Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Конечно, сам по себе факт окружения кролика успеха лисам не гарантирует. Совершенно очевидно, что нужно ещё что-то. Нужно видимо какое-то специальное отношение расстояний, отношение скоростей. В общем, между различными факторами образующими ситуацию, необходима какая-то закономерность.

Основой, известного нам, математического аппарата является окружность Апполония, но как мы помним из предыдущей лекции она строилась из тех соображения, что преследователь быстрее убегающего, в противном случае множество точек встречи просто пустое. Поэтому на первый взгляд использовать окружность Апполония не получится.

Проведём небольшое формальное преобразование. Пусть кролик будет преследователем, а лиса убегающим, а чтобы эту новую задачу свести к предыдущей добавим в условие, что все направления движения от кролика для лисы запрещены и двигаться она может только к кролику, а кролику разрешено движение только по прямой из исходной точки. С точки зрения здравого смысла такая постановка абсурдна, но как математики, мы имеем право так поступить. Новая задача будет выглядеть так: Несколько лис окружили кролика который пытается поймать хотя бы одну. Лисы не возражают и ведут себя так, чтобы максимально облегчить задачу кролика. Вопрос, при каких условиях на любом направлении движения кролика по прямой, лисы смогут осуществить встречу кролика хотя бы с одной лисой.

В такой постановке ответ почти очевиден. Кролик гарантированно встретится с хотя бы одной лисой, если любая прямая по которой он движется пересечёт хотя одну окружность Апполония. То есть имеет место следующая ситуация:

Рисунок сделан с учётом того, что скорости лис могут быть различные, различие в скоростях лис определяет различие в радиусах. Совокупность окружностей Апполония ограничивают замкнутую внутреннюю область в которой располагается кролик.

Чтобы сложилась такая ситуация необходимо какое-то соотношение между скоростями лис, кролика и расстояниями между ними. А для того, чтобы получить возможность что-либо считать нам нужен радиус окружности Апполония.

Радиус окружности Апполония:

Для того чтобы получить радиус построим формулу описывающую окружность.

O

E

P

M

Обозначения:

P – Преследователь

E – Убегающий игрок

O – Центр окружности Апполония

M – Точка встречи

Выберем систему координат таким образом, чтобы её начало было в центре окружности Апполония и E=(0,0); P=(0, – b)

Очевидно, что |EM|/V_e= |PM|/V_p

Или, что тоже самое |EM|* V_p = |PM|* V_e

Тогда |EM| = x² + y² и |PM| = x² + (y +b)²

Подставим в предыдущую формулу и получим

V_px² + y² = V_e x² + (y +b)²

Возведём в квадрат обе части уравнения, сгруппируем и получим следующее уравнение

x² + (y – (bV_e²)/(V_p² – V_e²))² = (V_e V_pb/(V_p² – V_e²))²

Это действительно уравнение окружности и отсюда мы можем получить выражение для радиуса.

R = V_e V_pb/(V_p² – V_e²)

Из этого же уравнения можно определить и координаты преследователя и убегающего игрока

Знание этих величин, и скоростей позволяет решить целый ряд задач. Например следующую:

Три лисы окружили кролика таким образом, что кролик оказался в центре окружности описанной возле равностороннего треугольника, в вершинах которого находятся лисы. Известно также, что скорости всех лис одинаковы и известно, что кролику не удастся убежать, причем, если бы его скорость была хотя бы немного больше он бы убежал. Найти отношение скорости лис и скорости кролика.

4. Преследование на плоскости с одним преследователем

В данной игре существует оптимальная стратегия и для преследователя и для убегающего игрока. Оптимальной стратегией для преследователя будет стратегия параллельного сближения, а для убегающего игрока движение по прямой EA где Е начальная точка убегающего игрока и А точка Апполония.

Оптимальность стратегии для убегающего очевидна, так как начальная точка преследователя находится на той же самой прямой. Действительно суть стратегии параллельного сближения в том, что

А) Преследователь изменяет направление движения в тот же самый момент когда направление движения меняет убегающий игрок.

Б) Новое направление выбирается таким образом, чтобы преследователь и убегающий игрок встретились на окружности Апполония.

Из этих двух пунктов и следует оптимальность выбранной стратегии. А теперь определим оптимальное время преследования для такой игры.

Известно, что точка встречи – это точка Апполония. Известно, также что оба игрока движутся по прямой, следовательно, для определения времени встречи существенно важны не абсолютные значения скоростей, а то насколько скорость преследователя больше скорости убегающего игрока. Поэтому мы можем перейти к эквивалентной задаче, в которой убегающий игрок стоит на месте, а преследователь движется со скоростью равно V_p – V_e

В этой задаче преследователь должен пройти расстояние между его начальным положением и начальным положением убегающего. Мы уже обозначали это расстояние через b тогда оптимальное время преследование будет дано следующим выражением t=b/(V_p – V_e).

5 Игра с линией жизни

Вспомним, что игрой с линией жизни называется игра с границей которую убегающий игрок стремится достичь, а преследователь наоборот стремится этого не допустить. Сразу из определения следует следующая несложная теорема:

Теорема: В игре с линией жизни убегание невозможно только в том случае, когда линия жизни не пересекается с окружностью Апполония. При этом форма линии жизни несущественна.

Теорема очевидна и в доказательстве не нуждается.

Задача «о крысе загнанной в угол»

Из названия уже ясно, что речь идёт о игре в которой участвуют два игрока действующих внутри некоторого угла. Эта игра не исследована исчерпывающе. Хорошо известны только некоторые частные случаи, например преследование в прямом угле.

Теорема. Пусть убегающий игрок находится в вершине угла а преследователь на биссектрисе

P

E

b

Обозначим скорость убегающего игрока через V_e тогда, если скорость преследователя V_p = 2 V_e, то оптимальное время преследования t = b / V_e

Доказательство. Очевидно, что оптимальной стратегией для убегающего игрока (крысы) будет бегство по катету. Отношение катетов |Pb| и |Eb| равно 2. То есть равно отношению их скоростей.

Лев и человек

Пусть два игрока (лев и человек) находятся внутри круглой арены и их скорости равны. На главный вопрос «Каковы их шансы?» есть однозначный ответ, человек при любых начальных условиях сможет убежать. Попробуем доказать это утверждение.

Синий кружок – это преследователь и зелёный кружок это убегающий игрок. Для начала выполним небольшой качественный анализ. Проведем через преследователя и убегающего прямую линию и перпендикуляр к ней. Пусть убегающий игрок движется по перпендикуляру какое-то время. Построим треугольник на точках (Лев, Человек, Точка пересечения отрезка по которому движется человек с окружностью). Этот треугольник тупоугольный и тупой угол при вершине, в которой находится человек. Это следует из того, что начальное положение Льва и Человека – это единственное положение, когда данный угол равен 90 градусов, острым этот угол быть не может, следовательно, он тупой.

Итак мы выяснили, что в момент начала движения угол при вершине человек увеличивается, мы не можем сказать насколько, но сам факт не вызывает сомнения.

Далее, человек, конечно же, не сможет двигаться по данному отрезку бесконечно (впереди стенка ограждения). Поэтому он должен повернуть на другой отрезок (последовательность отрезков показана на чертеже). Мы вполне можем момент поворота принять за начальный момент движения. Итак, пусть это будет начальный момент, но выше было сказано, что в начальный момент движения угол в вершине Человек увеличивается, следовательно, если он был тупым, он станет ещё более тупым.

При каждом повороте мы имеем следующий тупоугольный треугольник

Ч

Л

Если как уже было сказано, угол при вершине Человек при каждом повороте увеличивается, то в пределе треугольник должен сложиться в отрезок.

Ч

Л

А по условию их скорости равны. Естественно, что находясь в точности позади человека, Лев не имеет никаких шансов его поймать. Единственно, что нужно человеку это правильно определить последовательность моментов времени в которые необходимо осуществлять поворот. Попробуем сделать это.

Строгое доказательство. Обозначим через «а» расстояние от точки Человек до точки пересечение отрезка построенного указанным выше способом с окружностью. А через t_i временные точки в которых человек будет осуществлять поворот. Пусть эти моменты времени вычисляются следующим образом:

t_i = (1/v)*(a/2 + a/3 + …. + a/i) = (a/v)*(1/2 + 1/3 + …..1/i)

Таким образом, наша теорема справедлива, если полученный числовой ряд не сходится. Покажем, что это действительно так.

Характеристики

Список файлов сочинения