут просто трансфинитные числа, имеющие мощности ω₁,ω₂,... . В ряде же Ω за числами Кагота идут сначала числа малых бесконечных мощностей ω_-,...,ω_-2,ω_-1, затем – начальное бесконечное число ω₀, а за ним – числа мощности ω₀, и только потом уже идут числа больших бесконечных мощностей ω₁,ω₂,...,ω₊. как видим, ряд W содержит в себе в качестве подмножества лестницу кардиналов ω,ω₁,ω₂,..., которая имеет начальный кардинал и не имеет последнего кардинала, ряд же Ω имеет существенно иную лестницу кардиналов ...,ω_-2,ω_-1,ω₀,ω₁, ω₂,..., которая уже не имеет не только последнего кардинала, но и первого, что показывает, что множество трансфинитных чисел становится более интересным и богатым.

Таким образом, несмотря ни на какие противоречия, бесконечность во всех своих ипостасях была, есть и будет. Аристотель говорил: "Infinitum Actu Non Datur!" (актуальная бесконечность не существует!), мы же говорим: "Infinitum Actu Datur!" (актуальная бесконечность существует!).

Список литературы

1. Чанышев А.Н. Курс лекций по древней философии. М., 1981.

2. Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М., 1983.

3. Бурова И.Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. М., 1976.

4. .Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. М., 1987.

5. Теребилов О.Ф. Логика математического мышления. Л., 1987.

6. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? М., 1987.

7. Зенкин А.А. Ошибка Георга Кантора. // Вопросы философии. 2000, №2.

8. Зенкин А.А. Infinitum Actu Non Datur. // Вопросы философии. 2001, №9.

9. Зенкин А.А. Когнитивная визуализация трансфинитных объектов классической (канторовской) теории множеств. // Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. М., 1997.

10. Математическая энциклопедия. М., 1977, Т.1, 1984, Т.4.

11. Станишевский О.Б. Аритмология (Введение в онтологию): Бесконечность и рефлексивная сущность Бытия. Таганрог, 2003.

12. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977.

13. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М., 1979.

14. Волков В.А. Элементы теории множеств и развитие понятия числа. Л., 1978.

15. Рытхэу Ю. Числа Какота. - Избранное. Л., 1982, Т.2.

Характеристики

Список файлов реферата