112377 (616468), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Пример 4 (задача на классификацию): Сумма всех ребер параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если известно, что ; (рис. 5).

Р ешение: Используется свойство равенства противолежащих сторон граней – параллелограммов. Тогда см. Найдем искомое в задаче:

;

Отсюда .

4.1.5. Задания на построение недостающих фигур чертежа в ходе

решения задачи

В геометрии очень много заданий, требующих дополнительных построений. Они основаны на тщательном анализе исходных элементов чертежа, определении их существенных (по условию задачи) признаков, причем этот анализ идет в мысленном плане (элементы чертежа сравниваются зрительно). На этой основе возникает догадка о необходимости введения нового элемента и только после этого осуществляется его построение. Такие задания развивают у ученика «образную» логику. Ведь решение о дополнительном построении возникает не сразу, а после тщательного анализа элементов исходного чертежа, сопоставления их со словесными условиями задачи, выработки некоторой стратегии решения и как результат — выполнение построения на основе вычленения и обоснования недостающего данного (или их совокупности), что открывает путь к решению задачи, позволяет переосмыслить исходный чертеж.

Рассмотрев все элементы чертежа, определив их существенные (понятийные) признаки, ученик должен «расширить» круг необходимых данных, для чего и делается дополнительное построение. Оно может быть результатом «слепых» проб, когда ученик без достаточного анализа задачи делает те или иные построения — легко отказывается от одних и переходит к другим. Но построение может быть строго логически обосновано результатом решения задачи (ее отдельного этапа). Это нетрудно установить, наблюдая за работой ученика над задачей.

Задания на расширение данных чертежа путем:

а) дополнительных построений;

б) «переосмысливания», т.е. мысленного «включения» в другую фигуру, имеют большую диагностическую ценность.

Они проявляют возможность ученика выйти за пределы наличной наглядной ситуации, расширить ее, руководствуясь логикой решения задачи.

Эти задания имеют особую ценность в стереометрии, где поиск и нахождение нового элемента нередко представляет собой целую цепь мысленных преобразований, осуществляемых над образом исходной фигуры, когда требуется не только выделение понятийных признаков («ребро куба», «диагональ параллелепипеда», «сечение конуса» и т.п.), но и подлинное создание нового геометрического образа (мысленное «выделение» нового элемента чертежа; «помещение» его в определенной плоскости, выделение среди других). Конечно, все эти умения не формируются сами собой. Они должны быть обеспечены системой заданий. Должны быть разработаны соответствующие правила (образцы, рекомендации), их решения, которые бы раскрывали ученику «технологию» создания образа: возможность мысленно прослеживать его изменения, удерживать в образе его основные элементы, вводить новые — необходимые и достаточные для решения задачи.

Пример 5: Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см (рис. 6).

Р ешение: Достроим усеченный конус до полного и рассмотрим его диагональное сечение. Заметим, что радиус нижнего основания усеченного конуса вдвое больше радиуса верхнего основания. Следовательно, высота и образующая конуса увеличатся в два раза (по подобию треугольников). По теореме Пифагора: образующая усеченного конуса равна 5 см.

4.1.6. Задания на рассмотрение фигур чертежа с разных точек

зрения

Эти задания используются в тех случаях, когда некоторые фигуры чертежа надо рассмотреть в плане разных понятий, т. е. переосмыслить их. Это достигается вычленением отдельной фигуры, выделением ее из остальных и включением в новые фигуры, путем их сочетания. Все это должно осуществляться мысленно, что требует, во-первых, абстрагирования отдельных фигур (углов, отрезков, их комбинаций) и, во-вторых, объединения с новыми, т.е. своеобразного мысленного синтеза этих фигур. Заметим, что такое видоизменение чертежа осуществляется «в уме» (ведь исходный чертеж остается при этом неизменным), поэтому вся работа ученика протекает «во внутреннем плане», скрыта от непосредственного наблюдения со стороны учителя. Необходимо обучать вычленению отдельной фигуры, включению ее в другие. Для этого важно сформировать у ученика в определенном порядке следующие мыслительные операции: сосредоточение своего внимания на отдельной фигуре, отвлечения от остальных; актуализация существенных признаков геометрических понятий, характеризующих данную фигуру; актуализация геометрических понятий, отражающих свойства других фигур чертежа; сопоставление данной фигуры с другими, включение ее в состав этих фигур; объединение на основе новых геометрических понятий (признаков, свойств, отношений), что дает возможность рассмотреть их по-новому, т.е. переосмыслить.

Вся эта система мыслительных действий (их содержание, последовательность осуществления) должна быть выявлена, описана и задана для усвоения учащимся. Иначе их взор будет лишь «скользить» по чертежу, не решая никаких конкретных задач. Ведь недаром говорится, что «смотреть не значит видеть». Чтобы видеть, надо уметь осуществлять определенные мыслительные действия, с содержанием которых ученики должны быть знакомы. Это умение обеспечивает основную логическую операцию — произвольное включение одной и той же фигуры в состав различных элементов чертежа, что формирует такие важные качества ума, как внимательность, наблюдательность, сообразительность. Это включение осуществляется в процессе решения задачи неоднократно, подчинено логике решения задачи.

Пример 6: Точка Е – середина ребра РВ правильного тетраэдра РАВС. Опустите перпендикуляры из точки Е на прямые а) АР, ВС и АВ (рис. 7а); б) АС (рис. 7б).

Найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно а.

Решение: Необходимо выделять грани (сечение) из состава тетраэдра, чтобы опустить из заданной точки перпендикуляры на заданные ребра.

а) Найдем длину перпендикуляра: Δ РАВ – равносторонний и т.Е – середина ребра РВ. ΔВМР ~ ΔЕКР с коэффициентом подобия (по определению преобразования подобия). Зная длины сторон ΔЕКР: , применим теорему Пифагора и получим: . Остальные длины перпендикуляров равны этому же значению.

б) Заметим, что перпендикуляр МЕ будет лежать в плоскости, перпендикулярной ребру АС. Чтобы построить эту плоскость, опустим из вершин В и Р перпендикуляры РМ и ВМ, тогда любая прямая, лежащая в ней будет перпендикулярна АС.

Найдем длину МЕ: В ΔАВС перпендикуляр МВ является медианой, следовательно, по теореме Пифагора . РМ = МВ. Тогда в равнобедренном ΔРМВ медиана МЕ является высотой. По теореме Пифагора: .

Итак, выделено шесть видов заданий на создание геометрических образов (внутренне взаимосвязанных). Они предполагают:

• перевод текста задачи в графический образ (его построение по условию задачи, выраженного словесно, с использованием символических обозначений);

• актуализацию существенных признаков;

• вычленение различных элементов чертежа, их сравнение, выделение, опознание;

• видоизменение чертежа (мысленное или практическое) путем его переосмысливания, дополнительных построений, расширения исходных данных.

При выполнении этих заданий от ученика требуется воссоздание образа по словесному описанию или чертежу и его мысленное видоизменение (без изменения самого чертежа), что предполагает развитие произвольности восприятия, хорошей зрительной памяти; точной фиксации образа чертежа, го мысленного, причем, неоднократного преобразования в указанном направлении.

4.2. Задания на оперирование геометрическими образами

Эти задания отличаются тем, что их выполнение не предполагает опору на чертеж (данный в готовом виде или сделанный учеником по условию задачи). Вся работа с исходным образом осуществляется в основном «в воображении». Эти задания вызывают наибольшие трудности у тех учащихся, которые не могут «удержать» образ (он как бы расплывается, размывается, исчезает, а не имея четкого исходного образа, нельзя им мысленно «манипулировать»).

Есть здесь и другая трудность. Ученики, создающие отчетливые исходные образы, тоже затрудняются их мысленно видоизменять. Но эти затруднения отличны от тех, при которых образ, наоборот, не сохраняется, а расплывается. По условию задачи надо образ не столько «удержать», сколько его видоизменить (преобразовать в новый), т. е. отвлечься от него, а это как раз и трудно для тех учеников, у которых возникают яркие образы. Таким образом, трудность в оперировании геометрическими образами по своему психологическому содержанию различна, что требует использования разных методических приемов (дидактических материалов) в целях ее выявления, индивидуальной коррекции.

Использование заданий на оперирование геометрическими образами должно, поэтому предваряться заданиями на их создание, поскольку механизм создания образа во многом определяет и механизм оперирования образом.

Традиционно в методике обучения геометрии чертеж считается основой такого механизма. Однако опора на него полезна не всегда и не всем ученикам. Используя его как костыли, ученики перестают работать методом «в воображении». И, кроме того, сам чертеж (в ходе решения задачи) выполняет далеко не однородную функцию. Недостаточно его иметь. Необходимо выполнять разнообразные действия по его переосмысливанию, мысленному видоизменению исходных данных, что является важным этапом на пути к переходу на оперирование образом по представлению, т.е. без зрительной опоры на чертеж.

4.2.1. Задания на мысленное видоизменение пространственного

положения исходного образа

Эти задания могут быть составлены на разном геометрическом материале (как планиметрии, так и стереометрии). Наиболее удобен для их разработки материал, излагающий знания о различных пространственных перемещениях: симметрия, параллельный перенос, повороты разных видов, гомотетия и др. Они широко используются в школьном курсе геометрии.

Эти задания характеризуются тем, что образ, уже созданный на чувственной основе (при опоре на словесное описание задачи, ее чертеж) подвергается преобразованиям, касающимся изменения только его пространственного положения.

Примеры таких заданий показывают, что при их выполнении необходимо сначала создать исходный пространственный образ, а затем мысленно его преобразовать по положению относительно исходного образа.

Пример 7: Четыре параллельные прямые пересекают параллельные плоскости в вершинах параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ соответственно. Докажите, что параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁ совмещаются параллельным переносом (рис. 8).

Р ешение: Так как плоскости параллельны и прямые параллельны, то АА₁ = ВВ₁ = СС₁ = DD₁. A₁D₁DA, B₁C₁CB, A₁B₁BC, C₁D₁DC – параллелограммы (для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, достаточно равенства и параллельности одной пары его сторон). Тем самым выполняются свойства параллельного переноса: точки смещаются по параллельным прямым на одно и тоже расстояние; каждая прямая переходит в параллельную ей прямую. Следовательно, параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁ совмещаются параллельным переносом.

4.2.2. Задания на мысленное видоизменение структуры

геометрического образа

Эти задания в отличие от предыдущих (см. 4.2.1) предполагают более сложные мыслительные преобразования исходного геометрического образа, затрагивающие его структурные изменения. Следить в «уме» за этими изменениями довольно трудно. К сожалению, в практике обучения, чтобы снять эту трудность ученикам рекомендуется использовать бумажные модели, позволяющие путем реальных манипуляций с ними, найти новую структурную конфигурацию. Конечно, такой методический прием облегчает многим ученикам выполнение этих заданий. Но использовать его как обязательный, по-видимому, не следует, так как он тормозит деятельность воображения.

Такие задания могут быть составлены на разном учебном материале, важно, чтобы они включали геометрические преобразования (поворот, осевую симметрию, параллельный перенос и т.п.).

Характеристики

Список файлов курсовой работы