183635 (629891), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Пусть u₁ = 0, тогда

v₁ = 14; v₂ = 14; u₂ = 3; v₃ =12; u₃ = 0; u₄ = 12.

Используя найденные потенциалы, рассчитаем для всех незанятых клеток величины: и поставим их (с соответствующим знаком) в табл. 4

∆_i,j = v_j - u_i - t_i,j

∆_1,3 = 12- 0 - 15 = -3

∆_2,1 = 14 – 3 – 16 = -5

∆ _3,1 = 14 – 0 – 15 = -1

∆_3,2 = 14- 0 - 15 = -1

∆_4,1 = 14 – 12 – 0 = +2

∆_4,2 = 14 – 12 – 0 = +2

Таблица 4

Потенциалы и направления улучшения опорного плана

Отрицательные величины ∆_i,j показывают, что везти по данному направлению невыгодно. Разница цен у потребителей и поставщиков не покрывает транспортных расходов и на каждой единице транспортируемого продукта мы будет терпеть убытки (по сравнению с предыдущим опорным планом) в размере ∆_i,j . В клетках, где ∆_i,j > 0, наоборот, может быть получен эффект в размере ∆_i,j на единицу перераспределяемого продукта. В рассматриваемом примере таких клеток две, причем обе имеют значение +2. Выберем любую из них, пусть это будет клетка на пересечении 4-ой строки и 2-го столбца и пометим ее плюсом. Определяя объем поставок в эту клетку, следует руководствоваться следующими соображениями:

во-первых, поставив в нее какой-то объем перевозок, мы должны вычесть эту же величину из других занятых клеток, чтобы не нарушить балансовых соотношений по ввозу и вывозу.

во-вторых, число клеток, включенных в новый план должно оставаться неизменным на единицу меньше суммарной численности поставщиков и потребителей.

Следовательно, вместо вошедшей клетки, одна, содержащаяся в предыдущем плане, должна быть исключена. Оба условия легко выполнить, если перераспределение поставок осуществлять по контуру (табл.4). Искомую величину перераспределяемой поставки определит минимальное значение, стоящее в клетках со знаком минус. В данном случае - 10 тыс. ц. Меньше этой величины перераспределять невыгодно, так как уменьшается эффект от улучшения плана и кроме того, на единицу превышается допустимое количество загружаемых клеток. Больше перераспределять нельзя, потому что в одной из клеток появится отрицательная перевозка, что абсурдно.

Новый (оптимальный) план и соответствующая ему система оценок приведен в табл.5

Таблица 5

Рассчитав значения потенциалов v_j и u_i и величины ∆_i,j запишем их соответствующие клетки (табл.5). Значения ∆_i,j во всех незанятых клетках не больше нуля, что свидетельствует об оптимальности построенного плана, для которого значение целевой функции равно 1195. По сравнению с первым опорным планом затраты удалось снизить на 20 единиц.. Заметим, в одной из клеток ∆_4,1 = 0, что свидетельствует о неоднозначности оптимального плана, т.е. достигнутое значение целевой функции может быть получено и при других значениях переменных. При решении данной задачи в программе Excel мы получим значения, которые приведены в таблице 5 [5].

3.2 Двойственная задача.

Предположим, что речь идет об установлении таких цен, которые бы стимулировали организацию, ответственную за выполнение перевозок, действовать в соответствии с оптимальным планом и затрачивать минимум средств на перевозку. Разность цен на продукт у потребителей и поставщиков должна быть такой, чтобы исключить возможность "спекуляции", т.е. по каждому направлению транспортировки она не должна превышать транспортных расходов.

, i =1…N, j=1…M (1.4)

Критерием оптимальности в такой задаче можно принять разность взвешенной по оценкам продукции в пунктах потребления и пунктах поставок, которую нужно максимизировать:

(1.5)

Задача, модель которой описывает соотношения (1.4) и (1.5), называется двойственной к задаче (1.1) и (1.3).

Отметим, что решение задачи (1.4) и (1.5) неразрывно связано с оптимальным решением прямой задачи (1.1) - (1.3). Именно для оптимальных значений переменных x_i,j > 0 соотношения (1.5) выполняются как строгие равенства.

Важным для анализа свойством двойственных задач является совпадение оптимальных значений целевых функций (1.1) и (1.5):

(1.6)

В справедливости соотношения (1.6) легко убедиться на нашем примере, подставив в него конкретные значения из табл.1.3.

Поскольку в оптимальном случае целевые функции прямой и двойственной задач совпадают, то наличие в правой части равенства оценок дает возможность ранжирования поставщиков и потребителей по степени эффективности. Так, величина оценки u_i характеризует изменения целевой функции при изменении мощности поставщика на единицу. Легко заметить, что чем выше соответствующая оценка поставщика, тем выгоднее наращивать в нем производство.

Рассуждения о сравнительной эффективности потребителей прямо противоположны. Так как оценка пункта потребления v_j показывает прирост производственно-транспортных затрат в расчете на единицу прироста потребности в этом пункте, то самым эффективным будет пункт потребления, имеющий минимальное значение оценки (в рассмотренном выше случае - элеватор в Озерном). Следует иметь в виду, что пользоваться оценками и делать на их основе какие-либо выводы можно лишь в пределах устойчивости оптимального плана, т.е. до тех пор, пока не меняется базис решения. Если же стоит задача проанализировать рассмотренную ситуацию при резком (значительном) изменении исходных данных, то это следует делать путем проведения вариантных расчетов, введя в условия задачи необходимые изменения и заново ее оптимизировав. При наличии стандартного программного обеспечения и средств диалогового общения с ПЭВМ такие расчеты не представляют затруднений [5].

3.3 Трехэтапная транспортно-производственная модель.

Теперь, после рассмотрения основных понятий, необходимых для нахождения и анализа оптимального плана транспортной задачи вернемся к задаче, описанной в пункте 2.4 и рассмотрим все три ее этапа. Самый простой путь нахождения плана заготовки, транспортировки и переработки зерна состоит в решении последовательно двух задач: оптимизации связей (производители зерна) – (элеваторы) и последующей оптимизации переработки на элеваторах и транспортировки зерна на мелькомбинаты. Но этот путь приемлем лишь в том случае, когда суммарные объемы производства зерна, мощности элеваторов и потребности мелькомбинатов совпадают. В противном случае так поступать нельзя, потому что загрузка промежуточных пунктов – элеваторов, будет определяться лишь с точки зрения затрат первого этапа, что неверно. Для решения такого класса задач успешно используется метод “фиктивной” диагонали. Суть его состоит в том, что промежуточные пункты (в данном случае – элеваторы) представлены дважды: как потребители – на первом этапе транспортировки и как поставщики – на втором (табл.6).

Клетки табл. 6, лежащие на пересечении одноименных столбцов и строк, получили название “фиктивной” диагонали (отсюда и название метода) и имеют смысл ввоза продукта из промежуточных пунктов самим себе или говоря иначе объемы недоиспользования их мощностей. Нулевые затраты в этих клетках показывают, что недоиспользование мощностей элеваторов не связано с транспортно-производственными затратами.

Таблица 6

Постановка задачи и оптимальное решение

Заштрихованные клетки означают, что вывоз зерна из пунктов производства непосредственно на мелькомбинаты, минуя элеваторы, запрещен, также как и перевозки между элеваторами. Если задача решается на ПЭВМ, то в качестве коэффициентов целевой функции переменных, соответствующих этим клеткам, следует поставить достаточно большое число, значительно (например, в 20 раз) превышающее коэффициенты затрат в других клетках. В таблице 7 кроме общей постановки задачи приведено и ее оптимальное решение, для которого суммарные затраты составляют 1540 тыс. руб.

Характеристики

Список файлов курсовой работы