123976 (689741), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Предварительно определим моменты для элементов сечения относительно собственных центральных осей, а последующие вычисления выполним в табличной форме (табл. 5)

Таблица 5 – Момент инерции

№ эл-в	yi	Ai				yi = υi – υc
1	–0,6t	8t2	10,7t4		2,88t4
2	–1,6t	–3t2	–1,5t4		–7,68t4
Σ			9,2t4		–4,8t4
			4,4t4

Момент сопротивления

Поскольку материал хуже работает на растяжение, то с точки зрения наиболее эффективного его использования профиль следует расположить так, чтобы более тонкий слой толщиной h2 испытывал растяжение в опасном сечении А. В этом сечении растяжение возникает в верхней части балки, поэтому профиль следует расположить полостью вниз.

Подбор сечения балки.

Находим необходимые размеры:

– из условия прочности на растяжение

мм

– из условия прочности на сжатие

мм

Принимаем большее значение t = max { tр , tс} = 113 мм.

В опорном сечение D изгибающий момент меньше расчетного. Поэтому здесь нужно проверить прочность балки на растяжение. Находим

МПа

Т.к. перенапряжение составляет 15,4%, что недопустимо, принимаем t =200 мм

МПа

В этом случае перенапряжение составляет 2,78%, что допустимо, т.к. 2,78% < 5%, следовательно прочность балки при найденных размерах будет обеспечена.

Создание стержня определенной жесткости

Подобрать сечение балки (рис. 11,а), удовлетворяющее условиям прочности и жесткости. Допускаемое напряжение материала определяется исходя из диаграммы растяжения материала (задача 1.3). Исследование перемещения выполнить двумя способами:

– пользуясь методом начальных параметров, определить прогибы и углы поворота сечений балки с координатами z = 0, a, 2a, 3a, 4a, 5a; изобразить изогнутую ось балки и показать на ней найденные перемещения;

– определить прогибы в середине пролета и на концах консолей, а также углы поворота на опорах энергетическим методом.

Принять: q= 15 кН/м, а = 1,2 м, [σ] = 220 МПа, l / [ f ] = 800

Решение

1. Определение опорных реакций и построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента.

ΣmB=0

RA4a + 1,5qa2 – q4a2а 1,5qa·a = 0

RA = 2qa

ΣYi=0

RA 4qa + 1,5qa + RB = 0

RB =0,5qa

Эпюра Qy. Поперечная сила изменяется на всех участках по линейному и принимает в характерных точках следующие значения (рис. 11,б)

QA=RA=2qa

QAD=QA – qa=2qa – qa=qa

QDB=QAD –q3a=qa – 3qa= – 2qa

QB=QDB + RB = – 2qa + 0,5qa= – 1,5qa

QBC =QB = – 1,5qa

QC=QDC + 1,5qa = – 1,5qa +1,5qa = 0

Эпюра Mx. Изгибающий момент изменяется по квадратичному закону на участке AB (q=const) и по линейному закону – на участке BC (q=0). Вычисляем значения в характерных точках и строим эпюру (рис. 11,в)

MA = 0

MAD = MA + qa2 = 0+ 1,5qa2 = 1,5qa2

MD = MAD + 1,5qa2 = 1,5qa2+ 1,5qa2 = 3qa2

ME = MD + qa2 = 3qa2+ 0,5qa2 = 3,5qa2

MB = ME – qa2 = 3,5qa2 – 2qa2 = 1,5qa2

MC = MB – 1,5qa2 = 1,5qa2 – 1,5qa2 = 0

Расчетный изгибающий момент равен

Mрас = |ME| = 3,5qa2 = 3,5·15·103·1,22 = 75,6 кН·м

Определение перемещений.

Для перемещения упругих перемещений в инженерной практике применяются как аналитические (точные и приближенные), так и графические методы. Из точных аналитических методов следует отметить метод начальных параметров и энергетический метод. К приближенным относят метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ).

Определим первыми двумя методами.

Метод начальных параметров.

Из граничных условий задачи имеем: νA = 0, νB = 0. Первое дает ν0 = 0, а из второго находим θ0 :

откуда

А теперь находим искомые перемещения:

– сечение z=a

– сечение z=2a

– сечение z=3a

– сечение z=4a

– сечение z=5a

Результаты вычислений сведем в табл. 6 и построим упругую линию балки, показано на рис. 11,а пунктиром.

Таблица 6 – Перемещения и угол поворота в сечение балки

Перемещения	Сечение z
	0	а	2а	3а	4а	5а
θ
ν	0				0

Для расчета балки на жесткость необходимо знать максимальный прогиб, который имеет место в сечении, где угол поворота равен нулю. Последний описывает полиномом 3-й степени и в связи с этим нахождение максимального прогиба связано с громоздкими вычислениями. С другой стороны, судя по приведенной выше таблице, он имеет место в интервале (2а, 3а). В силу непрерывности функции прогибов νmax мало отличается от прогиба сечения E. Следовательно, с небольшой погрешность (не превышающей точности инженерных расчетов) можно принять

νmax ≈ νЕ =

Энергетический метод

Искомые перемещения находятся с помощью интеграла Мора

для вычисления которых в простых случаях можно пользоваться правилом Верещагина

а в более сложных случаях – формулой Симпсона

При наличие на данном участке равномерно распределенной погонной нагрузки q величина момента посредине участка находится следующим образом

Величина моментов Млев и Мпр берутся со своими знаками. Знак «плюс» перед вторым слагаемым соответствует погонной нагрузке, направленной вниз, а «минус» – вверх.

Строим эпюры моментов от заданной нагрузки и от единичных воздействий, приложенных к балке в направлении искомых перемещений (рис. 11,г – з).

Определяем моменты по средине участков

Перемножая соответствующие эпюры, находим искомые перемещения, увеличенные для удобства вычислений в EI раз:

Знак «минус» у перемещения указывает, что оно противоположно направлению соответствующего единичного фактора: единичной силы для прогиба сечения С и единичного момента для угла поворота сечения В, т.е. прогиб νС направлен вверх, а сечение В поворачивается против часовой стрелки. Знак «плюс» у угла поворота θА указывает, что сечение В поворачивается в направлении единичного момента, т.е. по часовой стрелки.

Подбор сечения балки по условиям прочности и жесткости.

Из условия прочности имеем

Отсюда, учитывая что

Mmax = 75,6 кН

находим диаметр сечения балки, удовлетворяющий условию прочности

мм

Далее согласно условию жесткости

откуда с учетом

мм

находим искомый диаметр, удовлетворяющий условию жесткости

мм

Из двух полученных значений принимаем большее, т.е.

d = max {dпч,dж} = dж = 237 мм

После округления до ближайшего стандартного значения по ГОСТ 6636-86 окончательно получим d0 =240 мм.

Найденное таким образом значение диаметра поперечного сечения бруса, обеспечит надежную работу балки, так как удовлетворяет одновременно и условию прочности, и условию жесткости.

Характеристики

Список файлов курсовой работы