116329 (617861), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Далее, после изучения операций над событиями свойств изучаются элементы комбинаторики основы дл вычисления вероятностей событий широком классе вероятностных схем. Элементы методики изучения комбинаторики школьном курсе математики достаточно подробно разработаны, так как этот раздел изучался школьном курсе математики. настоящее время происходит возврат разделу комбинаторики, так как он востребован потребностями дискретной математики, широко применяемой в различных областях знания, например информатики.

Тема «Элементы комбинаторики» может изучаться изучения темы «Теория вероятностей» так как она содержательно богата как теоретическом, так прикладном аспектах.

Второе фундаментальное понятие теории вероятностей это понятие «вероятности» Это понятие является основой построения всех схем вероятностного характера, описывающих широкий класс случайных явлений.

Формирование этого понятия, так же как понятия «события» начинается преодоления противоречия между субъектным опытом ученика употребления им термина «вероятность» повседневной практике смыслом, вкладываемым определение этого понятия математике.

Настоящее время существует несколько определений понятия «вероятности события» статистическое, аксиоматическое, классическое, субъективное (на основе экспертных оценок) Можно сказать, что формирование понятия «вероятности» происходит настоящее время. Философский подход определению вероятности как «примеры объективной возможности наступления (или не наступления) некоторого события» для математики неприемлем силу весьма его размытого характера. Неприемлемо это определение для реализации целей обучения теории вероятностей школьном курсе математики.

В качестве примеров определения вероятностей событий на основе классического определения вероятности можно рассмотреть задания на вычисление вероятности выпадения «орла» или «решки» при бросании симметричной монеты, рождения мальчика или девочки.

Формирование понятия «вероятности» может быть осуществлено несколько этапов. Сначала, реализуя принцип историзма обучении, рассматривается классическое определение понятия вероятности. Вероятностью события называется отношение числа случаев, благоприятствующих событию общему числу исходов Это определение, являясь конструктивным, дает способ вычисления вероятности события формулируется для так называемых классических экспериментов. Эксперимент называется классическим, если результате его проведения реализуется множество событий, удовлетворяющих следующим условиям:

• все события равновозможны;

• они попарно несовместны;

• образуют полную группу событий.

Исторически такие события назывались шансами, случаями, исходами, речь шла о рассматриваемых ранее основных вероятностных моделях подбрасывание игральной кости, извлечение шаров из урны, извлечение карт из колоды, стрельба по мишени.

Можно проверить, что введенное таким образом определение вероятности обладает следующими свойствами:

• (= вероятность достоверного события равна так как

• (= вероятность невозможного события равна так как вероятность принимает значения из промежутка [; так всегда то из следует

• (+ (+( если события несовместны.

Это свойство можно обосновать. Пусть результате проведения серии экспериментов событие произошло m₁ раз, событие m₂. Так как события несовместны, то сумма событий произошла m₁₊ m₂ раз. Тогда получаем, что

В качестве примеров определения вероятностей событий на основе классического определения вероятности можно рассмотреть задания на вычисление вероятности выпадения «орла» или «решки» при бросании симметричной монеты, рождения мальчика или девочки например, такое, которое используется дальнейшем при изучении теорем сложения.

Одним из существенных недостатков классического определения вероятности является то, что оно пригодно толы для классических экспериментов, которые редко имеют место повседневной практике. Важно добиться от учащихся четкого понимания того факта, что введенное выше определение вероятности обслуживает весьма узкий класс явлений рамках классических экспериментов) его, вообще говоря, недостаточно, поэтому возникает необходимость рассмотрения других подходов определению понятия вероятности [10, 396]

После изучения методики преподавания теории вероятностей необходимо рассмотреть, используются ли задачи по теме на уроках математики классе.

Методика изучения основных теорем теории вероятностей:

основным теоремам теории вероятностей относятся теоремы сложения вероятностей следствия из них теорема умножения вероятностей. Изучение теорем желательно вести использованием примеров, иллюстрирующих их применение.

В случае если события несовместные исходы одном том же испытании, то для них имеет место теореме сложения вероятностей: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Следует подчеркнуть, что это утверждение имеет статус теоремы только для классического эксперимента. общем случае, при аксиоматическом построении теории вероятностей, оно выступает качестве аксиомы.

Это утверждение допускает два важных обобщения:

если события А₁ А₂, А_n— несовместны, то

(A_1,A₂,,А_n) (А₁) (А₂) (А_n) если два события совместны, то

( ( ( (АВ) сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу событий, равна единице:

(А₁) (А₂) (А_n) сумма вероятностей противоположных событий равна единице,

Из этой формулы можно получить следствие вероятности противоположного события по известной вероятности.

Теорема сложения вероятностей для случая совместных событий может рассматриваться как основа мотивации изучения теоремы умножения вероятностей. Действительно, формуле, выражающей математическую формулировку теоремы вероятности двух несовместных событий, имеется слагаемое (АВ) которое не выражено через вероятности ( ( ( ( ( (АВ)

Изучение теоремы умножения вероятностей начинается введения понятия «условной вероятности» Введению этого понятия предшествует обсуждение вопроса зависимости них событий от других. По определению, событие называется зависимым от событий В_1,В₂, B_k, если вероятность события зависит от того, произошли или не произошли события В₁, В₂, B_k. противном случае событие называется независимым. Если события В₁, В₂, B_k произошли, то вероятность события вычисленная при этих условиях, называется условной обозначается (В₁, В₂, B_k) Если вероятность события вычисляется вне связи событиями B_1, B₂, B_k, то она называется безусловной. Таким образом, получаем, что если событие зависит от события то (│ (если не зависит, то (│ (

Рассмотрим пример, позволяющий уяснить смысл понятия условной вероятности.

Пример: урне белых черных шара. Определить вероятность того, что два последовательно вынутых шара окажутся разных цветов, если один из них белый.

Пусть событий «оба вынутых шара разных цветов» «один из шаров белый» принятых обозначениях ставится задача вычисления вероятности задачах на вычисление условных вероятностей важно правильно определить полную группу событий. В данном примере полная группа событий включает все различные пары, содержащие хотя бы один белый шар. Так как количество шаров невелико, полную группу событий можно задать перечислением: где событие, состоящее том, что извлечен первый белый второй черный шар. Следовательно, искомая вероятность соответствии классическим определением равна

Теперь можно переходить формулировке теоремы умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Н еобходимо подчеркнуть, что общем случае доказать эту теорему невозможно, теории вероятности она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы.

Из доказанной теоремы получаются следствия:

• симметричность независимости событий если событие не зависит от события то событие не зависит от события

• если события независимы, то (ВА)

Рассмотрим пример применения теоремы умножения вероятностей.

Пример ящике находятся белых черных шара. Последовательно вынимаются два шара без возвращений. Определить вероятность того, что оба шара белые. Рассмотрим следующие события «первый шар белый» «второй шар белый» Требуется определить вероятность события =АВ. соответствии теоремой (АВ) Определим соответствующие вероятности ак как при извлечении первым белого шара количество белых шаров урне станет при общем числе шаров.

Для иллюстрации применений теоремы умножения вероятностей случае независимых событий можно рассмотреть следующий комплексный пример.

Изученные теоремы дают возможность получить важные утверждения теории вероятностей формулу полной вероятности формулу Байеса.

Рассмотрим систему из попарно несовместных событий В₁, В₂, B_k, образующих полную группу событий, где невозможное событие. Пусть дано событие удовлетворяющее равенству В₁А В₂А B_kA. Показав попарную несовместность событий В₁ В₂А, B_kA, найдем вероятность наступления события Любое событие, входящее обязательно входит некоторое, но одно В_i так как B₁ B₂, В_k образуют полную группу, тогда. Полученная формула называется формулой полной вероятности. Довольно часто можно встретить подходы, при которых события B_t называются гипотезами обозначаются Н_i, тогда формула полной вероятности может быть переписана.

Иллюстрацию формулы полной вероятности легко провести на основе рассмотренного ниже примера.

Пример: ящике находятся белых черных шара. Последовательно вынимаются два шара без возвращений. Определить вероятность того, что на втором шаге появится черный шар. На первом шаге может появиться как белый, так черный шар. Рассмотрим следующие события: событие В₁ «первый шар белый» событие В₂ «первый шар черный» событие «второй шар черный» По формуле полной вероятности:Требуется определить вероятности событий (В₁) (В₂) (/В₁) (/В₂) Вероятность на первом шаге извлечь белый шар (В₁) вероятность на первом шаге извлечь черный шар (В₂) вероятность того, что на втором шаге появится черный шар, если на первом шаге был извлечен белый (/В₁) вероятность того, что на втором шаге появится черный шар, если на первом шаге был извлечен черный шар (/В₂) тогда по формуле полной вероятности:

Как правило, вместе формулой полной вероятности соответствии логикой вопроса изучается формула Байеса, так как она дает решение обратной задачи. Проводится испытание, результате которого произошло событие Какова вероятность того, что этом испытании произошло событие В_i

Методика изучения понятия «случайная величина»

Изучение основных характеристик случайных величин

Понятие «случайная величина» третье фундаментальное понятие теории вероятностей. Без знаний учащихся области элементов математического анализа корректное изучение этого понятия его свойств не представляется возможным. Можно остановиться лишь на изучении дискретной случайной величины. При достаточном уровне математической подготовки учащихся есть возможность более детально изучить определение свойства непрерывных случайных величин.

Ввести определение случайной величины желательно конкретно-индуктивным способом. Рассмотрев ряд примеров случайных величин (число выпавших очков при бросании игровых костей, число голосов, набранных кандидатами, результат измерения формулируется определение понятия случайной величины (переменная, которая принимает числовые значения зависимости от исхода некоторого опыта; обозначение подчеркивается, что случайная величина принимает числовые значения, которые заранее неизвестны. Другой подход определению функциональный. Случайную величину можно рассматривать как функцию элементарного события областью определения (множество событий)

Таким образом, представлена методика работы при использовании элементов теории вероятностей классе.

На основании этого можно сделать вывод, что ознакомление школьников элементами теории вероятностей повышает интерес предмету, следовательно, повышается эффективность обучения, которое может проводиться на факультативных занятиях.

Так как при анализе учебников математики анкетировании учителей Кунгура было выявлено, что данная тема рассматривается недостаточно, лишь учебнике математики класса Дорофеева (приложение Автором данной работы была разработана программа факультативного курса по теории вероятностей курсе математики класса.

Заключение

На современном этапе обучения школьный курс математики стали вводиться элементы теории вероятностей.

В настоящее время она завоевала очень серьезное место науке прикладной деятельности. Сейчас без достаточно развитых представлений случайных событиях их вероятностях невозможно полноценно работать физике, химии, биологии, управлять производственными процессами.

Значение теории вероятностей современной науке практической жизни понято достаточно хорошо представителями ряда научных дисциплин. Но эта наука имеет очень важное методологическое значение, поскольку она вводит круг новых, гораздо более широких закономерностей, которые позволяют описывать явления окружающего нас мира полнее глубже. Познакомить этими закономерностями еще школьном возрасте является важной задачей, поскольку позднее переделать психику на новый способ мышления гораздо сложнее.

Поскольку многие задачи элементами теории вероятностей доступны ученикам, интересны им, то их необходимо включать учебники. Они привлекают ребят делают уроки многообразными интересными.

Характеристики

Список файлов курсовой работы