18750-1 (675575), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В приложении к другой работе о рядах (1694 г.) Я. Бернулли сформулировал несколько тезисов.
1. Существуют спирали, которые совершают бесконечное число витков вокруг полюса, но имеют конечную длину.
2. Существуют кривые, которые, подобно эллипсу, замкнуты и, подобно параболе, уходят в бесконечность, например ay2=х2(b+х).
3. Существуют кривые, состоящие из двух ветвей, например ау2=х{а2—х2),
4. Существуют неограниченные поверхности с конечной площадью.
5. Существуют неограниченные поверхности с бесконечной площадью, но такие, что соответствующие им тела вращения обладают конечным объемом.
Я. Бернулли увлекался также и изопериметрическими задачами. Древнейшая из них—задача легендарной основательницы Карфагена и его первой царицы Дидоны. Легенда такова. Дидона бежала от отца, тирского царя, и достигла Африки, где купила у туземцев участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Она разрезала шкуру на узкие полоски и связала из них длинную ленту. Спрашивается, какой формы должна быть фигура, оцепленная лентой данной длины, чтобы площадь фигуры была наибольшей?
Ван-дер-Варден пишет, что Зенодор, живший вскоре после Архимеда, высказал 14 предложений относительно изопериметрических фигур. Он утверждал, что из всех фигур (кругов и многоугольников), имеющих одинаковый периметр, круг будет наибольшим, а также и то, что из всех пространственных тел с одинаковой поверхностью наибольшим будет шар.
Решение задачи содержится в записных книжках Я. Бернулли и помещено в майском номере «Acta Eruditorum» за 1701 г. Я. Бернулли и здесь применил высказанный ранее принцип: поскольку площадь должна быть экстремальной, этим же свойством должна обладать и любая ее элементарная часть. Он получил дифференциальное уравнение третьего порядка и впоследствии проинтегрировал его.
К. А. Рыбников пишет: «Таким образом, решение изопериметрической задачи означало очень важный, принципиально новый этап в истории вариационного исчисления; оно дало возможность решать более сложные вариационные задачи, им был сделан важный шаг на пути решения вариационных задач».
При изучении свойств сочетаний и фигурных чисел Я. Бернулли встретился с суммированием степеней натуральных чисел Sm = km
Эти вопросы интересовали математиков и ранее. Я. Бернулли составил таблицу фигурных чисел, ука зал их свойства и на основании отмеченных свойств нашел формулы для сумм степеней натуральных чисел. Он привел формулы сумм от S(п) до S(п10):
S (n) = n2/2 +n/2
S (n2) = n3/3 + n2/2+ n/6
S (n3) = n4/4 + n3/2 + n2/4
S (n4) = n5/5 + n4/2 + n3/3 – n/30
S (n5) = n6/6 + n5/2 + 5n4/12 - n2/12
S (n6) = n7/7 + n6/2 + n5/2 - n3/6 + n/42
S (n7) = n8/8 + n7/2 + 7n6/12 - 7n4/24 + n2/12
S (n8) = n9/9 + n8/2 + 2n7/3 - 7n5/15 + 2n3/9 – n/30
S (n9) = n10/10 + n9/2 + 3n8/4 - 7n6/10 + n4/2 - n2/12
S (n10) = n11/11 + n10/2 + 5n9/9 – n7 + n5 - n3/2 + 5n/66
Затем Я. Бернулли указал общую формулу
S(nc) = nc+1/c+1 + 1/2*nc + 1/2*( )Anc-1 + 1/4*( )Bnc-3 + 1/6*( )Cnc-5 + 1/8*( )Dnc-7+ …
Здесь ( ), ( ) … - числа сочетаний; показатели степени n убывают, последний член в правой части содержит n или n2. Числа A, B, C, D … - коэффициенты при n в выражениях S(n2), S(n4), S(n6), … Именно: А=1/6, В=-1/30, С=1/42, D=-1/30, …Бернулли формулирует общее правило для вычисления этих чисел: сумма коэффициентов в выражениях S(n), S(n2), S(n3), … равна единице. Например, 1/9+1/2+2/3-7/15+2/9+D=1. Отсюда D=-1/30.
Я. Бернулли подчеркивает удобство таблицы фигурных чисел и заявляет, что с ее помощью в течение «половины четверти часа» нашел сумму десятых степеней первой тысячи натуральных чисел. Она оказалась равной
91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.
II
Роль И. Бернулли как одного из создателей, распространителей и, бесспорно, знатоков зарождавшегося тогда математического анализа отражает современная терминология: название «интегральное исчисление» (от латинского integer — целый, откуда и старинное русское «целственный анализ») ввел И. Бернулли. Как известно, Лейбниц предпочитал называть интеграл «суммой». Это впоследствии породило знак интеграла ∫, который представляет собой вытянутую букву S— первую букву латинского слова summa.
И. Бернулли занимался приложением рядов к интегрированию и на этом пути открыл общую формулу разложения в ряд интеграла от функции n(z) по степеням аргумента:
∫ n(z)dz = nz – z2/2 * dn/dz + z3/6 * d2n/dz2 – z4/24 * d3n/dz3 + …
В “Acta Eruditorium” за 1697 г. И. Бернулли поставил задачу о кривых, пересекающих некоторое плоское семейство однопараметрических линий под данным углом или под углом, меняющимся по определенному закону. В первом случае траектории называются изогональными, а если угол прямой, то ортогональными. И. Бернулли указал на возможность применения полученных закономерностей в теории света Гюйгенса. Через год он показал, что задача отыскания траекторий сводится к дифференциальному уравнению первого порядка.
Николай II Бернулли, сын И. Бернулли, в 1720 г. сформулировал задачу о взаимных траекториях, т. е. о траекториях, относящихся к тому же семейству кривых, что и кривые данного семейства. Этой задачей занимался И. Бернулли. Он в 1727 г. в качестве семейства взаимных траекторий назвал полукубические параболы y3 = ax2.
Лейбниц и И. Бернулли нашли метод интегрирования рациональных дробей, которые после выделения целой части они представляли в виде суммы простейших дробей. Осуществление этого метода стало возможным лишь тогда, когда сформировалось понятие логарифмической функции. В связи с интегрированием рациональных дробей в анализ вошли комплексные числа и возник спор о логарифмах отрицательных чисел.
В письмах Лейбницу 1702 г. И. Бернулли заметил, что рациональные дроби должны интегрироваться в рациональных, логарифмических и круговых функциях.
Представляет особый интерес работа «Решение одной задачи интегрального исчисления», напечатанная в ”Memoires” Парижской академии наук за 1702 г. (1704) и в “Acta Eruditorium” за 1703 г., в которой И. Бернулли рассмотрел случай действительных различных корней знаменателя рациональной дроби и в отличие от Лейбница, давшего готовые формулы, показал, как получать коэффициенты, вначале полагаемые неопределенными. Здесь же И. Бернулли заметил следующее важное качество. Подобно тому как дифференциал dz/(1-z2) с помощью подстановки z = (t-1)/(t+1) переходит в логарифмический дифференциал dt/2t, так и дифференциал действительного кругового сектора dz/(1 + z2) с помощью мнимой подстановки z = √-1(t-1)/(t+1) переходит в «мнимый дифференциал» -dt/2√-1t. Кроме того, очевидно, что dz/(1+z2) = 0,5dz/1 + z√-1 + 0,5dz/1 - z√-1
т. е. дифференциал действительного кругового сектора равен сумме дифференциалов мнимых логарифмов. Отсюда И. Бернулли сделал вывод, что мнимые логарифмы заменяют действительные круговые секторы.
Соотношением dz/(1+z2) = -dt/2√-1t по существу была установлена связь между функциями Arctg(z) и Ln t = ln (1 - z√-1)/(1 + z√-1). Но эту связь И. Бернулли не получил, так как не стал интегрировать уравнение, а выполнил еще одну подстановку
t = (√-1 + √1/r – 1)/(√-1 - √1/r – 1), что дало выражение дифференциала арксинуса действительного аргумента через дифференциал мнимого логарифма.
Работа И. Бернулли, опубликованная в “Acta Eruditorium” за 1712 г., содержала продолжение того же исследования: в ней И. Бернулли проинтегрировал рациональную дробь с мнимым аргументом. Он решил дифференциальное уравнение
ndx/(x2 + 1) = dy/(y2 + 1), предварительно разложив дроби по указанному способу, и получил (x - √-1)n(y + √-1) = (x + √-1)n(y - √-1).
Продвижению вперед в применении мнимых чисел к анализу препятствовали неясности, связанные с понятием логарифма. Свидетельство этому — развернувшаяся между Лейбницем и И. Бернулли дискуссия о природе логарифмов отрицательных чисел.
В 1712 г. Лейбниц выступил со статьей, где, обсуждая парадокс Арно 1/-1 = -1/1, сказал, что отрицательным отношениям не соответствуют никакие логарифмы, поскольку положительным логарифмам соответствуют числа больше единицы, а отрицательным — правильные положительные дроби. Поэтому логарифм числа —1 не будет истинным, он мнимый. И еще: если бы этот логарифм был действительным, то его половина стала бы также действительной, т. е. действительным был бы логарифм мнимого числа √-1 а это неверно.
И. Бернулли возражал Лейбницу; он считал, что логарифмы отрицательных чисел действительны, и полагал lg (-a) = lg а, так как lg (-1) = 0. Он основывался на том, что из тождества d(-х)/-х=dх/х следует d lg (-х) = d lg х, т. е. lg (-x) = lg х. Приводились и другие аргументы.
Перечислим некоторые частные результаты И. Бернулли. Он получил и опубликовал в 1701 г. разложения sin n и cos n по произведениям степеней sin n и cos n . Он первый обнаружил и доказал расходимость гармонического ряда. До сих пор в учебной литературе находит себе место парадокс И. Бернулли. Запишем таблицу
1/1*2 1/2*3 1/3*4 1/4*5...
1/2*3 1/3*4 1/4*5...
1/3*4 1/4*5...
…………………………….
Просуммируем по строкам; найдем
S1 = 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5+...= 1 – ½ + ½ - 1/3 + 1/3 – ¼ + … = 1,
S2 = ½ - 1/3 + 1/3 - ¼ +... = 1/2
S3 = 1/3 – ¼ + ¼ - 1/5 + … = 1/3
…………………………………….
Обозначим сумму строк буквой S:
S=S1+S2+S3+…=1 + ½ + 1/3 + ...
Просуммируем теперь столбцы и сложим результаты; получим
1=1/2, 2=1/3, 3=1/4, …; 1+2+3 + … =1/2+1/3+1/4+ ... = S-1
Получается парадокс: S=S—1. Все объясняется просто: мы оперируем с расходящимся гармоническим рядом, не имеющим суммы.
Продолжим разговор о достижениях И. Бернулли. Он вслед за Я. Бернулли получил формулу для радиуса кривизны в дифференциалах абсциссы и ординаты, которая опубликована в «Анализе бесконечно малых» Лопиталя. И. Бернулли занимался изучением свойств эволют, эвольвент, каустик, касательных, точек перегиба, огибающих, кривизны. Он открыл точку возврата второго рода, описанную Лопиталем. И. Бернулли выполнил многие квадратуры, спрямления, кубатуры, в качестве приложения методов анализа решил мною геометрических и механических задач, в том числе задачу о парацентрической изохроне.
К середине девяностых годов XVII в., т. е. всего через десять лет после появления основополагающего труда Лейбница, усилиями Лейбница и братьев Бернулли идеи дифференциального и интегрального исчислений достигли такого развития, что появились суждения о завершении анализа в ближайшем будущем. Назрела необходимость собрать воедино и систематизировать разработанные методы с тем, чтобы ими мог пользоваться более широкий круг людей. Эту задачу блестяще выполнил И. Бернулли, написавший в 1691—1692 гг. «Лекции по исчислению дифференциалов» и «Математические лекции о методе интегралов и других вопросах, написанные для маркиза Лопиталя».
Завершение лекций дало возможность писать И. Бернулли в автобиографической заметке, что он «был первым, кто подумал об изобретении метода для перехода от бесконечно малых количеств к конечным, элементами которых эти бесконечно малые суть. Я назвал этот метод интегральным исчислением, не найдя более подходящего слова».
Хотя И. Бернулли лекции и не издал, они были доступны французским математикам и сыграли важную роль в прогрессе анализа. Как уже говорилось, лекции и материалы, полученные Лопиталем в письмах И. Бернулли (они переписывались с 1692 г. в течение десяти лет), послужили Лопиталю основой при написании им «Анализа бесконечно малых».
Лекции И. Бернулли, «Анализ» Лопиталя содержали небольшой набор основных аналитических понятий, иллюстрируемых чертежами, теорем и правил и множество задач геометрического, механического и физического характера.
Лекции по дифференциальному исчислению начинаются следующими постулатами:
«1. Величина, уменьшенная или увеличенная на бесконечно меньшую величину, не уменьшается, не увеличивается.
2. Всякая кривая линия состоит из бесконечно многих прямых, которые сами бесконечно малы.
3. Фигура, заключенная между двумя ординатами, разностью абсцисс и бесконечно малым куском любой кривой, рассматривается как параллелограмм».
Сразу же за вступлением И. Бернулли пишет: «Из предыдущего известно, что dx есть дифференциал х, что хdх есть дифференциал ½*х2 или ½*x2 плюс или минус постоянная, x2dx — дифференциал 1/3*x3 плюс или минус постоянная... также аdх — дифференциал ах и т. д., axdx – дифференциал ½*ax2 ах3dx— дифференциал ¼*ax4 и т. д.” После этого дается общее правило: «ахp есть дифференциал количества axp+1/(p+1). Иными словами: ∫хpdx = хp+1/(р+1)*(+С). И. Бернулли применяет это правило к случаю P=-1 и получает ∫ dx/x = ∞. Однако впоследствии он исправляет ошибку.
Затем рассматриваются некоторые вариации общей формулы: случаи, когда можно выделить дифференциал подкоренного выражения, и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
