Simpsons (675828), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Однако при применении правила Рунге необходимо учитывать величину погрешности вычислений: с уменьшением абсолютная погрешность вычислений интеграла увеличивается (зависимость от обратно пропорциональная) и при достаточно малых может оказаться больше погрешности метода. Если превышает , то для данного шага применять правило Рунге нельзя и желаемая точность не может быть достигнута. В таких случаях необходимо увеличивать значение .

При выводе правила Рунге вы существенно пользовались предположением, что . Если имеется только таблица значений , то проверку «на постоянство» можно сделать непосредственно по таблице Дальнейшее развитие приведенных алгоритмов позволяет перейти к адаптивным алгоритмам, в которых за счет выбора различного шага интегрирования в разных частях отрезка интегрирования в зависимости от свойств уменьшается количество вычислений подынтегральной функции.

Другая схема уточнения значений интеграла - процесс Эйтнена. Производится вычисление интеграла с шагами , причем . Вычисление значений . Тогда (14).

За меру точности метода Симпсона принимают величину :

5. Примеры

Пример 1. Вычислить интеграл по формуле Симпсона, если задана таблицей. Оценить погрешность.

Таблица 3.

Решение: Вычислим по формуле (1) при и интеграл .

.

По правилу Рунге получаем Принимаем .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение: Имеем . Отсюда h= =0.1. Результаты вычислений приведены в таблице 4.

Таблица 4.

Вычисление интеграла по формуле Симпсона

По формуле Симпсона получим:

Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность складывается из погрешностей действий и остаточного члена . Очевидно:

= ;

где - коэффициенты формулы Симпсона и - максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции.

= .

Оценим остаточный член. Так как , то . Отсюда max при и, следовательно,  . Таким образом, предельная полная погрешность есть R= и, значит,  .

Пример3. Вычислить интеграл: .

Решение:

.

Поскольку , при x[2,3], для производных и получаем:

-1.4  1, то есть   1,

-  3, то есть   3.

Оценки для погрешности метода Симпсона :  0.0000017 для =0.1,  0.0000002 для =0.05.

Чтобы погрешность округления не искажала столь точный результат для формулы Симпсона, все вычисления проводились с шестью знаками после запятой.

Окончательные результаты:

12

Характеристики

Список файлов реферата