geod (654166), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

При уравновешивании геодезических сетей может возникать несколько условий, выражаемых математическими формулами. В общем виде эти формулы можно выразить уравнениями:

a₁(1)+a₂(2)+…..+a_n(n)+f₁=0

b₁(1)+b₂(2)+…..+bc_n(n)+f₁=0

c₁(1)+c₂(2)+…..+c_n(n)+f₁=0

где (1), (2),…(т)- искомые неизвестные поправки к углам: a₁ ,a₂…a_n ; b₁ ,b₂…b_n ; c₁ ,c₂…c_n – коэффициенты, f₁ , f₂ , f₃ – свободные члены (невязки).

Для уравнений по способу наименьших квадратов надо уравнение умножить на удвоенные коррелаты с минусом (-2k₁ ,-2k₂ , -2k₃ ) и сложить с условием минимума суммы квадратов поправок (1)²+(2)²+….+(n)²=min.

Общий вид уравнения:

a₁(1)+a₂(2)+….+a_n(n)+f=0

Здесь a₁ , a₂ ,…a_n – коэффициенты при искомых поправках (1), (2), (3), (n);

f – невязка. Это уравнение надо решать под условием, чтобы сумма квадратов поправок равнялась минимуму.

Вычисление искомых поправок по способу наименьших квадратов выполняется следующим образом:

1. вычисляют коэффициент k – кореллату по формуле

k=-(f/a²)

т.е. невязка с обратным знаком делится на сумму квадратов коэффициентов при поправках уравнения.

1. поправки решаемого уравнения вычисляют по формулам:

(1)=a₁k; (2)=a₂k; (n)=a_nk

В уравнениях поправок фигур треугольников, горизонта и азимутов при искомых поправках коэффициенты равны a=1. Поэтому a²=1. В уравнении поправок треугольников a=3 и k=-(f/3).

Поправки равны, т. е. (1)=(2)=(3)=-(f/3)

В уравнениях поправок горизонта и азимута коэффициенты a=1 и a²=n, где n-число поправок уравнения поровну распределяется с обратным знаком на углы. В уравнении поправок синусов и сторон коэффициенты a_i – изменении логарифмов синусов не равных единицы, a² имеет большое значение.

1. Виды условных уравнений в триангуляции.

Задачи уравновешивания тригонометрической сети состоит в отыскании поправок в измеренные углы, которые наилучшим образом удовлетворили бы теоретические условия сети, а измеренные величины после введения в них поправок получили бы вероятнейшее значение. Треугольники триангуляции образуют центральные системы, которые должны удовлетворять теоретические условия геометрии.

1. Условия уравнивания фигур.

1. Условное уравнение фигур.

Сущность: Сумма углов 1,2,3 каждого треугольника должна быть равна 180 градусам, но на практике бывают невязки которые вычисляют по формуле:

2

а.=1+2+3-180

3

поправка равна: /3

1

б. 1+(1)+2+(2)+3+(3)-180=0

После вычитания формулы а. из формулы б. получим условное уравнение поправок треугольников

(1)+(2)+(3)+=0

Предельная невязка углов треугольников определяется формулой:

пред=2.5m3

где mb- средняя квадратическая ошибка углов.

Таких уравнений в сети возникает столько сколько треугольников с измеряемыми углами.

1. Условие уравнивания горизонта.

Сущность: в центральной системе при точке ТО сумма углов  должна быть равна 360. Но практически будет невязка:

₄

₅

₃

₁

₂

а. ₁+₂+₃+₄+₅-360=

поправка будет равна: /5

б. ₁+(₁)+₂+(₂)+₃+(₃)+₄+(₄)+₅+(₅)-360 =0

Уравнение горизонта мы получим после вычитания формулы а. из б.

(₁)+(₂)+(₃)+(₄)+(₅)+=0

Предельная невязка углов  определяется формулой:

пред=2.5mn

где n – количество углов при цетре.

1. Условное уравнение полюса:

Сущность: в каждом треугольнике должно быть выполнено условие пропорциональности сторон и противолежащих углов

bca/abc=1 это условие полюса в точке O для центральной системы.

Заменяя отношение сторон синусом противоположных углов, исправленных поправками. После логарифмирования и разложения функции в ряд мы получим:

W=lg(sin1sin3sin5/sin2sin4sin6)

Окончотельный вид полюсного условного уравнения будет выглядеть так:

1(1)+3(3)+5(5)-2(2)-4(4)-6(6)+W=0

Величина невязки зависит от ошибок в связующих углах

Wпред=2.5*m*()

1. Условное уравнивание сторон.

Условие сторон возникает в цепи треугольников расположенной между двумя сторонами исходной цепи. Геометрический смысл состоит в том, что при последовательном решении треугольников от начальной стороны должна быть получена конечная сторона.

1(x1)+2(x2)+3(x3)+4(x4)-1(y1)-2(y2)-3(y3)-4(y4)+WD=0

Wdпред=2.5*m*2m+m2(²+²)

1. Условное уравнение координат

Условие координат возникает в сети, если в ней может быть выделен ход, заключенный между двумя твердыми точками.

Это условие заключается в том, чтобы сумма приращений по каждой координатной оси была равна разности координат конечной и начальной точек.

Невязки вычисляются по формуле:

x=x-(x_к-x_н); y=y-(y_к-yн)

сумма поправок приращений должна равнятся нулю.

xBC+xCD+XDE+x=0

yBC+yCD+yDE+=0

1. Упрощенное уравнивание центральной системы.

В центральной системе возникает условное уравнение фигур, горизонта и полюса. Математически эти условия выражаются уравнениями поправок. Число условных уравнений фигур равно числу треугольников:

(x₁)+(y₁)+f₁=0

(x₂)+(y₂)+f₂=0

(x₃)+(y₃)+f₃=0

(x₄)+(y₄)+f₄=0

(x₅)+(y₅)+f₅=0

Одно условное уравнение горизонта имеет вид:

(₁)+(₂)+(₃)+(₄)+(₅)=f_=0

Условное уравнение полюса согласно формуле имеет вид:

₁(x₁)+₂(x₂)+₃(x₃)+₄(x₄)+₅(x₅)- ₁(y₁)-₂(y₂)-₃(y₃)-₄(y₄)-₅(y₅)+W=0

Таким образом в этой центральной системе возникает семь условных уравнений. При этом распределение невязок и отыскание поправок по способу наименьших квадратов все уравнения надо решать совместно – это требует больших вычислений, поэтому в сетях сгущения уравновешивание выполняется упрощенным способом. Упрощение состоит в том, что система всех уравнений разделяется на однотипные группы. Для наиболее простого способа уравновешивания к первой группе относят условные уравнения фигур и решают их по способу наименьших квадратов. В этой группе уравнений каждоя неизвестная искомая поправка в уравнения входит один раз, т.е. каждое уравнение имеет три искомых неизвестных, не входящих в другие уравнения. Следовательно, каждое уравнение можна решать отдельно по способу наименьших квадратов. Решение такого уравнения с коэффициентами при неизвестных, равными единици, было описано.

Согласно формуле искомые поправки равны между собой и равны f/n, где f- невязки, а n- число углов.

Поэтому в условном уравнении фигуры треугольника n=3 поправки в углы треугольников выражаются формулами:

(x₁)’=(y₁)’=(₁)’=-f₁ /3

(x₂)’=(y₂)’=(₂)’=-_f2 /3

(x₃)’=(y₃)’=(₃)’=-f₃ /3

(x₄)’=(y₄)’=(₄)’=-f₄ /3

(x₅)’=(y₅)’=(₅)’=-f₅ /3

Решение первой группы уравнений дает первичные поправки, обозначенные одним штрихом. Затем приступают к решению второй группы условных уравнений, т.е. уравнение горизонта. При упрощенном уравновешивании получают вторые поправки к углам.

Условное уравнение примет вид:

(₁)”+ (₂)”+ (₃)”+ (₄)”+(₅)”+f_=0

Здесь невязка вычисляется по первично исправленным углам, т.е.

f_=[₁+(₁)’]+ [₂+(₂)’]+ [₃+(₃)’]+ [₄+(₄)’]+ [₅+(₅)’]-360

Условное уравнение горизонта имеет коэффициенты при неизвестном, равные единице, поэтому решение уравнения по способу наименьших квадратов выполняются так же, как и условие фигур, невязка распределяется поровну на все углы и поправка равна -f_ /n, следовательно, вторичные поправки к углу  будут:

(₁)”= (₂)”= (₃)”= (₄)”= (₅)”-f_” /n

Чтобы не нарушать условие фигур, выполненные введением первых поправок, надо и в связующие углы x, y каждого треугольника ввести вторичные поправки, которые должны быть равны половине второй поправки к углу  с обратным знаком:

(x₁)”=(y₁)”=-(₁)”/2

(x₂)”=(y₂)”=-(₂)”/2

Результаты этих поправок записаны в таблице. После решения условных уравнений фигур и горизонта приступают к решению полюсного условного уравнения, что дает третьи поправки к углам, но при условии, чтобы условия фигур и горизонта не были нарушены. Условное уравнение полюса примет вид:

₁(x₁)”’+₂(x₂)”’+₃(x₃)”’+₄(x₄)”’+₅(x₅)”’-₁(x₁)”’- ₁(x₁)”’-₁(x₁)”’-₁(x₁)”’ --₁(x₁)”’+W=0

здесь ₁, ₂, …₅ – перемена логарифмов синусов углов x, входящие в числитель свободного члена W, а ₁, ₂…₅ – перемены логарифмов синусов углов y, входящие в знаменатель свободного члена. Невязка, т.е. свободный член уравнения, выражается формулой:

Здесь связующие углы x, y каждого треугольника представляют углы, исправленные предыдущими двумя поправками. Чтобы решением полюсного уравнения не нарушить условие фигур и горизонта, надо ввести дополнительное условие, согласно которому в каждом треугольнике связующие углы должны иметь равные поправки, но с разными знаками, т.е. (x_i)”’=-(y_i)”’. Тогда полюсное уравнения примет вид.

a₁(x₁)”’+ a₂(x₂)”’+ a₃(x₃)”’+ a₄(x₄)”’+ a₅(x₅)”’+W=0

a₁=(₁+₁), …

для решения этого уравнения по способу наименьших квадратов надо добавить условие: (x₁)”’²+(x₂)”’²+(x₃)”’²+(x₄)”’²+(x₅)”’²=min

для нахождения минимума функции возьмем производные и прировняем их к нулю.

f’x₁=2(x₁)”’-2ka₁=0

Характеристики

Список файлов реферата