84285 (675699), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Сумма углов треугольника
87. На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ и АС. Из В и С опущены перпендикуляры на стороны угла. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров лежит на биссектрисе
угла А.
88. По данным рисунка 12 определите, есть ли там параллельные прямые.
89. Равны ли равнобедренные прямоугольные треугольники, периметры которых равны?
90. Стороны двух треугольников соответственно перпендикулярны. Равны ли углы этих треугольников?
91. ВМ и СМ — биссектрисы внешних углов при основании равнобедренного треугольника АВС. Точки А\ и А-г симметричны А относительно названных биссектрис. Докажите, что А АА\Ау.—равнобедренный.
92. Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Докажите, что этот треугольник — прямоугольный.
93. Отношение двух внутренних углов треугольника 2:3, а внешних углов при тех же вершинах —11:9. Найдите величину третьего внешнего угла.
94. Точка М находится внутри треугольника АВС. Найдите сумму углов АМВ, АМС и ВМС.
95. Равнобедренные треугольники равны, их высоты, проведенные к основаниям, совпадают. Как делятся, пересекаясь, их боковые стороны?
96. Постройте треугольник по двум углам и разности сторон, лежащих против этих углов.
97. В треугольнике АВС АС == ВС. На этих сторонах отмечены такие точки В, Е, Р, что ВВ == ВЕ = ЕР == РС'== АВ (рис. 13). Найдите углы треугольника АВС.
98. Биссектрисы внешних углов треугольника АВС попарно пересекаются в точках 0\, Оч, Оз. Докажите, что А С^ОгОз остроугольный, и выразите его углы через углы треугольника АВС.
99. Биссектрисы двух внутренних углов остроугольного треугольника пересекают противолежащие стороны под углами 63° и 81°. Найдите углы треугольника.
100. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника АВС отсекает равнобедренный треугольник. Определите градусные меры углов треугольника АВС.
101. Один из углов треугольника равен полу сумме двух Других, его стороны относятся, как 1:2. Найдите величины углов треугольника.
102. В треугольнике АВС АВ == АС, /- ВАС = 80°. Внутри треугольника взята такая точка М, что /- МВС = 10°, /- МСВ== == 30°. Найдите /.АМВ.
103. В треугольнике АВС АВ = ВС, /-В = 20°. На стороне АВ взята такая точка М, что ВМ == АС. Найдите /- МСА.
104. В равнобедренном треугольнике АВС /- В == 100 . Внутри треугольника взята такая точка М, что ^- МАВ == 10°, ^_ М&А = 20°. Найдите ^. ВМС.
105. Может ли пластинка иметь форму такого равнобедренного треугольника, чтобы ее можно было разрезать на 5 треугольных частей с такими же углами, как у начального треугольника?
Прямоугольный треугольник
106. Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит пополам угол между основанием и биссектрисой угла при основании. Найдите углы равнобедренного треугольника.
107. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.
108. Если острые углы прямоугольного треугольника относятся, как 1:3, то биссектриса наибольшего угла равна одному е з катетов. Докажите.
109. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и сумме гипотенузы с проведенной к ней медианой.
110. В треугольнике АВС /- А = 15°, ^ В == 30°. Докажите, что перпендикуляр СМ к АС делит сторону АВ на такие частя АМ и МВ, что АМ = 2 ВС (рис. 14).
111. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на три части. Найдите углы треугольника.
112. На прямой отложены отрезки АВ == 2, ВС == СВ =- 1, ВЕ = 2. Из точки М, находящейся вне этой прямой, все названные отрезки видны под равными углами. Определите градусные меры этих углов.
113. Желая доказать, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета, ученик построил из вершины прямого угла ВАС такой луч АМ, что ^- ВАМ = — ^- С (рис. 15). Как он хотел доказать теорему?
114. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника Шар толкнули по биссектрисе острого угла. Отразившись от бортов в точках В, Е, К, шар вернулся по пройденному пути (рис. 16). Найдите острые углы треугольника.
115. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольник? АВС. Шар толкнули по биссектрисе прямого угла С. Отразившись от бортов в точках К, Е, М, шар вернулся по пройден ному пути. Найдите острые угль! треугольника.
116. Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раз;
больше проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.
117. Д АВС — прямоугольный, биссектрисы его острых углов — ВВ и СЕ, отрезки ВК и ЕМ — перпендикуляры к ВС (рис. 17). Найдите /- КАМ.
11в. Из города М по двум прямолинейным дорогам выехали одновременно велосипедист и мотоциклист. Через 20 мин после выезда мотоциклист прибыл в пункт В» а велосипедист в пункт А, при этом А МАВ оказался прямоугольным. Еще через 30 мин путешественники были в таких пунктах С и О, что А МСВ оказался равносторонним. Через сколько часов после этого они окажутся » таких пунктах Р и Т, что А МРТ будет прямоугольным?
119. В прямоугольном треугольнике АВС АВ == Асг Внутри треугольника взята такая точка М, что /- МАВ == ^- МВА == == 15°. Найдите А. ВМС.
Окружность
120. Докажите, что из двух пересекающихся хорд, не проходящих через центр окружности, хоть одна не делится пополам.
121. Докажите, что из центра вписанной окружности каждая сторона треугольника видна под тупым углом.
122. Окружность касается гипотенузы и продолжений катетов. Докажите, что диаметр окружности равен периметру прямоугольного треугольника.
123. На сторонах прямого угла М отмечены такие точки А и В, С и В, что ВО == АВ 4- СВ. Докажите, что разность диаметров окружностей, вписанных в треугольники МВВ а МАС, равна АС.
124. Катеты прямоугольного треугольника а, Ь, гипотенуза
с. Докажите, что радиус вписанной окружности г == д ~ с . &
125. Постройте две окружности с центрами на данной прямой в касающиеся одна другой в данной точке М и касающиеся другой данной прямой Ь.
126. Окружности с центрами 0\ и Оу. касаются внешним образом. Окружность с центром Оэ и радиусом 12 см касается их внутренним образом. Определите периметр треугольника 010а0з.
127. Какую фигуру образуют все точки плоскости, из которых данная окружность видна под прямым углом?
128. Даны точки А, В, С, В. Постройте окружность, которая проходит через точки А и В» а касательные к ней, проведенные из точек С и В, равной длины.
129. Даны окружность М точка М вне ее. Проведите через М прямую, пересекающую окружность в точках, расстояние между которым» равно с.
130- Постройте окружность, которая касается двух данных окружностей, причем одной из них — в данной точке М.
181. Постройте треугольник АВС по основанию, высоте, проведенной к боковой стороне, и радиусу описанной окружности.
132. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведенным к основанию, и радиусу описанной окружности.
133. Постройте треугольник АВС, если дана прямая, "а которой лежит биссектриса угла А, и точка касания сторон АВ и ВС вписанной в треугольник окружности.
134. Постройте две окружности, каждая из которых касается одной из равных сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Докажите, что эти окружности равны, а прямая, проходящая через их центры, параллельна основанию треугольника.
Вписанные углы
135. Докажите теорему о вписанных углах, пользуясь рисунком 18.
136. Треугольник АВС — остроугольный, ВМ и СМ — перпендикуляры к АВ и АС. Докажите, что точка М лежит на окружности, описанной около треугольника АВС.
137. О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажите, что центр окружности, проходящей через точки А, В, О, лежит на прямой СО.
138. Два угла треугольника имеют величины 52° и 58°. Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках К, Ъ, М. Определите величины углов треугольника КЬМ.
139. Один из углов треугольника 40°. Стороны этого угла видны из центра описанной окружности под углами, которые относятся, как 2 : 3. Найдите эти углы.
140. Найдите углы треугольника, две стороны которого видны из центра описанной окружности под углами: а) 122° и 104°; б) 29° и 47°.
141. 0\ и Оч — центры вписанной и описанной окружностей треугольника АВС. Зная, что ^- АО\В = //- АОчВ, найдите /- С.
142. АА\ и ВВ\ — высоты треугольника АВС. Постройте треугольник АВС по точкам А\, В\ и прямой АВ.
143. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане, проведенной к одному из катетов.
144. Постройте треугольник АВС по высоте АВ, углу между ВС и медианой АЕ, радиусу описанной окружности.
145. Прямая ВЕ проходит через вершину А треугольника АВС и касается описанной около треугольника окружности. Докажите, что углы ВАВ и ЕАС равны соответствующим углам треугольника.
146. В окружность вписан равносторонний треугольник АВС, М — точка окружности, находящаяся внутри угла АСВ. Докажите, что МА+ МВ = МС.
147. Вершины треугольника АВС находятся в точках I, V, VIII циферблата часов. Построены высоты АМ и СВ и перпендикуляр ВЕ к АС. Докажите, что АЕ = СМ (рис. 19).
148. Высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на 4 равные части. Найдите величины углов треугольника.
149. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили угол на части, которые относятся, как 4:7:4. Найдите величины углов треугольника.
150. В треугольнике АВС на стороне ВС есть такая точка М, что ВМ = 2 МС и А- АМВ == 60°. Зная, что ^ ВАС = 60°, найдите величины остальных углов треугольника.
ВОСЬМОЙ КЛАСС
Четырехугольник
1. В четырехугольнике проведены его диагонали. Сколько равных отрезков могло оказаться на рисунке?
2. В четырехугольнике проведены его диагонали. Какое наибольшее число прямых углов может оказаться на рисунке?
3. Верно ли, что среди углов выпуклого четырехугольника всегда найдется хоть один прямой или тупой угол?
4. Постройте четырехугольник АВСВ по углам А и. В, сторонам АВ, АВ и сумме двух других сторон.
5. У четырехугольника АВСD угол С — прямой. Постройте этот четырехугольник по длинам сторон АВ, АВ, СВ и величине угла А.
Параллелограмм
6. Придумайте и обоснуйте признаки параллелограмма, отличные от рассмотренных в школьном пособии по геометрии.
7. Точка М находится внутри угла, вершина которого недоступна (то есть лежит за пределами доступной части плоскости). Постройте луч с началом М, направленный на вершину угла.
8. Пластинку в виде параллелограмма разрезали на 3 части, каждая из которых является равнобедренным треугольником. На рисунке 20 отмечено, какие отрезки равны. Определите градусные меры углов параллелограмма.
9. Точка М находится внутри данного угла. Постройте отрезок, у которого концы лежат на сторонах данного угла, а середина — в точке М.
10. Точки А и С находятся внутри данного угла. Постройте параллелограмм АВСD, у которого вершины В и D находятся на сторонах данного угла.
11. АВСD — параллелограмм. Вне его построены квадраты АВРЕ и ВСКМ. Докажите, что отрезки ЕВ и ВК взаимно перпендикулярны.
12. Постройте параллелограмм АВСВ по положению бс] -шин Л и В и расстояниям от данной точки М до вершин С и 1,
13. Постройте параллелограмм АВСD, если дана прям; и ВТ) и основания высот, проведенных из вершины В.
14. АВС1> — параллелограмм. Вне его построены равносторонние треугольники АВМ и ВСТ. Докажите, что А МОТ - равносторонний.
15. Периметр параллелограмма 48 см. Биссектриса одно а из углов делит параллелограмм на две части, разность периметров которых 6 см. Найдите длины сторон.
16. Через точку М на основании данного равнобедренного треугольника проведены прямые, соответственно параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр полученного параллелограмма не зависит от выбора точки М.
17. Биссектриса угла В параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС и продолжение стороны АВ в точках М и N. Докажите, что треугольники АВН и МСВ — равнобедренные.
18. Диагональ параллелограмма делит его угол в отношении 1 : 3. Зная, что длины сторон относятся, как 1 : 2, найдите углы параллелограмма.
Прямоугольник
19. Диагонали четырехугольника равны, два угла его — прямые. Является ли этот четырехугольник прямоугольником?
20. Диагонали делят прямоугольник на 4 части, периметры
9 4 т. двух из них равны —и —периметра прямоугольника. Как относятся длины сторон прямоугольника?
21. На рисунке 21 изображена фигура, у которой каждые две соседние стороны взаимно перпендикулярны. Найдите ее периметр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
