Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для вычисления воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически: .

Чтобы выразить производную через функцию y=f(x), заметим, что и, следовательно .

Дифференцируя по x последнее равенство, получаем .

И так как , то

, и окончательно, так как , получаем

.

Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.

Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.

Пусть кривая задана параметрически: x=(t), y=(t). Тогда

Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем

.

Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.

Пусть кривая задана уравнением вида  = f(). Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x =  cos , y =  sin  .

Если в эти формулы подставить вместо  его выражение через , то есть f(), то получим

x = f() cos , y = f() sin 

Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является .

Тогда ,

,

Подставляя последние выражения в формулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярных координатах:

Радиус и круг кривизны

Определение 7. Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: R = 1/K, или

Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М.

Точка С называется центром кривизны данной кривой с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М.

Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.

Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты  и  центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:

Так как точка C(, ) лежит на нормали, то её координаты должны удовлетворять уравнению .

Далее, точка C(, ) находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R:

Решив совместно уравнения * определим , :

и так как , то

Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y^!!>0 и y^!!<0. Если y^!!>0 , то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, >y (рис. 9) и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае y^!!= y^!!, формулы координат центра запишем в следующем виде:

(1)

Аналогично можно показать, что формулы будут справедливы и в случае y^!!<0.

Параметрическое задание кривой

Если кривая задана параметрически: x = (t), y = (t), то координаты центра кривизны можно получить из формул *, подставляя в них вместо y^! и y^!! их выражения через параметр:

.

Тогда

(2)

Эволюта и эвольвента

Если в точке M₁(x, y) данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определённый центр кривизны C₁(, ) . Совокупность всех центров кривизны данной линии образует некоторую новую линию, называемую эволютой по отношению к первой.

По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентой или инволютой (или развёрткой). Дадим определение.

Определение 8. Геометрическое место центров кривизны линии L называется её эволютой L₁ , а сама линия L относительно своей эволюты называется эвольвентой.

Если данная кривая определяется уравнением y=f(x) , то уравнения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром x. Исключая из этих уравнений параметр x, получим непосредственную зависимость между текущими координатами эволюты  и . Если же кривая задана параметрически x = (t), y = (t), то уравнеия (2) дают параметрические уравнеия эволюты.

Свойства эволюты

Теорема 1. Нормаль к данной кривой является касательной к её эволюте.

Доказательство. Угловой коэффициент касательной к эволюте, определяемой параметрическими уравнениями (1) , равен . В силу уравнений (1)

, (3)

(4)

Получаем соотношение

.

Но y^! есть угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтому из полученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная к её эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, то есть нормаль к кривой является касательной к эволюте.

Теорема 2. Если на некотором участке M₁M₂ кривой радиус кривизны изменяется монотонно, то приращение длины дуги эволюты на данном участке кривой равно по абсолютной величине соответствующему приращению радиуса кривизны данной кривой.

Доказательство.

Так как , где ds - дифференциал длины дуги эволюты; отсюда

Подставляя сюда выражения (3) и (4) получим

. (4)

Так как , то .

Дифференцируя по x обе части этого равенства, получим после соответствующих преобразований

Деля обе части равенства на , получим

.

Возведём в квадрат полученное равенство:

(5), и сравнивая равенства (4), (5) находим

, откуда

По условию не меняет знак (R только возрастает или только убывает), следовательно, и не меняет знак. Пусть для определённости , а . (рис. 10) Следовательно,

Пусть точка M₁ имеет абсциссу x₁, а M₂ – абсциссу x₂.

Применим теорему Коши к функциям s(x) и R(x) на отрезке [x_1, x₂]:

Где  - число, заключённое между x₁ и x₂ .

Введём обозначения (рис. ): S(x₂) = s₂, s(x₁)= s₁, R(x₂)=R₂, R(x₁)=R₁

Тогда . Но это значит, что . Теорема доказана.

Доказательство при возрастании радиуса кривизны аналогично.

Если кривая задана параметрически, то теоремы 1 и 2 остаются в силе и доказываются аналогично.

Укажем без доказательства приёмы приближённых построений эволюты по эвольвенте и эвольвенты по эволюте.

1). Каждая нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте; эволюта как бы огибает всё семейство нормалей эвольвенты. Поэтому, если постройть достаточно большое число нормалей к эвольвенте L, то огибающая их линия и будет эволютой L^! (рис.11 ).

2). Если гибкую нерастяжимую нить, обтягивающую заданную выпуклую линию L^! развёртывать, сохраняя постоянно натянутой, то каждая её точка опишет эвольвенту L. Поэтому эвольвенту называют ещё развёрткой. Эта операция развёртывания нити равносильна качению без скольжения прямой линии по данной линии L^!; Каждая точка такой прямой описывает эвольвенту L линии L^!. Отсюда следует, что данная эволюта L^! имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.

следует, что данная эволюта L^! имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.

З аключение

В качестве заключения рассмотрим применение эвольвенты в технике.

В технике эвольвенту окружности применяют для профилирования зубчатых зацеплений. Пусть боковые поверхности зубьев двух цилиндрических зубчатых колёс с параллельными осями вращения, проходящими через точки O₁ и O₂ (рис. б), очерчены по эвольвентам, а линия контакта зубьев при некотором взаимном положении колёс проходит через точку К. Тогда в точке К нормали КМ₁ и КМ₂ к эвольвентам Э₁ и Э₂ будут лежать на отрезке М₁М₂ общей касательной к окружностям радиусов R₁ и R₂ соответственно (эти окружности по отношению к эвольвентам являются эволютами). При вращении колёс точка К перемещается вдоль отрезка М₁М₂ (новое положение эвольвент показано на (рис. б) штриховыми линиями) до тех пор, пока рассматриваемая пара зубьев не выйдет из взаимного зацепления. Однако зубчатую передачу профилируют так, что к этому времени возникает зацепление между другой парой зубьев, и линия их контакта снова перемещается вдоль отрезка М₁М₂.

Если угловая скорость ₂ ведущего колеса постоянна, то постоянна и скорость ₂R₂ движения точки К по линии, называемой линией зацепления. Но тогда постоянна и угловая скорость ₁ =₂R₂/R₁ ведомого колеса. Таким образом, эвольвентное зацеплние обеспечивает плавность вращения ведомого колеса и постоянство передаточного отношения ₁/₂ = R₂/R₁ зубчатой передачи. Кроме того, некоторые изменения межосевого расстояния O₁O₂, вызванные неизбежными погрешностями при установке зубчатых колёс не влияют на передаточное отношение, если эти погрешности, конечно, не столь велики, что зубья колёс вообще не могут войти в зацепление.

Эвольвентное зацепление предложено математиком Л. Эилером.

Примеры

1. Найдём кривизну параболы y = x² в любой её точке.

Имеем: и . Поэтому ; в частности кривизна параболы в её вершине равна 2.

2. Найдём кривизну прямой y = ax + b в её произвольной точке.

По формуле вычисления кривизны получаем результат К=0, означающий, что прямая представляет собой «линию нулевой кривизны».

3. Найдём уравнения эволюты параболы y = x² .

Найдём значения X и Y: ,

Исключив параметр x, найдём уравнение эволюты в явном виде:

4. Определим кривизну циклоиды в её произвольной точке.

Подставив полученные выражения в формулу , получим:

.

5. Найдём уравнение эволюты эллипса, заданного параметрическими уравнениями

Вычислим производные от x и y по t:

Подставим данные значения в формулы и :

Аналогично получаем значение : .

Исключая параметр t, получаем уравнение эволюты эллипса с текущими координатами  и  в виде .

Список использованной литературы

1. Н. С. Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1, «Наука», 1985.

2. А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович, Краткий курс математического анализа, «Наука», 1966.

3. Е. Е. Иванова, Дифференциальное исчисление функций одного переменного, Издательство МГТУ им. Баумана, 1999.

4. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк, Основы математического анализа, ч. 1, «Наука», 1982.

5. Б. П. Демидович, Задачи и упражнения по математическому анализу, «Интеграл – пресс», 1997.

15

Характеристики

Список файлов реферата