referat (675831), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

в результате получится задача:

(3)

Нетрудно доказать, что любая стратегия, являющаяся решением задачи (3), эффективна; более того, всякая максимизирующая последовательность, служащая решением этой задачи, также эффективна.

Смысл указанного приема заключается в том, что при достаточно малом числе >0 для любой полученной в результате решения задачи (3) стратегии w значение критерия K_S(w) будет весьма близким к Q_s^*) и эта стратегия эффективна, в то время как при решении S) задачи (1) может быть получена стратегия и, которую выгодно заме­нить некоторой эффективной стратегией v>u, су­щественно лучшей, чем и, но одному или даже не­скольким частным критериям. А поскольку величи­ны уступок А, на практике устанавливаются при­ближенно, то замена Ks на K*_s при малых >0 в силу указанной причины оказывается допустимой и оправданной.

Таким образом, понятие эффективной стратегии позволило уточнить вычислительную процедуру отыскания оптимальных стратегий методом после­довательных уступок.

С другой стороны, метод последовательных уступок позволяет указать характеристическое свойство эффективных стратегий.

Теорема 1.

Для любой эффективной стратегии u* существуют такие числа ^*_r, что эту стратегию можно выделить методом последовательных уступок, т. е.
при _r=^*_r, r=1, 2,...,S—1, стратегия u* являет­ся единственным (с точностью до эквивалентности) решением S) задачи (1).

Теорема 1 характеризует эффективные стра­тегии с помощью последовательности задач (1). В частности, она показывает, что метод последова­тельных уступок можно использовать для построе­ния множества эффективных стратегий.

Более того, теорема 1 позволяет исследовать и сам метод последовательных уступок. Действи­тельно, она показывает, что при любом фиксирован­ном расположении частных критериев, по степени относительной важности одним лишь выбором ве­личин уступок можно обеспечить выделение любой эффективной стратегии в качестве оптимальной (так что проблема отыскания оптимальной страте­гии, т. е. проблема выбора эффективной стратегии из всего множества U°, формально эквивалентна проблеме назначения надлежащих величин уступок при произвольном фиксированном упорядочении критериев).

Следовательно, для решения многокритериаль­ной задачи нужно так ранжировать критерии, чтобы потом удобнее было выбирать величины уступок. Учитывая вышеизложенное и внимательно рассмо­трев порядок назначения величин уступок, можно сделать следующий вывод: метод последовательных уступок целесообразно применять для решения тех многокритериальных задач, в которых все частные критерии естествен­ным образом упорядочены по степени важности, причем каждый критерий настолько существенно более важен, чем последующий, что можно ограни­читься учетом только попарной связи критериев и выбирать величину допустимого снижения очеред­ного критерия с учетом поведения лишь одного сле­дующего критерия.

Особенно удобным является случай, когда уже в результате предварительного анализа многокритериальной задачи выясняется, что можно допустить уступки лишь в пределах «инженерной» точности (6—10% от наибольшей величины критерия).

Решение многокритериальной задачи методом последовательных уступок — процедура довольно трудоемкая, даже если заранее выбраны величины всех уступок. Поэтому большой интерес представляет вопрос: можно ли при заданных _i получить оптимальную стратегию за один этап, сведя после­довательность задач (1) к одной экстремальной задаче?

Мы можем указать лишь приближенный способ одноэтапного решения для S=2. Он основан на следующем утверждении:

Лемма 1.

Пусть множество UR^p замкнуто и ограничено, K₁и К₂ непрерывны на U, ₁0 и  ₁/M¹₂, где

(4)

Тогда для любой стратегии u*, доставляющей функции L=K₁+К₂ наибольшее на U значение, справедливо неравенство Q₁-K₁(u*) ₁ причем если K₁(u*) Q₁, то

Эта лемма, показывает, что если решить задачу максимизации на U функции L=K₁+К₂, в кото­рой число  назначено указанным образом, то для полученной стратегии u* (она обязательно эффек­тивна) значение K₁(u*) будет отличаться от максимального Q₁ не более, чем на ₁, a K₂(u*) будет тем ближе к Q₂, чем точнее назначена оценка М¹₂.

Однако даже если взять число М¹₂, удовлетворяю­щее (4) как равенству, и положить  = ₁/M¹₂, то все равно нельзя гарантировать, что K₂(u*)=Q₂, так что рассматриваемый способ действительно является приближенным.

Пример 4. Пусть U — четверть единичного круга, ле­жащая в положительном квадранте: U={u: uR₂, u²₁+u²₂1, u₁0, u₂0} K₁(u)=u₁, K₂(u)=u₂. Здесь Q₁ = l и М¹₂=1, если исходить из (4) как равенства. Примем ₁=0,2; =0,2.

Функция u₁ + 0,2u₂ достигает максимума на U в единственной точке так что , однако

Пример 5. U={u: uR_{2 ,} 0u₂1, (1+)u₂1-u₁} где  — положительное число, K₁(u)=u₁, K₂(u)=u₂ . Исполь­зуя (4) как равенство, находим: М¹₂ = 1. Положим ₁=1; =1. Функция u₁+u₂ достигает на U максимума в един­ственной точке (1, 0). Возьмем теперь ; =1 + . где — любое сколь угодно малое положительное число. Тогда при < функция u₁+(1+)u₂ будет достигать максимума на U в точ­ке (-, 1), так

что Q₁-K₁(-, 1) = 1+ >₁=1.

Примечание. Для решения многокритериальных задач иногда применяют метод выделения основного частного кри­терия. Этот метод состоит в том, что исходная многокритери­альная задача сводится к задаче оптимизации по одному частному критерию К_L, который объявляется основным, или главным, при условии, что значения остальных частных кри­териев К_r должны быть не меньше некоторых установленных величин («требуемых» значений) b_r, т. е. к задаче

найти (5)

причем оптимальной считается обычно всякая стратегия, яв­ляющаяся решением задачи (5).

Выделение критерия K_t в качестве основного и назна­чение пороговых величин b_r, для остальных частных критериев фактически означает, что все стратегии разбиваются на два класса. К одному относятся стратегии, которые удовлетворяют всем S—1 ограничениям K_r(u)b_r; такие стратегии можно назвать допустимыми. К другому классу относятся такие стратегии, которые не удовлетворяют хотя бы одному из указаных S—1 неравенств. Наконец, среди допустимых стратегий предпочтительнее считается та, для которой значение Критерия K_l больше.

Необходимо отметить, что установившееся название — «ос­новной», или «главный» критерий — по существу весьма условно. Действительно, критерий K_l максимизируется на множестве лишь допустимых стратегий; иначе говоря, если для стратегии u значение некоторого «второстепенного» частного критерия K_r оказывается хоть немного меньше, чем b_r, то она уже не может «претендовать» на роль оптимальной, сколь бы большим ни было для нее значение основного критерия. Сравнение (5) и (1) показывает, что метод после­довательных уступок формально можно рассматривать как особую разновидность метода выделения основного частного критерия, отличающуюся наличием специфической процедуры назначения величин ограничений для задачи максимизации K_S (это обстоятельство фактически уже использовалось при доказательстве теоремы 1).

Поэтому все полученные выше результаты, связанные с вопросами выделения эффективных стратегий методом последовательных уступок, переносятся и на рассматриваемый метод. В частности, этот метод выделяет лишь эффективные стратегии, когда решение задачи (5) единственно с точностью до эквивалентности; если же справедливость указанного условия единственности не установлена, то целесообразно в (5) заменить K_l на

, где >0 – достаточно малое число.

Выбор конкретной эффективной стратегии из множества U⁰ формаль­но эквивалентен назначению надлежащих величин b_r, причем в качестве основного можно выбрать любой частный крите­рий.

Это означает, с одной стороны, что рассматриваемый метод универсален в том смысле, что он позволяет для каждой ммногокритериальной задачи выделить в качестве наилучшей любую эффективную стратегию.

Это же означает, с другой стороны, что вопросы о выборе одного из частных критериев в качестве основного и назначении минимально допустимых величин b_r для остальных критериев нужно решать совместно, ибо какой бы частный критерий ни был выбран основным, только лишь назначением величин ограничений на остальные критерии можно обеспе­чить получение в качестве оптимальной любой (намеченной) эффективной стратегии.

Таким образом, предварительное выделение одного из ча­стных критериев основным еще никак не уменьшает свободы выбора эффективной стратегии (так что название «основной», или «главный» критерий действительно весьма условно). Сле­довательно, при качественном анализе конкретной многокри­териальной задачи вопрос о выделении одного из частных критериев в качестве основного следует решить так, чтобы облегчить назначение величин ограничений на остальные частные критерии.

Практически назначается серия «наборов» {b_r} пороговых значений и для каждого «набора» отыскивается соответствую­щее наибольшее значение основного критерия (при этом сле­дует учитывать данные выше рекомендации, относящиеся к обеспечению (получения лишь эффективных стратегий, а так­же иметь в виду, что при произвольно назначенных числах b_r может случиться, что задача (5) вообще не имеет смыс­ла, так как ни одна стратегия не удовлетворяет входящим в нее ограничениям).

Далее на основании анализа полученной серии значений всех частных критериев (т. е. серии значений векторного кри­терия) производится окончательное назначение величин огра­ничений, чем определяется и выбор стратегии, которая и бу­дет считаться оптимальной.

Рассмотрение указанной процедуры назначения величин ограничений показывает, что расчет серии значений всех частных критериев фактически имеет целью получение представления о множестве эффективных стратегий (или некоторо­го его подмножества) с помощью ряда отдельных точек, а за­тем эта информация служит для окончательного выбора стра­тегии (производимого на основании интуиции, «здравого смыс­ла» и т. п.).

Следовательно, метод выделения основного частного критерия стоит применять лишь в том случае, когда имеются соображения о примерных значениях величин b_r, (или о до­вольно узких пределах этих значений), позволяющие огра­ничиться рассмотрением сравнительно небольшой части всего множества эффективных стратегий.

Список использованной литературы.

1) Подиновский В.В. , Гаврилов В. М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М., «Сов. радио», 1975, 192 стр.

Характеристики

Список файлов реферата