84275 (675688), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В механической системе с сухим трением:

,

масса тела, его отклонение, упругая сила, сила трения, являющаяся нечетной и разрывной при =0 функцией скорости , -внешняя сила. Трение покоя может принимать любые значения между своим наибольшим и наименьшим значениями и - . Если = , то применимо доопределение . Если же > , то движение с нулевой начальной скоростью зависит не только от значений функции в областях ее непрерывности, но и от величины . Доопределение А тогда неприменимо. В обоих случаях систему можно записать в виде включения (2). Множество при – точка, а при v=0 – отрезок, длина которого зависит от .

Следовательно, множество не всегда определяется предельными значениями функции из (1), и в общем случае это множество надо задавать, используя какие-то сведения о рассматриваемой системе.

Необходимость охватить такие системы приводит к следующему способу построения множества F(t,x).

Рассмотрим систему

, (6)

где , вектор-функция непрерывна по совокупности аргументов, а скалярные или векторные функции разрывны соответсвенно на множествах , i=1,…,r, которые могут иметь общие точки и даже совпадать. В каждой точке (t, x) разрыва функции задается замкнутое множество - множество возможных значений аргумента функции . Предполагается, что при аргументы и могут независимо друг от друга пробегать соответственно множества и . Обычно, это условие выполнено, если функции и описывают различные независимые составные части (блоки) физической системы. В точках, где функция непрерывна, множество состоит из одной точки . В точках, разрыва функции необходимо, чтобы множество содержало все точки, предельные для точек любой из последовательностей вида , где k=1,2,…(или , где k=1,2,…). Потребуем, чтобы множество было выпуклым (если - скалярная функция, то - отрезок или точка).

Пусть

(7) множество значений функции , когда t, x постоянны, а независимо друг от друга пробегают соответственно множества .

Определение 4.

Решением диф. уравн. (6) называют решение диф. включения (2), где (или , где - наименьшее выпуклое множество, содержащее множество ).

Частными случаями такого способа построения функции F(t,x) является как доопределение А, так и изложенные ниже Б и В.

Б. Доопределение методом эквивалентного уравнения

(управления).

Применяется к уравнениям вида (6), где f – непрерывная вектор-функция, - скалярная функция, разрывная только на гладкой поверхности 1,…, r. Допускоются пересечения и даже совпадения этих поверхностей.

В точках, принадлежащих одной или одновременно нескольким поверхноостям, например ,…, S_m ( , полагают (если решение не может сойти тут же с такой поверхности или с пересечения этих поверхностей)

, (8)

где эквивалентные управления определяются так, чтобы вектор в (8) касался поверхностей ,…, S_m и чтобы значение содержалось в отрезке с концами , где – предельные значения функции с обеих сторон поверхности , i=1,…, m. Т.о., функции определяются из системы уравнений

.

Определение 5.

Решением (6) называется абсолютно непрерывная вектор-функция, которая вне поверхностей удовлетворяет уравнению (6), а на этих поверхностях и их пересечениях – уравнениям вида (8) (при почти всех t ).

Например, в случае конец вектора лежит на пересечении касательной к S в точке x с дугой abc , которую пробегает конец вектора f(t,x,u), когда u изменяется от до :

Рис. 4.

С геометрической точки зрения, метод эквивалентного управления предполаглет замену разрывного управления на границе разрыва, где оно не определено, ненпрерывным управлением, которое направляет вектор скорости в пространстве состояний системы вдоль пересечения поверхностей разрыва. Например, в системе c одной поверхностью разрыва для нахождения этого вектора в некоторой точке (t, x) нужно построить годограф f(t, x, u), изменяя скалярное управление от , и найти точку его пересечения с касательной плоскостью. Точка пересечения определяет диф. уравнения (8) (для r=1 (8) примет вид ).

u ⁺ (t,x)

Уравнение (6), доопределенное указаным образом, сводится к диф. включению . Множество определено в (7), где – отрезок с концами и ; для тех , которые непрерывны в точке (t,x), является точкой .

Правая часть (8) есть вектор с концом в точке пересечения множества с касательной к пересечению поверхностей ,…, S_m. На рис. 4 множество – дуга abc, а правая часть (8) – вектор xb.

Доопределение А было обосновано лишь для скалярного случая (u - скалярная функция) и лишь с помощью предельных переходов для частных случаев неидеальностей, доопределение Б применимо и в случае векторной разрывной динамической системы (т.е. управляющее воздействия приложены к различным точкам объекта и управление u является векторной величиной ), описываемой уравнениями

(9)

x,f - n-мерные векторы-столбцы, - координаты системы, - непрерывные функции по всем аргументам ( ), u - m-мерный вектор-столбец, каждая компонента которого претерпевает разрывы на поверхности :

i=1, …, m, , ( ), - непрерывные функции. Если положить , то .

Для доопределения уравнений идеального скольжения используют метод эквивалентного управления [7]: в уравнение модели (9) вместо подставить , которые являются решениями уравнения

,

где строки матрицы G={ } размерности являются градиентами функций . Очевидно, что при начальном значении в силу условия (10) дальнейшее движение будет происходить по траекториям, лежащим на многообразии S(x)=0.

Пример 5.

Получить уравнение скольжения для разрывной системы:

В любой точке прямой разрыва S=0 (т.е. при ) выполняются условия возникновения скользящего режима , а уравнение метода эквивалентного управления (10) имеет вид:

.

Найдем эквивалентное управление из уравнения , откуда , подставим его в первое уравнение системы (учитывая ):

Замечание.

Метод Филиппова, примененный к рассматриваемой системе, согласно (4) приводит к уравнению движения по прямой S=0.

В. Общее дополнение.

Оно применяется к уравнениям вида (6), где функция f непрерывна по t,x, , а каждая из функций разрывна только на поверхности , i=1,…, r.

Пусть и те же, что в Б, а – наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее множество .

Определение 6.

Решением уравнения (6) называется решение включения

(10)

Движение по поверхности разрыва S (S(x)=0) может происходить только со скоростью , где K(t,x)– пересечение множества с плоскостью, касательной к S в точке x. На рис. 4 множество - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее дугу abc. Если эта дуга лежит в одной плоскости, то множество – сегмент между этой дугой и ее хордой, заштрихованный на рисунке, а K(t,x) – отрезок, являющийся пересечением этого сегмента с касательной к S в точке x.

Если функция f нелинейна по , то, вообще говоря, множество K(t, x) содержит более одной точки и скорость движения по S определяется неоднозначно.

Сравнение определений.

Сравним определения А, Б, В.

Уравнение (6) можно записать в виде (1) и применить к нему определение А. Т.к. при этом множнство содержит множества и из (2) и (7), то каждое решение в смысле определения А и каждое решение в смысле определения Б являются так же решением в смысле определения В. Обратно, вообще говоря, неверно: на рис. 4 множество F – хорда ac, - дуга abc, - заштрихованный сегмент.

Если же функция f линейна по , то и определения Б и В совпадают. Если, кроме того, все поверхности различны и в точках их пересечения векторы нормалей линейно независимы, то множества F, и совпадают, тогда совпадают и все три определения А, Б, В.

Глава III

Исследование устойчивости для дифференциальных

уравнений с разрывными правыми частями.

§1.Определение устойчивости. Метод функций Ляпунова.

Теория устойчивости создана в 90-х годах 19 в. А.М. Ляпуновым (в 1892 г. появилась знаменитая докторская диссертация “Общая задача об устойчивости движения”). Эта теория нашла широкое применение не только в математике, механике, технике, но и в химии, термодинамике, синергетике. Очень бльшую роль играет решение прроблемы устойчивости движения в небесной механике. На теории Ляпунова базируется современная наука о полете искусственных спутников Земли.

Определение устойчивости и асимптотической устойчивости решений диф. уравнений с непрерывной правой частью приводится, например, в [4]. Теория устойчивости движения занимается исследованием влияния возмущающих факторов на движение матариальной системы (под возмущающим фвкторами понимают силы, не учитываемые при написании движения вследствие их малости по сравнению с основными силами); устойчивость по Ляпунову – это близость законов изменения состояния во времени для невозмущенного и возмущенного движений. Сводя вопрос устойчивости невозмущенного движения к вопросу устойчивости положения равновесия, А.М. Ляпунов связывал факт устойчивости или неустойчивости с наличием функции V(t, x) – функции Ляпунова, производная которой по времени, взятая согласно системе диф. уравнений, обладает определенными свойствами. Метод функций Ляпунова является одним из наиболее эффективных методов исследования систем автоматического управления. Значение этого метода далеко не исчкрпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Но в данной работе ограничимся только этим.

Метод функций Ляпунова переносится и на случай разрывной правой части системы

. (1)

Характеристики

Список файлов реферата