110482 (616246), страница 2

Файл №616246 110482 (Метод Галеркіна пошуку розв’язку лінійної крайової задачі) 2 страница110482 (616246) страница 22016-07-30СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для точного розв’язку у нашій крайовій задачі функція ; тому для отримання наближеного розв’язку, близького до точного, нам вигідно підібрати коефіцієнти так, щоб функція була в якомусь сенсі малою.

Згідно методу Галеркіна вимагаємо, щоб нев’язність була ортогональною до базисних функцій ( = 1, 2, . . . , n), що при достатньо великому числі цих функцій, в силу наведеного вище зауваження, забезпечує малість нев’язності в середньому.

Наскільки цей наближений розв’язок близький до точного, в загальному випадку питання залишається відкритим. Таким чином, для визначення коефіцієнтів ( = 1, 2, . . . , n) приходимо до системи лінійних рівнянь

або, більш детально,

(10)

( = 1, 2, . . . , n).

РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

2.1. Алгоритм методу

1. Визначаємо з даного диференціального рівняння другого порядку функції

.

2. Обираємо систему базисних функцій ( = 0, 1, . . . , n) так, щоб функція

задовольняла крайовим умовам: а функції ( = 1, 2, . . . , n) задовольняли б однорідним крайовим умовам

( = 1, 2, . . . , n).

3. Знаходимо ( = 0, 1, 2, 3, 4).

4. Використовуючи позначення

,

обраховуємо коефіцієнти системи:

( = 1, 2, . . . , n).

5. Виконуючи необхідні скорочення приходимо до системи з якої визначаємо ( = 1, 2, . . . , n) і отримуємо розв’язок вигляді:

.

2.2. БЛОК-СХЕМА АЛГОРИТМУ

Метод Галеркіна



Введення




Введення

( = 0, 1, . . . , n)



Ні


Так


Ні


Так



Обрахунок ( = 0, 1, 2, 3, 4)


Обрахунок

,



Обрахунок ( = 1, 2, . . . , n)






2.3. Тестовий приклад

Методом Галеркіна знайти наближений розв’язок рівняння,

, (11)

що задовольняє крайовим умовам

. (12)

Розв’язання:

Оберемо в якості системи базисних функцій ( 0, 1, 2, 3, 4) наступні тригонометричні функції:

, , , , .

Ці функції лінійно незалежні на відрізку , причому функція задовольняє крайовій умові (12), а інші функції – нульовим крайовим умовам. Будемо шукати розв’язок у вигляді

.

Знаходимо ( = 0, 1, 2, 3, 4):

,

,

,

,

,

.

Обраховуємо коефіцієнти системи (10), використовуючи наступні позначення:

, ,

і враховуючи при цьому ортогональність системи тригонометричних функцій

(1, ,

, , , . . .)

, ,

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, , , .

Виконуючи відповідні скорочення, приходимо до системи

з якої одержуємо , , . Таким чином маємо

.

В таблиці 1 наведено для порівняння значення отриманого наближеного розв’язку і точного розв’язку

Наближений і точний розв’язок задачі (11), (12)

Таблиця 1:

-

0

1.429

2

3.714

1.368

2

3.718

Приклад розв'язання крайової задачі методом Галеркіна в середовищі Mathcad


Постановка задачі:


Серед усіх функцій y(x), визначених на інтервалі [a;b] і задовольняючих крайовим умовам y(a)=0 і y(b)=0 потрібно знайти таку, яка задовольняла б диференціальному рівнянню p(x)y''+q(x)y'+r(x)y+k(x)=0


Вихідні дані:


Границі інтервала:




Функція p(x):



Функція q(x)



Функція r(x)



Функція k(x):



Розрахункові формули:


Алгебраїчні базисні функції:






Число членів у сумі Рітца





Формування систем лінійних алгебраїчних рівнянь метода Галеркіна для випадку алгебраїчних базисних функцій:


A_al_2:= [на дискеті, Галеркін.mcd]

Число членів у сумі Рітца




A_al_3:= [на дискеті, Галеркін.mcd]

Розв'язання задачі


Розв'язання систем рівнянь - визначення коефіцієнтів сум Рітца:


Номер останнього утримуваного члена суми Рітца




Алгебраїчні базисні

функції:





Задання кроку табулювання сум Рітца:



Побудова розв'язків у вигляді сум Рітца:


Алгебраїчні базисні функції:










Результати отримані за допомогою створеної програми

ВИСНОВОК

Математичне моделювання процесів і явищ в різних галузях науки і техніки є одним з головних способів отримання нових знань і технологічних рішень. В наш час коли життя людини вже майже неможливе без електронно-обчислювальної техніки, всі процеси автоматизуються, а задачі, які потребували деякого часу і зусиль тепер виконуються за лічені хвилини.

Чисельні методи один із напрямів розробки пошуку оптимальних розв’язків математичних задач та пошуку саме того методу, який би давав найбільш точний результат. Моя робота присвячена одному з методів пошуку розв’язку лінійної крайової задачі – методу Галеркіна. Даний метод досить зручний для пошуку розв’язку у вигляді аналітичного виразу.

В першій частині курсового проекту розглянута постановка задачі, в якій наведено опис методу. В математичній моделі описано безпосередньо сам метод Галеркіна та його основні принципи.

Друга частина мого курсового проекту починається з опису алгоритму методу Галеркіна для пошуку розв’язку лінійної крайової задачі. В алгоритмі містяться головні кроки пошуку розв’язку лінійної крайової задачі за даним мені методом. За цим алгоритмом наведений тестовий приклад, а також написана програма в середовищі Microsoft Visual C++, текст якої знаходиться в додатку А. До даного методу складена блок-схема алгоритму.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Капченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М: Наука, 1972. – 369 С.

2.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Физматгиз, 1960. - 659с.

3.Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512с.

4. Бахванов Н. С., Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Чисельные методы електронный вариант учебника.

5. Белашов В. Ю., Чернова Н. М. Эффективные алгоритмы и программы вычислительной математики. Магадан: СВКНИИДВОРАН, 1997. 160 с.

6. Культін Н.Б. Программирование в Turbo Pascal 7.0 и Delphi. – СПб: BHV- Санкт-Петербург, 1999. – 234с.

ДОДАТОК А

ТЕКСТ ПРОГРАМИ МОВОЮ Microsoft Visual C++

MainFrm.cpp

#include "StdAfx.h"

#include "example.h"

#include "MainFrm.h"

#ifdef _DEBUG

#define new DEBUG_NEW

#undef THIS_FILE

static char THIS_FILE[] = __FILE__;

#endif

IMPLEMENT_DYNCREATE(CMainFrame, CFrameWnd)

BEGIN_MESSAGE_MAP(CMainFrame, CFrameWnd)

END_MESSAGE_MAP()

static UINT indicators[] =

{

ID_SEPARATOR,

ID_INDICATOR_CAPS,

ID_INDICATOR_NUM,

ID_INDICATOR_SCRL,

};

CMainFrame::CMainFrame()

{

}

CMainFrame::~CMainFrame()

{

}

int CMainFrame::OnCreate(LPCREATESTRUCT lpCreateStruct)

{

if (CFrameWnd::OnCreate(lpCreateStruct) == -1)

return -1;

if (!m_wndToolBar.Create(this) ||

!m_wndToolBar.LoadToolBar(IDR_MAINFRAME))

{

TRACE0("Failed to create toolbar\n");

return -1;

}

if (!m_wndStatusBar.Create(this) ||

!m_wndStatusBar.SetIndicators(indicators,

sizeof(indicators)/sizeof(UINT)))

{

TRACE0("Failed to create status bar\n");

return -1;

}

m_wndToolBar.SetBarStyle(m_wndToolBar.GetBarStyle() |

CBRS_TOOLTIPS | CBRS_FLYBY | CBRS_SIZE_DYNAMIC);

m_wndToolBar.EnableDocking(CBRS_ALIGN_ANY);

EnableDocking(CBRS_ALIGN_ANY);

DockControlBar(&m_wndToolBar);

return 0;

}

BOOL CMainFrame::PreCreateWindow(CREATESTRUCT& cs)

{

return CFrameWnd::PreCreateWindow(cs);

}

#ifdef _DEBUG

void CMainFrame::AssertValid() const

{

CFrameWnd::AssertValid();

}

void CMainFrame::Dump(CDumpContext& dc) const

{

CFrameWnd::Dump(dc);

}

#endif

MainFrm.h

#if!defined(AFX_MAINFRM_H__9A49CF0A_0006_11D3_A7F6_F5D97F5F2E6D__INCLUDED_)

#define AFX_MAINFRM_H__9A49CF0A_0006_11D3_A7F6_F5D97F5F2E6D__INCLUDED_

#if _MSC_VER >= 1000

#pragma once

#endif

class CMainFrame : public CFrameWnd

{

protected:

CMainFrame();

DECLARE_DYNCREATE(CMainFrame)

public:

// Operations

public:

// Overrides

// ClassWizard generated virtual function overrides

//{{AFX_VIRTUAL(CMainFrame)

virtual BOOL PreCreateWindow(CREATESTRUCT& cs);

//}}AFX_VIRTUAL

// Implementation

public:

virtual ~CMainFrame();

#ifdef _DEBUG

virtual void AssertValid() const;

virtual void Dump(CDumpContext& dc) const;

#endif

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
15,86 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов курсовой работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6517
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее