86314 (612717), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Свойства

• Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. Т.е. для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.

• Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью его собственного подмножества, например

Z (множество целых чисел) = -3,-2,-1,0,1,2,3…;

N (множество натуральных чисел) = 1,2,3,4,5,6,7...;

0 ,1,-1,2,-2,3,-3… целых чисел столько же, сколько и натуральных

1,2, 3,4, 5, 6, 7…

• Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A мощнее A, или | 2^A | > | A | .

• С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.

Следуя Кантору, мощность множества называется кардинальным числом и обозначается мощность такого множества A через | A | (сам Кантор использовал обозначение ). Иногда встречается обозначение .

Мощность множества натуральных чисел обозначается символом («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность , таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются .

Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом c (continuum). Континуум-гипотеза утверждает, что .

Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: равенство, больше, меньше. Т.е. для любых множеств A и B возможно только одно из трёх:

1. | A | = | B | или A и B равномощны;

2. | A | > | B | или A мощнее B, т. е. A содержит подмножество, равномощное B, но A и B не равномощны;

3. | A | < | B | или B мощнее A, в этом случае B содержит подмножество, равномощное A, но A и B не равномощны.

Ситуация, в которой A и B не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).

Ситуация, в которой | A | > | B | и | A | < | B | , невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.

Два множества называются эквивалентными, если их элементы можно разбить на пары, так, чтобы вне этих пар не останется ни одного элемента из этих множеств.

Множество правильных положительных дробей содержит столько же элементов, сколько и натуральных чисел.

Глава 2. Операции над множествами

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

2.1 Сравнение множеств

множество элемент аксиоматический принадлежность

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:

.

Если и , то A называется собственным подмножеством В. Заметим, что . По определению .

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:

Теорема о сравнении множеств. Для любых множеств A и B существует одна и только одна из следующих возможностей: A = B, A B, A B.

2.2 Основные операции над множествами

Ниже перечислены основные операции над множествами:

• объединение:

• пересечение:

• разность:

• симметрическая разность:

• дополнение:

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (множество U, которое содержит A):

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Объединением двух множеств A B (рис. 2.2.1) – называется третье множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств A и B

Рис. 2.2.1

Пересечением множеств А∩В (рис 2.2.2), является множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам.

Рис 2.2.2

Разностью множеств A \ B = A – B (рис. 2.2.3) – называется такое множество, каждый элемент которого принадлежит множеству A, но не принадлежит множеству B.

Рис. 2.2.3

Симметрическая разность A B (рис. 2.2.4)

Рис. 2.2.4

Дополнение к множеству A называется множество всех элементов, не входящих в множество A (рис 3.2.5)

Рис. 2.2.5

2.3 Свойства операций над множествами

Пусть задан универсум U. Тогда для всех A,B,C U выполняются следующие свойства (табл. 2.3.1):

Свойства операций над множествами

В справедливости перечисленных свойств можно убедиться различными способами. Например, нарисовать диаграммы Эйлера для левой и правой частей равенства и убедиться, что они совпадают, или же провести формальное рассуждение для каждого равенства. Рассмотрим для примера первое равенство: A A = А. Возьмем произвольный элемент х, принадлежащий левой части равенства, х A A. По определению операции объединения имеем х A х A. В любом случае х A. Взяв произвольный элемент из множества в левой части равенства, обнаружили, что он принадлежит множеству в правой части. Отсюда по определению включения множеств получаем, что A A А. Пусть теперь х A. Тогда, очевидно, верно х A х A. Отсюда по определению операции объединения имеем х A A. Таким образом, А A A. Следовательно, по определению равенства множеств, A A = А. Аналогичные рассуждения нетрудно провести и для остальных равенств.

Докажем свойство дистрибутивности для операции объединения на диаграммах Эйлера-Венна (рис 2.3.1):

A (B C) = (A B) (A C)

Рис. 2.3.1

Глава 3. Аксиоматическая теория множеств

3.1 Наивная теория множеств

В начале XX века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность наивной теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наименее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств.

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза, или же её отрицание.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешенным.

3.2 Аксиомы теории множеств

Характеристики

Список файлов курсовой работы