84285 (675699), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

108. Точки касания делят стороны АВ, ВС, СО описанного четырехугольника в отношениях 1:2, 3:4, 3:5. В каком отно­шении делится точкой касания сторона АО'1

Прямоугольные координаты

109. Радиус окружности 3. Сколько точек с целочислен­ными координатами может оказаться внутри окружности?

110. Шахматная доска расчерчена на равные квадраты. Считая сторону квадрата равной 1 и приняв две из начерченных линий за координатные оси, определите, сколько на доске точек с целочисленными координатами.

111. Решите задачу 110 для стоклеточной доски (для между­народных шашек).

112. Тетрадный лист разграфлен на квадраты со стороной 0,5 см. Размеры листа 164 X 203 мм. Две из построенных пря­мых приняты за оси координат, в качестве единицы взят 1 см. Сколько на этом листе точек с целочисленными координатами?

113. Найдите координаты вершин треугольника, если коор­динаты середин его сторон (4; 5), (6; 4), (8; 8).

114. Если у четырехугольника АВСВ х^ + Хс == Хд + Хц ^и Ул 4- Ус ==' Ув + Ув > то ^этот четырехугольник — параллело­грамм. Докажите.

115. Если у трапеции суммы абсцисс концов боковых сторон одинаковы, то средняя линия трапеции перпендикулярна оси абсцисс. Докажите.

116. Даны графики у = х² + 5 и у = х² — 5. Докажите, что можно построить отрезок, параллельный оси абсцисс, у ко­торого концы находятся на данных графиках, а длина менее 0,01.

Параллельный перенос

117. Вершины треугольника находятся в точках (—1; 1), (11; 1), (11; 6). В результате параллельного переноса центр описанной окружности переместился в точку (8; 7). В какие точки переместились вершины треугольника?

118. Какой параллельный перенос нужно выполнить, чтобы

, 4ж + 2 - , 10, вместо графика у = ———— получить график у == — —'

119. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и расстоянию между серединами двух противоположных сторон.

120. Постройте четырехугольник по трем сторонам и углам при четвертой стороне.

121. Постройте равносторонний треугольник периметра Р, имеющий две вершины на двух данных параллельных прямых, а третью — на данной окружности.

122. Постройте квадрат со стороной а, у которого концы одной стороны находятся на двух данных параллельных пря­мых, а центр — на данной окружности.

123. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных параллельных прямых, а четвертая — на данной окружности.

124. Даны две окружности и прямая I. Постройте прямую, параллельную I, на которой данные окружности отсекают рав­ные отрезки.

125. АВ — диаметр полуокружности, СО — хорда, не па­раллельная АВ. Найдите на полуокружности такую точку М, чтобы прямые М.А и МВ пересекали СО в точках, расстояние между которыми равно а.

Сложение векторов

126. Векторы ОМ и МТ равной длины взаимно перпенди­кулярны. Зная, что Т (7; 17), найдите координаты векторов.

127. Длины векторов АВ и АС равны. Докажите, что вектор АВ + АС лежит на биссектрисе угла ВАС или параллелен ей.

128. МА, МВ, МС — радиусы окружности. Известно, что МА + МВ + МС = 0. Найдите углы между радиусами.

129. Четырехугольник АВСВ вписан в окружность с цент­ром М. Зная, что МА + МВ + МС + МВ == 0, определите вид четырехугольника.

130. Докажите, что вектор а (8; 8) коллинеарен Ь -\- с,

если Ъ (5; 12), с (12; 5).

131. В окружность радиуса 6 см вписан прямоугольник АВСВ, М — точка этой окружности. Найдите длину вектора

МА + МВ + МС + МВ.

132. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС. Зная, что. ОМ == 18 см, найдите длину век­тора МА + МВ + МС.

133. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны медианам треугольника АВС.

134. На плоскости даны точки А, В, С, В, Е, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно по­строить пятиугольник, стороны которого равны АС, ВО, СЕ, АВ, ВЕ.

135. АВСВ — параллелограмм. Точка М не принадлежит ни одной прямой, содержащей сторону параллелограмма. Дока­жите, что можно построить четырехугольник, длины сторон которого МА, МВ, МС, МВ.

Умножение вектора на число

136. Шесть точек соединены последовательно отрезками АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР, РА. Середины этих отрезков — Ао, Во, Со, Во, Ео, ро. Докажите, что для любой точки Г: ТАо + ТСо + +ТЕо=~ТВо+~ТВо+ТР~о.

137. АВСВ — четырехугольник, у которого сумма рас­стояний между серединами противолежащих сторон равна ^по­ловине периметра четырехугольника. Докажите, что АВСВ — параллелограмм.

138. Докажите, что, если М — точка пересечения медиан

треугольника АВС, то СМ == ^-(са + СВ}.

139. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что для любой точки Т: ТМ = -^-(ТА + ТВ + ГС").

о

140. Точка С лежит между А и В, причем АС'.СВ = пг:п. Докажите, что для любой точки Т:

ТС = —"-— ТА + —"——ТВ.

т + п т + п

141. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС соответ­ственно взяты такие точки С\, А\, В\, что АС\ '. С\В = = ВА\ '. А\С == СВ\ '. В\А. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВС и точка пересечения медиан треуголь­ника Д^С! совпадают.

142. АВСВ и А\В\С\В\ — параллелограммы. Верно ли, что середины отрезков АА\, ВВ\., СС\, ВВ\ являются вершинами параллелограмма?

Косинус угла

143. Докажите, что если а ф Ъ и аЪ ~> О, то существует ост-

2аЬ рыи угол, косинус которого равен —з . ^ •

144. Докажите, что при любом действительном п =И= 1 суще­ствует острый угол, косинус которого равен "

2я² — 2п + 3

Теорема Пифагора

+ 145. Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба его гипотенузы. ^ 146. Докажите, что если Ь² + с² == 2о², то существует прямо-

„ & Ч- с Ь — с угольный треугольник, длины сторон которого а, —-—, —„—

&» ^

147. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с кате-

, „ л 1 _- а² , б² „ 2

тами а, Ь и гипотенузой с: а) —^ —а——г + -тт-—г ^ т-!

А (I -{- С О -\- С О

2 ^ о² , Ь² ^, ,. _<, в³ | Ь³ , 5

Й\ " ^- " 1 ^и ,-- 1 . ^. " 1 " ^- "

^б) Т ^ Т^ТТ- -^г- ^ч~7 ^< - ' ^В; ^Т^ + ^Т^ ^< I»

148. Докажите, что сумма катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы.

149. Сумма углов при стороне АВ выпуклого четырехуголь­ника АВСВ равна 90°. Докажите, что ВС² + АВ² == АС² + ВВ². ^ 150. Докажите, что сумма квадратов медиан прямоуголь­ного треугольника в полтора раза больше квадрата его гипо­тенузы.

151. Докажите, что квадрат наименьшей медианы прямо-

угольного треугольника в 5 раз меньше суммы квадратов двух

других медиан.

152.- Если суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите.

153. Периметр квадрата Р. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до прямой, проходящей через его центр.

154. Катет АВ == а лежит против угла в 15°. Найдите

длину, второго катета.

155. Катет АВ == а лежит против угла в 22° 30'. Найдите длину второго катета.

- 156. Длины трех сторон прямоугольной трапеции 25, 25, 32 см. Найдите длину четвертой стороны.

- 157. Отрезок АВ == 12 см служит диаметром окружности с центром О. На отрезках АО и ВО, как на диаметрах построены окружности. Найдите радиус окружности, которая касается трех названных окружностей.

158. Из точки М стороны ВС прямоугольника АВСD отрезки АВ и АD видны под равными углами. Зная, что АВ === 80 см, АD == 89 см, определите, на какие части точка М делит сто­рону ВС.

159. Меньшее основание трапеции 4 см. Высота делит ее на треугольник и квадрат. Если в них вписать окружности, то диаметр одной равен радиусу другой. Найдите периметр тра­пеции.

160. Сторона квадрата 7. Внутри него отмечены 50 точек. Докажите, что среди них найдутся две, расстояние между которыми меньше У2.

161. Катеты прямоугольного треугольника 20 и 50 см. Опре­делите радиус окружности, которая касается меньшего катета и проходит через середины двух других сторон треугольника.

162. Наблюдатель видел стену АВ из двух пунктов под углами по 30°. Расстояние между пунктами 300 м, один нахо­дится строго к югу от В, другой — строго на восток от А. Опре­делите длину стены.

163. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного прямоугольника наименьшая возможная.

Расстояние между двумя точками

164. Докажите, что каждая точка графика у = ж² + 0»25 равноудалена от оси абсцисс и от точки (0; 0,5).

165. Внутри квадрата АВСD есть такая точка М, что МА == 7, МВ = 13, МС == 17. Определите длину стороны и диа­гонали квадрата.

166. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного равностороннего треугольника,— наи­меньшая возможная.

167. Точка В находится между точками А и С. По одну сто­рону прямой АС построены равносторонние треугольники АВВ и ВСК, по другую — равносторонний треугольник АСМ. Дока­жите, что центры окружностей, описанных около этих тре­угольников, являются вершинами равностороннего треуголь­ника.

Уравнение прямой

168. Три стороны ромба лежат на прямых х == О, у == х, у == == х + 3. На какой прямой лежит четвертая сторона ромба?

169. Найдите периметр треугольника, стороны которого

лежат на оси абсцисс и на прямых у == — ж и у == — —:с+ 15.

170. Равные отрезки АВ и С^ лежат на двух взаимно пер­пендикулярных прямых 1\ и 1ч. Докажите, что прямая, прохо­дящая через середины отрезков ВВ и АВ, равно наклонена к прямым 1\ и 1ч.

171. На каком расстоянии от начала координат проходит прямая, имеющая уравнение Зх — 4у + 24 == О?

172. Напишите уравнения прямых, на которых лежат сто­роны треугольника с вершинами А (—3; 5), В (1; —3), С (7; 9).

173. Напишите уравнение прямой, которая параллельна оси ординат и проходит через точку пересечения прямых 5.т — 9у — — 1 == 0 и Зх -{^у — 10 = 0.

174. Докажите, что прямые ах + 2у — 6 == 0 и Ьх — у + +5=0 пересекаются, если а + 2& ф 0.

175. Вершины треугольника находятся в точках А (0; 13), В (2; —1), С (10; 3). Докажите, что его медианы ВВ и СЕ взаимно перпендикулярны.

Пересечение прямой с окружностью

176. Даны окружности х² + у² = 25 и {х — 2)² + (г/ — б)² = == 40. Найдите точки пересечения этих окружностей с прямой, проходящей через их центры.

177. Центр окружности радиуса 5 находится в точке пере­сечения прямых Зж — 4г/ — 1 == 0 и 4.х + Зг/ — 18 == 0. В каких точках эта окружность пересекает названные прямые?

178. Окружность с центром (3; 5) касается оси абсцисс. В ка­ких точках она пересекает ось ординат?

179. Три вершины прямоугольника находятся в точках (0; 5), (8; 5), (8; —2). В каких точках окружность (х — 5)² + + (у — 2)² = 25 пересекает стороны прямоугольника?

180. Какую фигуру образуют все точки, удаленные на 2 от окружности ж² + у² = 49? В каких точках эта фигура пересе­кает оси координат?

Соотношения между тригонометрическими функциями острого угла

181. Найдите зависимость между о и Ь, если а == 2 вш х + + 3 соз х, Ь == 3 зш х — 2 соз ж.

182. Известно, что ат х

с

183. Зная, что 1-е х == -I

вш³ х + 4 вщ х соа² х

сое х = —. Найдите Ъ§ х.

-, вычислите: а)

2 вш х + 7 сое х

6 эш ж + соз .г '^

3 вш х соа х + 2 сов³ х

184. Постройте график функции: у = -\/8Ш⁴ х + 4 соа² х + + -\/ соа⁴ х + 4 зт² х.

185. Найдите зависимость между р у. ^, если р == вт х + соз х, ^ == 8№³ х + сов³ х.

186. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов на 1 и 8 см. Найдите тригонометрические функции наи­меньшего угла этого треугольника.

187. Гипотенуза прямоугольного треугольника меньше суммы катетов на 6 см, но больше их разности на 10 см. Найдите тригонометрические функции большего из острых углов этого треугольника.

Тригонометрические функции некоторых острых углов

188. При каких целых а, Ь, с справедливы следующие равенства:

а) а • 8Ш 60° + Ь² • соз² 45° + с • -Ье 30° = 5 уз — 1;

б о • вш³ 30° + Ь соз² 60° + с • 1;ё 45° = -^;

в) а • 8т³ 45° + Ъ соз 30° + с • 1ё 60° = 2 -^2?

189. При каких целых а, Ь, с выполняются следующие равенства:

а зш ^°--+сое ^ ^Г^

^ » _1_ ^ь 4- ——^с—— = ^{4? б}) МП 30°" ' соэ 30° ' ^ 60°

. 18(Г , 120° , . 90° о -^л- ^"а————4- \,&———=2;

Изменение тригонометрических функций острого угла

190. Докажите, что для любого острого угла х при увели­чении натурального числа п величина у == соз" х уменьшается.

191. Сравните по величине: зш 58° соз 48° ^@ 38° и зш42° соа 32° 1@ 22°.

192. Запишите в порядке возрастания: вш76⁰, соа 58°, гё48°,8т38⁰.

193. Запишите в порядке убывания: соз² 10°, сое 30°, ^45°, 1§48°, 1ё50°.

Решение прямоугольных треугольников

194. Докажите, что катеты и высота, проведенная к гипотенузе, связаны соотношением: —г == —г + -тт. и о о

195. Проверьте качество измерения учащимися размеров четырехугольного участка вычислением координат (рис. 33).

196. Проверьте качество измерения учащимися размеров пятиугольного участка вычислением координат (рис. 34).

197. Результаты измерения школьниками сторон и углов земельного участка изображены на рисунке 35. Проверьте каче­ство работы вычислением координат.

Неравенство треугольника

(198. Докажите, что если точка М находится внутри тре­угольника АВС, то каждый из отрезков МА, МВ, МС меньше хоть' одной из сторон треугольника.

199. Докажите, что если две хорды окружности пере­секаются под прямым углом, то сумма этих хорд больше диа­метра.

200. Существует ли треугольник, у которого разность любых двух сторон не меньше шестой части периметра?

201.| Докажите, что в тупоугольном треугольнике сторона, лежавшая против тупого угла, наибольшая.

202.) Докажите, что сумма расстояний внутренней точки от всех вершин параллелограмма меньше его периметра.

203 Три угла четырехугольника тупые. Докажите, что диагональ, исходящая из вершины четвертого угла, больше другой диагонали.

204.Докажите, что сумма всех медиан треугольника больше

его периметра.

205. Длины сторон треугольника а, Ь, с, длины его медиан Ото, ть, те. Докажите, что можно построить треугольник со сто­ронами 'длиной а + тпа, Ь -{- ть, с + т.е.

206. )р окружность вписан равносторонний треугольник АВС..—Диаметр АВ пересекает ВС в точке Е, а хорда АК — в точке М. Докажите, что ЕВ > КМ.

207.Шве высоты треугольника не меньше сторон, к которым они. проведены. Найдите величины углов треугольника.

Скалярное произведение векторов

208. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

209. Точка М находится внутри прямоугольника АВСО. Докажите, что МА • МС == МВ • МО. Выполняется ли это соот­ношение, если точка М находится вне прямоугольника?

210. АВСВ — прямоугольник, докажите, что для любой точки Т имеет место равенство: ТА² + ТС² = ТВ² + ТО².

211. Если для точек А, В, С имеет место равенство АС² ++ ВС² = 4- АВ², то АС + ВС = 0. Докажите. л

212. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М, докажите, что для любой точки Т: ТА² + ТВ² + ГС² == == МА² + МВ² + МС² + 3 ТМ².

213. Докажите, что высоты треугольника или их продол­жения пересекаются в одной точке.

214. Окружность диаметра А^ пересекает сторону ВС прямоугольника АВСР в точках К и М. Докажите, что ВК • КО == СМ • МА.

215. АВС^ — ромб, ВК и СЕ — его высоты, проведенные к АО; точка М — середина КО, точка Р — середина СЕ. Найдите угол между ВМ и АР.

216. Найдите величину угла при вершине В равнобедрен­ного треугольника АВС, у которого медианы -АО и СЕ взаимно перпендикулярны.

Центральная симметрия

217. Постройте квадрат с данным центром О, зная, что две параллельные стороны квадрата (или их продолжения) прохо­дят через данные точки М ц N.

218. Постройте параллелограмм АВС^ по положению вершин А. и С и расстояниям а и Ь от вершин В и О до данной точки М.

219. Постройте треугольник по середине основания и сере­динам высот, проведенных к боковым сторонам. •

220. Точка М находится внутри треугольника АВС. Точки М), Мг, Мз симметричны М относительно середин сторон ВС, АС, АВ. Докажите, что прямые АМ\, ВМг, СМз пересекаются в одной точке.

221. Диагональ АС четырехугольника АВСВ является диа­метром описанной окружности, АМ и СН — перпендикуляры, опущенные на диагональ ВВ. Докажите, что ВМ == ТЖ. О 222. Прямая, проходящая через середины Е и К диагоналей четырехугольника АВСВ, пересекает его стороны в точках М и N. Зная, что ЕМ = КН, докажите, что этот четырехугольник — параллелограмм или трапеция.

Осевая симметрия

223. Найдите координаты вершин ромба, у которого диа­гонали лежат на осях координат, а середина одной из сторон находится в точке (2; —3).

224. Точки С и О симметричны относительно прямой АВ. С помощью односторонней линейки постройте через данную точку М, не лежащую на АВ, перпендикуляр к АВ.

Характеристики

Список файлов реферата