73917-1 (665044), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Показатели группы "Кадровое обеспечение":

процентное соотношение преподавателей с учеными степенями доктора и кандидата наук и без степени,

наличие научных и/или методических публикаций у преподавателей, авторство в курсах ДО, рекомендованных к тиражированию.

Показатели группы "Организационное обеспечение":

наличие автоматизированной системы управления документами, часто именуемой электронным деканатом,

наличие системы управления качеством обучения.

Система управления качеством в соответствии со стандартами ISO 9000 является документальной системой, включающей описание политики учебного заведения в области обеспечения качества, различные документы по регламентации обязанностей и полномочий лиц, связанных с обеспечением качества, требования к используемым ресурсам ДО и к показателям качества учебных материалов и процедур учебного процесса, планы действий по обеспечению этих требований и т.п.

3. Математическая модель оценки показателей качества ДО.

3.1 Поглощающие марковские цепи

Как указывалось выше, у поглощающих ДМЦ имеется множество, состоящее из одного или нескольких поглощающих состояний.

Для примера рассмотрим переходную матрицу, описывающую переходы в системе, имеющей 4 возможных состояния, два из которых являются поглощающими. Матрица перехода такой цепи будет иметь вид:

(1)

Практически важным является вопрос о том, сколько шагов сможет пройти система до остановки процесса, то есть поглощения в том или ином состоянии. Для получения дальнейших соотношений путем переименования состояний матрицу (1) переводят к блочной форме:

(2)

Такая форма позволяет представить матрицу (2) в каноническом виде:

(2а)

где - единичная матрица;

- нулевая матрица;

- матрица, описывающая переходы в системе из невозвратного множества состояний в поглощающее множество;

- матрица, описывающая внутренние переходы в системе в невозвратном множестве состояний.

На основании канонической формы (2а) получена матрица, называемая фундаментальной:

(3)

В матрице (3) символ (-1) означает операцию обращения, то есть

(4)

После соответствующих преобразований матрица (3) примет вид:

(3а)

Каждый элемент матрицы (3а) соответствует среднему числу раз попадания системы в то или иное состояние до остановки процесса (поглощения).

Если необходимо получить общее среднее количество раз попадания системы в то или иное состояние до поглощения, то фундаментальную матрицу М необходимо умножить справа на вектор-столбец, элементами которого будут единицы, то есть

(4а)

где .

Для иллюстрации приведем конкретный числовой пример: пусть известны значения переходных вероятностей матрицы с одним поглощающим состоянием: ; ; ; ; ; ; ; .

Переходная матрица в блочной системе будет выглядеть так:

В данном случае

; ; ;

Проделаем необходимые вычисления:

;

;

.

В данном случае компоненты вектора означают, что если процесс начинается с состояния , то общее среднее число шагов процесса до поглощения будет равно 3,34 и, соответственно, если процесс начинается с состояния , то - 2,26.

В конкретных задачах, конечно, более информативным результатом будет не количество шагов, а какие-либо временные или экономические показатели. Этот результат легко получить, если связать пребывание в каждом состоянии с соответствующими характеристиками. Очевидно, набор этих характеристик составит вектор, на который нужно умножить слева.

Так, если задать в нашем примере время пребывания в состоянии , а в состоянии - , то общее время до поглощения будет равно:

В случаях, когда марковская цепь включает несколько поглощающих состояний, возникают такие вопросы: в какое из поглощающих состояний цепь попадет раньше (или позже); в каких из них процесс будет останавливаться чаще, а в каких - реже? Оказывается, ответ на эти вопросы легко получить, если снова воспользоваться фундаментальной матрицей.

Обозначим через вероятность того, что процесс завершится в некотором поглощающем состоянии при условии, что начальным было состояние . Множество состояний снова образует матрицу, строки которой соответствуют невозвратным состояниям, а столбцы - всем поглощающим состояниям. В теории ДМЦ доказывается, что матрица В определяется следующим образом:

(4.б)

где

М - фундаментальная матрица с размерностью S;

R - блок фундаментальной матрицы с размерностью r.

Рассмотрим конкретный пример системы с четырьмя состояниями , два из которых- - поглощающие, а два - - невозвратные (рис.10):

Система с четырьмя состояниями

Для наглядности и простоты вычислений обозначим переходные вероятности следующим образом:

; ;

Остальные значения вероятностей будут нулевыми. Каноническая форма матрицы перехода в этом случае будет выглядеть так:

Фундаментальная матрица после вычислений примет вид:

Тогда, согласно формуле (5), матрица вероятностей поглощения вычисляется так:

.

Поясним вероятностный смысл полученной матрицы с помощью конкретных чисел. Пусть , а . Тогда после подстановки полученных значений в матрицу получим:

Таким образом, если процесс начался в , то вероятность попадания его в равна , а в - . Отметим одно интересное обстоятельство: несмотря на то, что, казалось бы, левое поглощающее состояние (“левая яма”) находится рядом с , но вероятность попадания в нее почти в два раза меньше, чем в “удаленную яму” - . Этот интересный факт подмечен в теории ДМЦ, и объясняется он тем, что , то есть процесс имеет как бы “правый уклон”. Рассмотренная выше модель называется в теории ДМЦ моделью случайного блуждания. Такими моделями часто объясняются многие физические и технические явления и даже поведение игроков во время различных игр.

В частности, в рассмотренном примере объясняется тот факт, что более сильный игрок может дать заранее значительное преимущество (“фору”) слабому противнику и все равно его шансы на выигрыш будут более предпочтительными.

Кроме указанных выше средних характеристик вероятностного процесса с помощью фундаментальной матрицы можно вычислить моменты и более высоких порядков. В частности, дисперсия числа пребывания в том или ином состоянии - D определяется с помощью следующей матрицы:

(6)

где

- диагональная матрица, т.е. матрица, полученная из М путем оставления в ней лишь диагональных элементов и замены остальных элементов нулями. Например, приведенная выше матрица (3а) будет иметь вид:

В свою очередь, матрица М представляет собой матрицу, полученную из М путем возведения в квадрат каждого ее элемента, то есть для (3а) будем иметь:

Аналогичным образом определяема и дисперсия для общего количества раз пребывания в том или ином состоянии . Обозначим ее :

3.2. Марковские цепи в прогнозирование учебного процесса

Проанализируем вероятность окончания ВУЗа студентом при традиционной форме обучения. Процесс получения образования опишем в терминах поглощающих Марковских цепей².

Пусть s1, …, s5 – состояния «Первокурсник», …, «Пятикурсник», s6 – «Отчислен», s7 – «Получил диплом». Вероятность завершения каждого курса: pi,i+1 (i 1 4) = 0.91³, а вероятность отчисления pi (i 1 5) = 0.09. Тогда матрица переходных вероятностей {pij} в канонической форме будет иметь вид:

	S7	S6	S1	S2	S3	S4	S5
S7	1	0	0	0	0	0	0
S6	0	1	0	0	0	0	0
S1	0	0.09	0	0.91	0	0	0
S2	0	0.09	0	0	0.91	0	0
S3	0	0.09	0	0	0	0.91	0
S4	0	0.09	0	0	0	0	0.91
S5	0.91	0.09	0	0	0	0	0

(табл. 1).

При начальных условиях p0,1 = 1 вероятность успешного окончания ВУЗа p5-7 = 0.61, т.к. из 100 поступивших через 5 лет дипломы получат лишь 61 человек.

Характеристики

Список файлов реферата