Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

При =-1 и решение выражается формулой ;

п ри , решение :

Исходя из требования непрерывности решения при :

x(0)= ,

. Поэтому решение выражается формулой . При производной не существует.

Пример 2.

При 3, решение ,

при , решение :

x

При возрастании каждое решение доходит до прямой 0. Поле направлений не позволяет решению сойти с прямой 0 ни вверх, ни вниз. Если же продолжить решение по этой прямой, то получаемая функция не удовлетворяет уравнению в обычном смысле, т.к. для нее , а правая часть уравнения при равна 1-sign 0=1 0.

Кроме этого, уравнение с непрерывной правой частью равносильно интегральному уравнению

В случае, когда f(t,x) разрывна по t и непрерывна по x (пример 1), решением уравнения можно назвать функции, удовлетворяющие интегральному уравнению. В этом случае, решения с одной стороны от S подходят к S, а с другой стороны сходят с S (траектории “прошивают” поверхность):

S

Решение x(t) попадающее при на поверхность разрыва S, продолжается однозначно на значения и близкие к ; пересекая S решение удовлетворяет уравнению всюду, кроме точки пересечения, в которой решение не имеет производной (в первом примере S – это прямая t=0).

В другом случае, когда с обеих сторон поверхности разрыва S решения приближаются к S (траектории “стыкуются” – скользящий режим), это определение решения непригодно, т.к. ничего не говорит о том, как продолжится решение, попавшее на S (пример 2).

Необходимо поэтому было дать такое определение решения, которое охватило бы эти два основных случая и формулировалось бы независимо от расположения линий и поверхностей разрыва.

§2. Определения решения.

Рассмотрим уравнение или систему в векторной записи

, (1)

с кусочно-непрерывной функцией f в области G; , , M – множество (меры нуль) точек разрыва функции f.

Большинство известных определений решения уравнения (1) могут быть изложены следующим образом. Для каждой точки области G указывается множество в n-мерном пространстве. Если в точке (t,x) функция f непрерывна, то множество состоит из одной точки, совпадающей со значением функции f в этой точке. Если же -точка разрыва функции f, то множество задается тем или иным способом.

Определение2. Решением уравнения (1) называется решение дифференциального включения

, (2)

т.е. абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), определенная на интервале или отрезке I, для которого почти всюду на I

.

Другими словами, решение дифференциального уравнения (1) определяется как функция, у которой производная может принимать любые значения из некоторого множества .

Иногда (2) называют диф. уравнением с многозначной правой частью. Функцию называют многозначной функцией, подчеркивая, что значение - множество. Если для всех (t, x) множество состоит из единственной точки, то (2) – обычное диф. уравнение. Функция называется однозначной в точке , если множество F состоит из единственной точки.

Одним из наиболее популярных определений решения разрывной системы является определение А.Ф. Филиппова.

А. Выпуклое доопределение.

Применимо, в частности, к системам с малым запаздыванием того или иного рода, а также к некоторым системам с сухим трением.

Для каждой точки пусть - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функции , когда Решением уравнения (1) называется решение включения (2) с только что построенным . Т.к. - множество меры нуль, то при почти всех мера сечения множества плоскостью равна нулю. При таких множество определено для всех . В точках непрерывности функции множество состоит из одной точки и решение удовлетворяет уравнению (1) в обычном смысле. Если же точка лежит на границах сечений двух или нескольких областей , …, плоскостью , то множество есть отрезок, выпуклый многоугольник или многогранник с вершинами , , где

= .

Все точки ( = 1, … , содержатся в , но не обязательно, чтобы все они являлись вершинами.

Определение 3.

Вектор-функция , определенная на интервале называется решением уравнения (1), если она абсолютно непрерывна и если при почти всех для любого вектор принадлежит наименьшему выпуклому замкнутому множеству ( -мерного пространства), содержащему все значения вектор-функции , когда пробегает почти всю -окрестность точки в пространстве X (при фиксированном ), т.е. всю окрестность, кроме множества мера нуль.

Такое определение дает однозначное продолжение решения по поверхности разрыва.

Рассмотрим случай, когда функция разрывна на гладкой поверхности , задаваемой уравнением . Поверхность S делит свою окрестность в пространстве на области и . Пусть при и приближении к из областей и функция имеет предельные значения

Тогда множество , о котором говорится в доопределении А, есть отрезок, соединяющий концы векторов и , проведенных из точки .

Если этот отрезок при лежит по одну сторону от плоскости , касательной к поверхности в точке, то решения при этих переходят с одной стороны поверхности на другую:

Рис. 1.

Если этот отрезок пересекается с плоскостью , то точка пересечения является концом вектора , определяющего скорость движения

(3)

по поверхности в пространстве :

G ^-

f ⁺

G ^-

f ^-

P

f ⁰

x

S

Рис. 2.

Причем касательный вектор к S , следовательно . Это значит, что функция , удовлетворяющая уравнению (3) в силу доопределения А считается решением уравнения (1). Разумеется, непрерывная функция , которая на данной части рассматриваемого интервала времени проходит в области (или в ) и там удовлетворяет уравнению (1), а на оставшейся части проходит по поверхности и удовлетворяет уравнению (3), также считается решением уравнения (1) в смысле доопределения А.

В уравнение (3) ,

, ( ),

- проекции векторов и на нормаль к поверхности в точке (нормаль направлена в сторону области ).

Вместе с тем множество F(t, x) можно было определить иначе. В качестве) возьмем произвольное ограниченное выпуклое множество, содержащее отрезок J:

f ⁺

Рис. 3.

При этом на касательной плоскости появляются векторы, отличные от ; это приводит к тому, что кроме решения Филиппова появляются и другие решения.

Т.о. определение (А) А.Ф. Филиппова соответствует минимальному возможному определению множества F(t, x) среди всех допустимых. Это удобно в том отношении, что для решения в смысле Филиппова чаще, чем в других случаях, имеет место единственность решения.

Если весь отрезок с концами и лежит на плоскости P, то скорость движения по поверхности разрыва S определяется неоднозначно.

При , имеет место скользящий режим, о котором шла речь во введение. Пусть уравнение идеального скольжения имеет вид (3). Вычисляя для из условия , находим уравнение

, (4)

с помощью котрого и доопределяется движение в скользящем режиме (начальные условия для (4) выбираются на поверхности разрыва, т. е. S(x(0))=0).

Пример 3.

Решить систему

Всякое решение этой системы рано или поздно попадает на прямую и уже не может сойти с нее. Если точка М лежит на оси , то в окрестности этой точки вектор , компоненты которого - правые части системы, принимает два значения: при , (6,-2) при . Отложим из точки М эти два вектора и соединим их концы отрезком АВ:

Этот отрезок и будет искомым множеством, в котором, согласно определению 3, лежит конец вектора для точки М. В то же время вектор скорости должен лежать на оси . Т.к. решение не может сойти с нее ни вверх, ни вниз, следовательно, конец вектора лежит в точке пересечения отрезка АВ и оси . Т.о., этот вектор определяется однозначно. Легко подсчитать, что

Т.о., связь теорий уравнений (1) с разрывной правой частью с теорией диф. Включений (2) очевидна. Имея уравнение (1) с разрывной f(t, x) необходимо заменить значение в точке разрыва некоторым множеством. Это множество должно быть ограниченным, выпуклым, замкнутым. Кроме этого оно должно включать все предельные значения при (t, x) . После такой замены (для любой точки разрыва) вместо (1) получаем диф. включение (2), в котором многозначная функция удовлетворяет перечисленным требованиям.

Однако, в некоторых случаях множество в (2) в точках разрыва функции нельзя определить, зная только значения функции в точках ее непрерывности.

Пример 4.

Характеристики

Список файлов реферата