112016 (616350), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Анализ ошибки: Школьник хотел использовать для решения задачи взаимнооднозначное соответствие, но при этом установил его неправильно. Верно замечено, что каждому четырехзначному числу соответствует ровно один четырехугольник. Для взаимнооднозначного соответствия еще требуется, чтобы каждому четырехугольнику соответствовало ровно одно число, а их 4!=24. О биекции и речи быть не может. К примеру, числам 1234, 2341, 3412, 4123, 4321, 3214, 2143, 1432 соответствует один и тот же четырехугольник «1234». Мало того, кроме выпуклых четырехугольников были подсчитаны самопересекающиеся «1342» и «1324» (это причина действия стереотипа, формирующегося в школе, так как школьники в основном работают только с выпуклыми фигурами), каждый из которых может быть представлен восемью различными четырехзначными числами.

Причина ошибки: ученик просмотрев лишь несколько четырехугольников, сопоставив ему четырехзначное число, сделал вывод о взаимнооднозначности двух множеств. Данная ошибка – своего рода аналог ошибки «замена прямой теоремы обратной ». Если проверена однозначность соответствия в одну сторону, то в обратную сторону соответствие автоматически считается однозначным. Это не верно. Примеры хорошо опровергают такие рассуждения.

Целые числа. Задания №3, 4.

§1.

Задача 1. Выяснить, какие из следующих утверждений верны, а какие – нет:

б) если a и b не делятся на 6, то a+b не делится на 6;

г) если a делится на 6, b не делится на 6, то ab не делится на 6;

д) если a делится на 6, b делится на 10, то ab делится на 60.

Рассуждения ученика: в решениях всех пунктов используется один и тот же метод. Утверждение проверяется лишь для конкретной пары чисел, удовлетворяющей условиям задачи. Результат проверки служит ответом.

Анализ ошибки: Выделим три случая: 1) при проверке для конкретной пары чисел утверждение неверно; 2) при проверке для конкретной пары чисел утверждение верно, но существуют пары чисел, при которых утверждение ложно; 3) при проверке для конкретной пары чисел утверждение верно и для остальных пар чисел оно также выполняется. Получается, что в первом и втором случаях утверждение неверное, а в третьем – верное. Ученики лучше всего действуют в первом случае, так как им легче оперировать конкретными числами. От них требуется лишь подобрать опровергающий пример. Если же все рассмотренные примеры подтверждают утверждение, но перебраны не все возможные случаи, что для бесконечного их множества просто невозможно, то нет гарантии, что это третий случай, а не второй. Поэтому требуются работать с классом чисел, в связи с этим возникают трудности представления в общем виде.

Все выше сказанное подтверждается в решениях школьников.

В пунктах б) и г) ученик находит пару чисел, при которых условие не выполняется, и делает правильный вывод, что утверждение не верно. В пункте д) также рассматривается одна или две пары a и b, для которых конечно же все справедливо. Делается вывод о выполнении утверждения для всех остальных чисел, то есть производится незаконное обобщение.

Стоит отметить следующий момент: в отличие от пунктов б) и г), где приводится одна пара чисел, в пункте д) ученики, как правило, рассматривают несколько пар чисел. Они понимают, что недостаточно рассмотрения конкретных чисел. Но рассмотреть все пары чисел невозможно, и они ограничиваются несколькими. Значит основная проблема состоит в переходе от конкретных чисел, обладающих определенным свойством, к классу, как объекту. Школьник не может представить класс в алгебраическом виде. Задача проверяющего – помочь ему в этом. На самом деле в методическом пособии приведено определение делимости, из которого можно понять, как представить класс чисел, делящихся на конкретное число, в общем виде. Конкретных примеров представления нет. Поэтому можно дать такой комментарий: «В пункте д) Вами был рассмотрен лишь частный случай. Выполнимость утверждения для всех оставшихся пар чисел (а их достаточно много) остается под вопросом. Чтобы проверить ее, необходимо рассуждать в общем виде. Скажем, число a, которое делится на 6 можно записать, как 6k, где k – некоторое целое число.»

Задача 2. Докажите утверждения:

г) если и , то .

д) если , то .

г) Рассуждения учеников: Так как , то либо либо . Дальше рассматриваются эти варианты и отдельно для каждого доказывается, что .

Анализ ошибки: Это типичный неполный перебор, рассмотрены не все варианты, а конкретно – не рассмотрен вариант, когда a и b не делятся на c. Ученик не учел случай, когда c представляется в виде произведения двух множителей, на один из которых делится a, на другой делится b. Причина ошибки – отождествление в сознании ученика делителя с простым числом и использование соответствующих свойств. Это обобщение свойств простого числа на все числа легко опровергается контрпримером: a=3, b=6, c=9. Понятно, что при этом , но ни a и ни b на c не делятся.

д) Рассуждения учеников: Так как и , то .

Анализ ошибки: В методическом пособии выделено несколько свойств делимости целых чисел. Одно из них формулируется следующим образом: если a и b делятся на c, то a+b и a-b делятся на c. Ученик воспользовался этим свойством, но неправильно, он его изменил: если c делится на a и на b, то c делится на a+b и на a-b (*). Причина в следующем: делимость – антисимметричное бинарное отношение. В школе ученики встречались лишь с равенством (симметричным отношением) и только начинают подробно изучать отношение порядка. Не удивительно, что они путают числа, которые делятся, и числа, на которые делятся. Единственное правило на первых этапах изучения делимости – внимательно применять свойства при решении задач. Для опровержения данного свойства (*) достаточно привести контрпример: 10 делится на 5 и на 2, но на 3 число 10 не делится. Для того, чтобы ученики лучше понимали суть делимости чисел и свойств, рекомендуется самостоятельно доказать некоторые из них, приведенные в пособии.

Задача 5-в. При каких n 3n²+2n+2 делится на 4n+3.

Рассуждения ученика: Так как , то и или .

Если n = – 1, то 4n+3 = – 1, и .

Если n = 0, то 4 – n не делится на 4n+3.

Если n=1, то 4 – n не делится на 4n+3.

Если n = 4, то .

Ответ: n = – 1.

Анализ ошибки: В рассуждениях нет логики, ученик рассматривает лишь некоторые n. Как обстоит дело с оставшимися числами – неизвестно. Это неполный перебор. Школьник пытался рассуждать по аналогии с примером, разобранном в методическом пособии ([9], с. 5), но не довел решение до конца, не сделав последний шаг: . Сейчас остается рассмотреть четыре случая 4n+3 = 19; 1; –1; –19. Других вариантов нет.

Задача 3. Докажите, что сумма 2n+1 последовательных натуральных чисел делится на 2n+1.

Рассуждения ученика:

1+2+3+…+(2n+1)=(1+2n+1)(2n+1)/2=(n +1)(2n+1) делится на 2n+1.

Анализ ошибки: Рассмотрен частный случай. На его основе проведено необоснованное обобщение выполнения свойства для всех остальных последовательностей. Хотя в данном случае рассуждения и будут аналогичные, но ведь это надо еще показать. Тем более, что можно привести пример, когда для нескольких частных случаев свойство выполняется, а в общем не верно.

Например: (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) делится на 120 при n=1, 2, 3, 4, а вот при n=5 выражение (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 6789 на 120 уже не делится.

Задача 4. Остаток от деления нечетного числа на 7 равен 2. Найдите остаток от деления этого числа на 14.

Рассуждения ученика: 9 = 7 1 + 2. 9 = 14 0 + 9. Остаток равен 9.

Анализ ошибки: Это типичная ошибка при решении задач на делимость: необоснованное обобщение. Ученик рассмотрел лишь одно число, удовлетворяющее условиям. При каком-то другом числе может получиться остаток, отличный от 9. Недостаточно найти правильный ответ, надо еще доказать , что все остальные будут неправильными.

В задачах на делимость есть два наиболее часто употребляемых метода решения:

1) разбиение общей задачи на несколько частных (дизъюнкция). При этом нужно следить за тем, чтобы все случаи (задачи) были разобраны. Если какой-то из них не рассмотрен, то метод теряет свою суть и решение считается неверным. Неполный перебор часто встречается в работах школьников.

2) решение в общем виде. Нелегко дается учениками, так как им легче оперировать с конкретными объектами. Этот метод хорош тем, что исключает потерю части решения. Большинство свойств доказывается именно в общем виде. При его использовании происходит абстрагирование, частные характеристики объектов не учитываются, рассуждения опираются на общие свойства данного класса объектов. Красота метода в том, что, работая с одним объектом, мы тем самым охватываем весь класс. Но это одновременное оперирование всеми объектами сразу и отталкивает детей с их конкретным мышлением. В действительности же, представив число в общем виде, он работает с ним, как с конкретным числом, ничего принципиально нового нет. Задачи на делимость – это благодатная среда для обучения абстрагированию: рассуждения в общем виде здесь не очень сложны и в то же время достаточно ярко показывают эффективность данного метода.

Чтобы ученик действительно понял преимущество решения в общем виде, разберем решение конкретной задачи двумя методами.

Задача: При делении на 5 число дает остаток 3. Какой остаток дает число при делении на 15?

1) Решение перебором. При делении на 15 могут получиться следующие остатки: 0, 1, …, 14. Если остаток равен

0: то при делении на 5 будет остаток 0 3;

1: то при делении на 5 будет остаток 1 3;

2: то при делении на 5 будет остаток 2 3;

3: то при делении на 5 будет остаток 3 = 3;

4: то при делении на 5 будет остаток 4 3;

5: то при делении на 5 будет остаток 0 3;

6: то при делении на 5 будет остаток 1 3;

7: то при делении на 5 будет остаток 2 3;

8: то при делении на 5 будет остаток 3 = 3;

9: то при делении на 5 будет остаток 4 3;

Характеристики

Список файлов курсовой работы