14411-1 (630637), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Гомотопными называются отображения _t(x), такие, что существует такая гомотопия, что оба отображения содержатся в ней.

Гомотопически эквивалентными называют такие два многообразия, что существуют гладкие отображения, переводящие одно в другое и наоборот, что их композиции гомотопны соответствующим тождественным отображениям.

Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. полилинейная ф-я от p векторов и q ковекторов. У него n^p+q координат =T(e₁,…,e_p,E¹,…,E^q).

Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. объект, задаваемый в каждой система координат набором чисел , преобразующихся при замене систем координат (x)(x’) по закону:

= .

Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. полилинейный функционал, заданный на мн-ии, аргументы к-го являются векторные поля.

Теорема. Эти определения тензора эквивалентны.

Теорема. Значение тензора на p векторах и q ковекторах инвариантно относительно системы координат.

Сложение тензоров: =₁ +₂ .

Умножение Тензоров. = .

Свертка Тензора.

Симметрирование. .

Альтернирование. .

Симметричным (Кососимметричным) называется такой тензор , что = (=(-1)).

Теорема. _alt – кососимметричный. _sym – симметричный. ()_alt=(-1) .

()_sym=_sym. Если - симметричный, что =_sym.

Теорема. Пр-во кососимметричных тензоров типа (p,0) имеет размерность 0, если p>n и 1 иначе.

Операцией опускания индексов наз. операция, ставящая в соответствие тензору тензор = , где a_ij - невырожденное тензорное поле типа (0, 2) (то есть A^-1 (a^ij)).

Теорема. Симметричность инвариантна относительно замены координат.

.

Символами Кристоффеля наз. функция или в коорд. .

Теорема. .

Тензором Ковариантного дифференцирования или связностью наз. тензор:

= + - .

Тензор кручения наз. тензор, задаваемый в каждой системе координат равенством:

Симметричной наз. связность , тензор кручения которой равен нулю. линейна и удовлетворяет правилу Лейбница.

Теорема. Связность симметрична титт, когда .

Согласованной с Римановой связностью на мн-ии M называется такая Метрика G, что G=0 всюду на мн-ии.

Теорема. На римановом мн-ии существует единственная риманова связность, согласованная с метрикой.

Тензором кривизны Римана данной связности наз. следующий тензор:

= .

Теорема. Пусть задано многообразие M и пусть тензор кривизны R на этом многообразии отличен от нуля во всех точках, тогда на многообразии M нельзя ввести локально-евклидовы координаты, т.е. такие, в которых матрица g_ij постоянна.

Теорема. На двумерном Римановом мн-ии R=2K, где K – гауссова кривизна, а R =g^kl .

R(X,Y)Z=_xy(z)- _yx(z)- _[x,y](z).

Кривизной по двумерному направлению X,Y называется число R()=(R(X,Y)X,Y), где X, Y – заданные векторные поля.

Теорема. Пусть M – двумерное риманово многообразие и K(P) – гауссова кривизна, тогда R()=K(P).

Коммутатором ковариантного дифференцирования тензора наз. тензор [_k,l](Tⁱ)=T^q , где [_{k, l}] =(_kl - _lk), и T=(Tⁱ) – тензорное поле на заданном мн-зии.

Кососимметричным тензорным полем наз. такое тензорное поле , что его компоненты меняют знак при транспонировании любых двух соседних индексов одного типа.

Дивергенцией векторного поля по определению называют тензор

Div(Tⁱ)= .

Внешним умножением кососимметричных тензоров ₁ и ₂ называется тензор ₁^₂=(₁₂)_alt. Оно линейно, антикоммутативно.

Св-во. Пусть ₁ и ₂ кососимметричные тензоры типа (p,0) и (q,0), тогда ₂^₁=(-1)^pq₁^₂.

Алгеброй дифференциальных форм (Mⁿ) наз. алгебра, представителями которой являются линейные комбинации ^(k)= и комбинации где – кососимметричное тензорное поле ранга q и индексы j1…jq упорядоченные в порядке возрастания.

Внешними дифференциальными формами называются элементы алгебры дифференциальных форм ^(k). Они инвариантны относительно замены координат т.е.

.

Теорема. Многообразие ориентируемо титт, когда на нем задана диф. форма w, отличная от нуля во всех точках мн-я.

Теорема. Размерность дифференциальных форм степени k равна .

Rot():= ; Div( ):= .

Градиентом внешней формы наз. внешняя д.ф. d, компоненты которой в локальной системе координат (x¹,…,xⁿ) имеют вид:

= . Grad():= .

Градиент внешней формы линеен и обладает следующими свойствами:

1) d(₁₂)=d₁₂+ ₁ d₂.

d(d)=0.

Замкнутой внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. с нулевым градиентом.

Точной внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. , если ее можно представить в виде градиента некоторой дифференциальной формы.

Носителем дифференциальной формы наз. Замыкание множества, на котором дифференциальная форма отлична от нуля.

Сосредоточенной , относительно заданной точки, дифференциальной формой наз. такая д.ф., что она отлична от нуля в достаточно малой окрестности заданной точки.

Ограничением дифференциальной формы по отношению к мн-зию М наз. такая д.ф. над подмн-зием К мн-зия М, что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К и нулю вне его.

Продолжением дифференциальной формы по отношению к подмн-зию К мн-зия М, наз. такая д.ф. над мн-зием М что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К.

Теорема. Пусть - отображение из мн-я M в мн-е N, пусть ^* - отображение диф. форм из M в N, тогда

.

d^*(w)= ^*(dw).

Сл-е. Замкнутость и точность диф. форм - инвариант.

Интегралом диф. формы w по карте D ориентируемого мн-ия M называется выражение , где _x ровно знаку ориентации карты D.

Утверждение. Для интегрируемой ф-ии найдется такая диф. форма w=_x(x) , где _x ровно знаку ориентации карты D, а G – метрика, что их интегралы равны.

Формула Стокса. Для ориентируемого многообразия с краем M и диф. формы w .

Группой когомологий де Рама наз. фактор - пр-во замкнутых внешних дифференциальных форм степени k по подпространству точных форм размерности k мн-зия M и обозначается через H^k(M) или (M) если носителем дифференциальной формы является компакт. Всякая точная форма является замкнутой, так как d(d ‘) = dd()=0.

Кольцо всех замкнутых внешних дифференциальных форм произвольной степени мн-я M обозначается через H^*(M).

Обратным образом *() внешней дифференциальной формы на M₂ наз. такая внешняя д.ф. на мн-зии M₁, задаваемое формулой: *(₁,…,_k)=(d(₁),…,d(_k)), где ₁,…,_k принадлежат касательному пространству точки Р из M₂ и являются образами отображения , где - гладкое отображение мн-зий .

Теорема. Группы когомологий де Рама гомотопных мн-й изоморфны.

Производной вдоль кривой наз. выражение: =^k_k( ), где

(t) – поле скоростей с координатами {^k} в некоторой системе координат и - аффинная связность на Mⁿ, задаваемая в системе координат набором частных дифференцирований _k.

Уравнением параллельного переноса наз. уравнение

=0.

Геодезической в данной связности наз. гладкая кривая на мн-зии Mⁿ c аффинной связностью , если ()=0, где - векторное поле скоростей траектории (t).

Теорема. Геодезическая в данной связности задается уравнением =0.

Теорема. Геодезическими линиями римановой связности на сфере со стандартной метрикой являются все центральные плоские сечения сферы и только они.

Теорема. Геодезическими линиями римановой связности на псевдосфере в модели Пуанкаре со стандартной метрикой являются все дуги окружностей выходящих на абсолют под прямым углом и только они.

Теорема. Локально существует единственная геодезическая кривая, проходящая через заданную точку.

Лагранжианом называют функцию , зависящую от трех групп переменных 1n, 1n, 1ik.

Стационарной для функционала J называется такая ф-я , что по любому направлению .

Системой функциональных уравнений Эйлера называется система .

Теорема. Функция является экстремальной для функционала J титт, когда она удовлетворяет системе ф. ур-й Эйлера.

Теорема. Пусть дана кривая и функционал . Тогда экстремалями функционала E являются геодезические траектории (t), параметризованные параметром, пропорциональным натуральному.

Теорема. Функция является экстремальной для функционала J титт, когда она удовлетворяет системе ф. ур-й Эйлера.

Теорема. Пусть дана кривая и функционал . Тогда экстремалями функционала L являются траектории получающиеся из геодезических путем гладких замен параметров на них.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.mmonline.ru/

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)