86405 (612740), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

– довільна вершина графа . Побудуємо по індукції маршрут

обираючи вершину , суміжну з , а при обираючи вершину , суміж-ну з і відмінну від (існування такої вершини випливає з умови леми). Оскільки має скінченне число вершин, то врешті-решт ми прийдемо до вершини

, з якої вийшли. Отримаємо цикл

Лема доведена.

Теорема 2.1 Для зв’язного графа наступні умови еквівалентні:

1. - ойлерів граф;

2. кожна вершина має парний степінь;

3. множину ребер графа можна розбити на прості цикли.

Доведення.

Нехай - ойлерів цикл графа . Будемо рухатись по циклу

. Проходження кожної вершини збільшує степінь кожної вершини на 2, і оскільки кожне ребро входить в рівно раз , то будь-яка вершина має парний степінь .

Оскільки - зв’язний граф , степінь кожної вершини дорівнює принаймні 2; тому в силу леми 2.1 містить простий цикл

. Виключимо ребра циклу , отримаємо остовний підграф , в якому кожна вершина має парний степінь. Якщо немає ребер , то (3) доведено. В протилеж-ному випадку застосуємо проведені вище міркування до , отримаємо граф , в якому степені всіх вершин є парними і так далі. Одночасно з порожнім графом , отримаємо розбиття множини ребер на

циклів

Нехай множину ребер можна розбити на прості цикли. Нехай – один з простих циклів. Якщо складається тільки з цього циклу , то _{-ойлерів граф. В протилежному випадку існує інший простий цикл, який} має вершину

, спільну з . Ланцюг, який розпочинається з і складається з циклу і наступного за ним циклу , є замкненим ланцюгом, який містить всі ребра графа , кожне один раз . Отже , - ойлерів граф.

З теореми 2.1 випливає наступна теорема.

Теорема 2.2. Зв’язний граф є ойлеровим тоді і тільки тоді, коли кожна його вершина має парний степінь.

.

Рис.2.6. Приклад ойлерового графу в теоремі 2.2

Доведення. Граф зображений на рисунку 2.6. є ойлеровим, оскільки

1. Степінь вершин А, F, D, C, Q = 4(парні);

2. Степінь вершин B, E = 2(парні);

3. Множина ребер цього графа є об’ єднання двох простих циклів

і .

Теорема 2.3. Зв’язний граф є напівойлеровим тоді і тільки тоді , коли в ньому не більше двох вершин непарного степеня.

Рис. 2.7. Приклад напівойлерового графу до теореми 2.3

Доведення. Граф зображений на рисунку 2.7. є нпівойлеровим, оскільки

1. Степінь вершин А, F, C = 4(парні);

2. Степінь вершин B = 2(парна);

3. Степінь вершин E,D = 3(непарна);

4. Ось один з можливих варіантів обходу . Початковою точкою маршрута є точка , а кінцевою є точка .

Якщо граф має дві вершини з непарними степенями (див.рис.2.7), то для будь-якого напіойлерового ланцюга одна з цих вершин буде початковою, а дру-га кінцевою. Для доведення досить сполучити відрізком вершини з непарними степенями.

Зауважимо , що згідно з «лемою про рукостискання» - число вершин непарного степеня є парним.

Спробуємо для довільного графа вказати найменше число ланцюгів та-ких, що жодні два не мають спільних ребер і всі вони повністю накривають ра-зом весь граф. Очевидно, якщо на графі є таке сімейство ланцюгів , то кожна вершина непарного степеня повинна бути або початковою, або кінцевою вер-шиною якогось ланцюга. Загальне число вершин з непарним степенем згідно з лемою про рукостискання є парним, скажімо рівним . Таким чином, кожне сімейство ланцюгів, які накривають граф , повинно містити принаймні лан-цюгів.

Доведемо, що існування вершин з непарним степенем є і достатньою умовою існування ланцюгів, які накривають граф.

Теорема 2.4. На будь-якому зв’язному графі з вершинами непарного степеня існує сімейство ланцюгів, які в сукупності містять всі ребра графа в точності один раз кожне.

Доведення. Позначимо вершини з непарними степенями

Якщо ми додамо до нашого графу ребра

то всі вершини отриманого графа будуть парними і на ньому знайдеться ойле-рів цикл . При відкиданні доданих ребер цикл розпадеться на окремих ланцюгів , які містять всі ребра графа.

Граф , зображений на рисунку 2.8 має чотири вершини з непарним степе-нем і накривається двома ланцюгами і

Рис.2.8. Граф з непарним степенем вершин до теореми 2.4

В розважальній математиці ось уже впродовж декількох століть розгляд-даються задачі, які можна сформулювати як задачу пошуку певних маршрутів в графах, зокрема, пошуку ойлерових циклів.

Так, граф на рисунку 2.9. називається «шаблею Магомета», а ойлерів цикл необхідно побудувати за маршрутом, не відриваючи пера ручки від рисунку за одним разом ( тобто розчерком), викреслити фігуру, подану на рис.2.9.

Рис. 2.9. Ойлерів цикл в графі – «Шабля Магомета»

Більшість збірників математичних задач з розважальної математики містять задачі про лабіринти. Лабіринт складається з коридорів та їх перех-ресть. Отже , він може бути зображений графом, в якому ребра відповідають коридорам, а вершини – перехрестям.

Ойлеровим графом повинен бути і план огляду будь-якої виставки, і вздовж приміщень виставки потрібно розставити покажчики обходу таким шля-хом, щоб кожен експонат був оглянутий рівно один раз.

Рис.2.10. Застосування апарату ойлерових циклів при розв’язанні задач “маршрут виставки» [3]

Припустимо, що експонати розташовані з обох сторін шляху, який про-ходить територією виставки. Виявляється, що тоді, яким би не був відповідний граф ( або лишень він був зв’язний), можна провести відвідувача так, щоб кож-ний шлях був пройдений двічі - по одному разу в кожному напрямі (див.рис.2.10).

Теорема 2.5. В зв’язному графі існує орієнтований цикл, який проходить через ребро по одному разу в кожному з двох напрямів.

Доведення.

Сформулюємо загальне правило побудови ланцюга, який проходить взовж всіх ребер графа в точності по одному разу в кожному напрямі. Розпоч-немо з довільної вершини і пройдемо вздовж , відзначивши це ребро маленькою стрілкою в точці , яка показує вибраний напрям. Потім перехо-димо послідовно до інших вершин. Одній й ті ж вершини можна відвідувати і декілька раз. Кожного разу , потрапивши в якусь вершину, ми будемо ставити на відповідному ребрі стрілку, яка вказує напрям прибуття. Крім того, потрап-ляючи в якусь вершину вперше, ми як-небудь відзначимо вхідне ребро, щоб потім його можна було відрізнити від інших.

А₀

А₁

Рис.2.11. Граф до теореми 2.5 [3]

Виходячи з вершини , ми завжди будемо обирати ще невикористаний напрям: або ребро, по якому ми зовсім не проходили, або ребро помічене стріл-кою, яка вказує на те, що ми по ньому вже були. Домовимось також, що тільки тоді , коли у нас немає вибору, ми використаємо для виходу ребро, яким впер-ше прийшли в цю вершину.

Будемо продовжувати шлях до тих пір, коли це взагалі можливо .В кож-ній вершині є однакове число можливостей для входу і для виходу. Тому рух може закінчитися лише в точці . Залишається перевірити , що у всіх верши-нах всі ребра будуть пройдені в обох напрямах.

Для точки це ясно-всі ребра, які виходять , будуть використані, оскіль-ки в протилежному випадку ми могли б рухатися далі ; тому і всі ребра , які входять, також будуть використані, бо їх число дорівнює числу ребер, які ви-ходять. Зокрема, ребро буде пройдено в обох напрямках. Але це означає , що всі ребра , які інцидентні , також будуть пройдені в обох напрямах, бо перше ребро, яке входить в , ребро , за умовою, повинно використову-ватися для виходу лише в останню чергу. Теж саме міркування можна застосу-вати до наступного ребра і наступної вершини і так далі.

Отже, в усіх вершинах , які будуть досягнуті, всі ребра виявляться прой-деними в обох напрямах. Оскільки наш граф є зв’язним, це означає, що він буде повністю обійденим.

Зауважимо, що описаний метод обходу графа може бути використаний для розв’язання задач , пов’язаних з пошуками маршрутів виходу з лабіринтів.

2.3 Приклади ойлерових графів

Приклад 2.1.Задача про призначення на посаду

Нехай є кілька різних вакантних посад і група людей, які бажають їх зайняти, причому кожен із претендентів достатньо кваліфікований для кількох, але не для всіх наявних посад.

Чи можна кожному з цих людей надати одну з тих посад, які йому підло-дять?

Ми можемо знову проілюструвати цю задачу за допомогою деякого графа, що в даному випадку виглядає особливо. Як уже сказано, є певна група людей, яку ми позначимо як М і деяка множина посад, Р. Будуємо граф, проводячи ребра (м,р), що з’єднує кожну людину м з тими посадами р, які він може зайняти. На цьому графі не буде ребер, що з’єднують між собою дві вершини М чи Р, тому такий граф має вигляд, наведений на рис.2.12:

Рис.2.12. Граф для рішення задачі про призначення на посаду

Завжди знайти підходяще місце для кожного претендента ми не можемо: для цього необхідно, щоб посад було не менше ніж претендентів. Але цього недостатньо.

Нехай, наприклад, група претендентів складається з двох столярів і людини, яка може працювати і столяром і сантехніком, і для них є чотири посади: одне місце столяра і три місця сантехніка. Тоді, очевидно, один столяр залишиться без роботи, хоча в даному випадку місць більше ніж претендентів, і хоча серед претендентів є люди що можуть працювати на двох посадах.

Припустимо, що загальна кількість претендентів - N. Для виконання задачі повинна виконуватись наступна умова:

Яку б групу із k чоловік, k=1,2,...,N, ми не взяли, повинно бути принаймні k посад, кожну з яких може займати хоча б один із наших претендентів.

Наприклад, якщо один з людей є столяром, а другий - одночасно і столя-ром і сантехніка і якщо є два місця сантехніка, то наша умова виконується при k=2, але не виконується при k=1, тому вказані люди не можуть одночасно влаштуватися на роботу.

Виділену умову ми коротко назвемо умовою різноманітності.

Висновок: вищенаведена задача може використовуватись працівниками служби зайнятості для правильного розміщення працівників на посади.

Характеристики

Список файлов курсовой работы