63500 (695346), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Другой пример системы, имеющей одну особую точку («неустойчивый фокус») и один охватывающий ее предельный цикл, показан на рис.3, а.

Здесь положение равновесия неустойчиво, но «область отталкивания» или неустойчивости системы ограничена предельным циклом (эта область заштрихована на рис.3, а). При начальном положении изображающей точки внутри заштрихованной области система будет двигаться по траектории, соответствующей колебаниям с нарастающей амплитудой, и постепенно в системе установятся незатухающие колебания, соответствующие предельному циклу. Наоборот, при начальном положении вне заштрихованной области, колебания затухают до тех пор, пока точка не попадёт на предель­ный цикл, и установятся колебания, соответствующие предельному циклу. Он в этом случае не только разделяет две области фазового портрета, но и определяет устойчивые незатухающие колебания в системе {устойчивый предельный цикл). В данном случае предельный цикл является аттрактором.

На рис.3, б показан фазовый портрет системы, содержащий два предельных цикла, охватывающих единственную особую точку — устойчивый фокус. Эта система имеет два аттрактора.

Область притяжения первого аттрактора — фокуса в начале координат, соответствующего регулируемому равновесию, ограничена внутренним неустойчивым предельным циклом.

Рис. 3 Фазовые портреты нелинейных систем с предельными циклами: а — в системе один аттрактор — устойчивый предельный цикл, его область притяжения — вся фазовая плоскость, б — система с двумя предельными циклами (устойчивым и неустойчивым) и одним устойчивым фокусом

Если возмущения не выводят систему за пределы области, охватываемой внутренним предельным циклом, положение равновесия восстанавливается и система сохраняет устойчивость. Если же система окажется вне внутреннего предельного цикла, она попадает в область притяжения второго аттрактора — внешнего устойчивого предельного цикла, и в системе с течением времени устанавливаются незатухающие колебания, соответствующие внешнему циклу.

На рис.4, а показан аналогичный фазовый портрет для случая, когда положение регулируемого равновесия неустойчиво, и в начале координат располагается неустойчивый фокус. Если начальное состояние этой системы лежит в любой точке фазовой плоскости, лежащей внутри внешнего предельного цикла, то в системе устанавливаются незатухающие колебания, соответствующие единственному аттрактору — внутреннему предельному циклу. Если же начальное состояние окажется вне внешнего предельного цикла, то в системе возникают колебания, амплитуда которых неограниченно растет.

Система может иметь предельные циклы и тогда, когда фазовый портрет содержит более одной особой точки. Пример такого рода показан на рис.4, б. Здесь регулируемое равновесие неустойчиво(в начале координат — неустойчивый фокус), предельному циклу соответствуют устойчивые незатухающие колебания, которые устанавливаются с течением времени, если начальная точка лежит внутри области, выделенной фазовой траекторией, проходящей через вторую особую точку — седло. Эта траектория выделена на рис.4., б жирной линией.

Рис.4. Фазовые портреты нелинейных систем, не имеющих устойчивых особых точек: а — система с двумя предельными циклами, из которых только внутренний устойчив, б — система с устойчивым предельным циклом и седлом

Если фазовый портрет системы содержит более одной особой точки или если он содержит замкнутые траектории (предельные циклы), то область устойчивости не может охватывать всей фазовой плоскости подобно тому, как это имеет место в линейной системе. В этом случае область устойчивости всегда ограничена предельным циклом или фазовой траекторией, проходящей через особую точку.

Разумеется, фазовый портрет нелинейной системы может и не содержать дополнительных особых точек или замкнутых траекторий. В этом случае область влияния начала координат фазового пространства может охватывать всю фазовую плоскость и, так же, как в линейной системе, устойчивость не зависит от величины начального положения изображающей точки и величины возмущений.

До сих пор рассматривалась система, для описания которой достаточно двух уравнений первого порядка

В большинстве случаев при решении практических задач теории автоматического регулирования приходится иметь дело с уравнениями более высоких порядков.

Если порядок уравнения системы п больше, чем второй, то вместо двумерного фазового пространства — плоскости рассматривают n-мерное пространство, то есть такое пространство, в котором для задания точки надо задать п чисел — координат.

Если система дифференциальных уравнений имеет периодическое решение, то этому решению в фазовом пространстве соответствует замкнутая кривая. На плоскости замкнутые кривые являлись границами областей. В пространстве же ограничивать определенные области могут только поверхности, а не кривые. Поэтому замкнутая траектория по-прежнему соответствует периодическому решению рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, но не служит границей области.

Существуют два принципиальных различия между фазовой плоскостью и фазовым пространством.

1. На фазовой плоскости предельный цикл является не только образом колебательного движения, но и границей области устойчивости для другого предельного цикла или особой точки.

Иногда границей служат и сепаратрисные кривые, но это имеет место в сравнительно редких случаях (главным образом при наличии нескольких особых точек, когда сепаратрисами служат траектории, проходящие через седла — см. рис.2, а и рис.4, б).

В фазовом же пространстве никакая кривая (в том числе и предельный цикл) не может быть границей области.

Области ограничиваются сепаратрисными поверхностями, целиком состоящими из фазовых траекторий.

В результате для фазовой плоскости нахождение особых точек и предельных циклов часто решает задачу и об областях устойчивости «в большом». В фазовом же пространстве нужно для этого найти и сепаратрисные поверхности — задача чрезвычайно сложная.

2. В системах второго порядка колебания могут быть только пе­риодическими на одной определённой частоте.

При более высоких порядках могут сосуществовать колебания разных частот, например:

Если частоты и не связаны целочисленным соотношением к = т (где к и т — целые числа), то сумма этих двух колебаний есть тоже колебание, но непериодическое.

Такое колебание в фазовом пространстве образует уже не замкнутую траекторию, а траекторию, полностью заполняющую некоторую замкнутую поверхность (например, тор — см. рис.5).

Рис.5. Тороидальная поверхность, образуемая колебаниями в системе третьего порядка

Устойчивость нелинейных систем «в малом», «в большом» и «в целом». Системы, эквивалентные устойчивым линейным. Абсолютная устойчивость

Задача расчёта нелинейной САУ может считаться полностью качественно решенной, если определены фазовые портреты, возможные в этой системе, и если в ее пространстве параметров определены бифуркационные границы. Количественное решение задачи требует, кроме того, определения формы и расположения предельных циклов и сепаратрис (или сепаратрисных поверхностей) для каждой точки пространства параметров.

Аналитически столь полно решить нелинейную задачу удается лишь в отдельных частных случаях и, как правило, при существенной идеализации задачи.

С геометрической точки зрения, первая задача состоит в выделении нелинейных систем, у которых фазовое пространство имеет наиболее простую топологическую структуру: единственная особая точка (устойчивый фокус или узел) расположена в начале координат, иных особых траекторий нет, и область устойчивости (притяжения) особой точки охватывает все пространство. Именно такую топологическую структуру имеет фазовое пространство устойчивой линейной системы. В этом смысле задача сводится к отысканию условий, при выполнении которых нелинейная система топологически эквивалентна (условно мы будем говорить просто «эквивалентна») устойчивой линейной системе.

Вторая задача связана с определением периодических решений систем дифференциальных уравнений. Знание возможных периодических решений играет разную роль для систем, имеющих второй порядок, и для систем, имеющих более высокий порядок. В любом случае знание периодических решений важно само по себе: если периодическое решение устойчиво, то оно определяет незатухающие колебания, возможные в системе. Но для систем второго порядка знание периодических решений (то есть предельных циклов) и возможных равновесий (особых точек) позволяет часто восстановить фазовый портрет системы, а условия появления периодических решений позволяют восстановить ее бифуркационные границы. Иначе обстоит дело для систем, порядок которых выше двух. У таких систем знание особых точек и предельных циклов недостаточно для восстановления фазового портрета — решающую роль играют сепаратрисные поверхности.

Когда говорят об устойчивости линейных систем, имеют в виду просто сходимость к положению равновесия процесса, вызванного произвольным начальным отклонением или возмущением. Используя геометрический образ фазового пространства, можно уточнить теперь понятие устойчивости нелинейной системы.

Равновесие называется устойчивым «в малом», если ему соответствует в фазовом пространстве системы устойчивая особая точка, то есть можно указать в фазовом пространстве область, из любой точки которой фазовые траектории ведут к точке равновесия.

Таким образом, утверждение, что регулируемый режим устойчив «в малом», означает лишь наличие точки — аттрактора, но не определяет как-либо границ её области притяжения. Пусть фазовый портрет системы построен и выделена область притяжения особой точки (область устойчивости). Назовем ее областью А.

Укажем теперь на фазовой плоскости область, в пределах которой могут оказаться значения координат х₁, х₂ рассматриваемой системы автоматического регулирования в соответствии с условиями ее технической эксплуатации, то есть область рабочих диапазонов х₁ и х_{2 .} Назовем ее областью В.

Если все точки области В принадлежат области А, то регулируемый режим называется устойчивым «в большом».

На рис.6 показан пример фазового портрета, в котором область устойчивости ограничена неустойчивым предельным циклом. Две области значений х₁, х₂ при любых физически возможных возмущениях системы заданы в виде прямоугольников. В случае рис.6, а система устойчива «в большом», а в случае рис.6, б она устойчива «в малом», но не устойчива «в большом», так как при некоторых значениях х₁, и х₂, возможных в системе, регулируемый режим не восстанавливается.

Если область притяжения особой точки (область устойчивости) не ограничена и охватывает все фазовое пространство, то есть система устойчива после любых начальных отклонений, то она называется устойчивой «в целом». Если линейная система устойчива, то она всегда устойчива «в целом». Нелинейные системы, имеющие единственное положение равновесия, устойчивое «в целом», составляют класс нелинейных систем, в смысле топологической структуры фазового пространства эквивалентных линейным.

Разработано множество аналитических методов исследования нелинейных систем. Однако как было отмечено выше, все они включают в большинстве случаев существенные упрощающие предположения. Между тем, использование современных быстродействующих компьютеров позволяет за сравнительно короткое время строить реальные фазовые портреты систем без упрощающих предположений. При этом путём прямых компьютерных экспериментов удаётся в большинстве случаев выявить бифуркационные границы и установить комбинации параметров системы, обеспечивающие её устойчивость в целом.

Рис.6. Области устойчивости системы в фазовой плоскости: а — «в большом» и б — «в малом»

Контрольные вопросы

1. Что такое неустойчивая система?

2. В чем особенность фазовых портретов нелинейных систем?

3. Что называется предельным циклом нелинейной системы?

4. Устойчивый и неустойчивый предельный цикл?

5. Роль неустойчивого предельного цикла как границы устойчивости?

6. Может ли линейная система быть устойчивой в малом и неустойчива в большом?

Характеристики

Список файлов реферата