86294 (612714), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Нехай — найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою (39), а — найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою вигляду (40). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;

(41)

. (42)

Доведення. Сплайн з ланкою вигляду (39) характеризується системою рівнянь

(43)

а сплайн з ланкою вигляду (40) — системою рівнянь

(44)

Надалі опускаємо індекс, який вказує на приналежність параметра до -ї ланки. Із системи (44) при _{матимемо}

_.

_{Подамо як , про логарифмуємо це рівняння і отримаємо}

_,

де . Тобто при рівняння із системи (44) зведене до рівняння із системи (43).

При рівняння із системи (44) має вигляд

.

Помножимо чисельник і знаменник цього рівняння на

.

Оскільки з умов теореми не дорівнюють нулю, то рівність досягається за умови, що

,

а це і є рівняння із системи (43) при .

Використовуючи метод математичної індукції, покажемо, що рівняння із системи (44) зводиться до рівнянь із системи (43) за довільних . Нехай це доведено для . Доведемо для . Рівняння із системи (43) при :

.

Для рівняння із системи (44) має вигляд

.

Про диференціюємо це рівняння і отримаємо

Перший доданок в квадратних дужках дорівнює нулю через рівність нулю останнього співмножника. Рівняння набере вигляду

.

Множник, який стоїть перед квадратними дужками, не дорівнює нулю з умов теореми, отже нулю дорівнює вираз у квадратних дужках. А це і є рівняння із системи (43). Отже, ми довели, що за довільних рівняння в системах (43) і (44) еквівалентні, а , значить, і системи рівносильні. Тому при , а .

Доведемо справедливість відношення (43) для похибок наближення. Оскільки системи (43) і (44) рівносильні, то точки, в яких досягається максимальні похибки, збігаються. Нехай точка , в якій досягається максимальна похибка наближення функції ермітовим сплайном з ланкою (39). Тоді похибка в цій точці дорівнює

.

Із цієї рівності випливає, що

.

У правій частині маємо відносну похибку наближення функції ермітовим сплайном з ланкою (40) на проміжку . Звідси . Теорема доведена.

За допомогою цієї теореми можна отримувати наближення ермітовим сплайном з ланкою (40) шляхом знаходження наближення ермітовим сплайном з простішою ланкою (39). Зокрема, наближення до функції ермітовим сплайном з ланкою вигляду зводиться до наближення функції ермітовим сплайном з ланкою . При цьому найбільша відносна похибка першого наближення виражається через найбільшу абсолютну похибку другого наближення.

Теорема 2. Нехай для функції при існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів з вузлами і ланками вигляду

(45)

Тоді для функції на проміжку з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів і ланками вигляду

(46)

Нехай — найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою (45), а — найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою вигляду (45). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;

(47)

. (48)

Доведення. В теоремі 1 до системи рівнянь (42) додається рівняння

, (49)

а до системи (43) рівняння

(50)

Для доведення цієї теореми для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів необхідно довести еквівалентність рівнянь (48) і (50). Для цього перепишемо (50) у вигляді

.

Про логарифмуємо і отримаємо

,

де із умови теореми 2 , а .Тобто рівняння (50) зведено до (49). Теорему доведено.

Властивість 1. Нехай при . Тоді

(51)

Доведення. Із теорем 1 і 2 випливає, що наближення функції на ермітовим сплайном з ланкою може бути знайдено через наближення функції на цьому проміжку ермітовим сплайном з ланкою . При цьому із формули (42) випливає, що максимальна відносна похибка першого наближення виражається через максимальну абсолютну похибку другого наближення

Із рівності похибок і формули (37) матимемо

.

Цей вираз справедливий для довільних , і проміжків лише в тому випадку, якщо підінтегральні вирази рівні між собою. Із їх рівності випливає вираз (51).

Тепер можна вивести аналітичний вираз для ядра похибки наближення ермітовим сплайном з ланкою (1). Ядро похибки наближення многочленом степеня має вигляд . Застосувавши формулу (52), отримаємо

. (52)

Для ермітового сплайна з експоненціальною ланкою (6) ядро матиме такий вигляд:

.

А для ланки (13)

5. Рівномірне наближення ермітовими сплайнами

Наближення функції ермітовим сплайном називаємо рівномірним наближенням з заданою похибкою , якщо , де - вага наближення, .

Алгоритм рівномірного наближення ермітовими сплайнами з заданою похибкою. Алгоритм не залежить від виду сплайна.

1. Будуємо ланку нелінійного ермітового сплайна на всьому інтервалі . Ліва границя права

2. Знаходимо похибку наближення .

3. Якщо , то наближення побудоване. Кінець.

4. Якщо , то зсуваємо праву границю інтервалу вліво, поки похибка на даному інтервалі не стане меншою від заданої похибки . Допустимо, що при -му зсуві границі вліво (т. )похибка рівна , а на попередньому кроці ( права границя ). Тоді можна знайти таку праву границю , при якій похибка буде як завгодно мало відрізнятися від заданої . Точку можна знайти одним із відомих способів, наприклад методом ділення відрізка навпіл або методом хорд.

5. Запам’ятовуємо границі ланки і параметри ермітового сплайна.

6. Лівою границею наступної ланки є права границя попередньої ланки. Правою границею можна завжди вважати т. , але можна також екстраполювати точкою де - довжина попередньої ланки.

7. Будуємо сплайн і знаходимо похибку.

8. Якщо , то переходимо до пункту 4.

9. Якщо і , то і переходимо до пункту 7. В протилежному випадку, при , запам’ятовуємо границі та параметри нелінійного ермітового сплайна. Рівномірне наближення з заданою похибкою знайдено.

Очевидно, що описаний алгоритм приводить до єдиного рішення, якщо наближувана функція і сплайн такі що функція похибки

,

є неспадною функцією від . Для цього достатньо, щоб ядро наближення при .

Із означення ермітового сплайна можна запропонувати інший алгоритм знаходження його параметрів. При (парна кількість параметрів) параметри визначаються із тих же рівнянь, що й у випадку фіксованих вузлів, до яких додаються рівняння для точки екстремуму і правої границі .

(53)

Потрібно знайти залежність від . Для деяких вузлів ланок ермітових сплайнів, а саме ланок у вигляді многочлена, відношення многочлена до лінійної функції, добутку степеневої і експоненціальної функцій, степеневого виразу від многочлена параметри сплайна знаходяться в аналітичному вигляді із перших чотирьох рівнянь системи (53).

Вони залежать від і значень функції та її похідної в цих точках. Коефіцієнти можна підставити в п’яте і шосте рівняння системи. В результаті система шести рівнянь з шістьома невідомими зводиться до системи двох рівнянь з двома невідомими :

(54)

Система (54) є системою трансцендентних рівнянь. Її можна розв’язати, використовуючи відомі наближені методи знаходження коренів трансцендентних систем.

Висновки

В багатьох технічних задачах використовується кускова апроксимація однозначних функцій. Застосування у такій задачі нелінійних виразів з метою наближення викликає труднощі через відсутність ефективних алгоритмів для визначення їх параметрів. Для цієї задачі є зручними кускові наближення (сплайн-наближення). У роботі наведений приклад побудови ермітового сплайна з експоненціальною і многочленною ланками. Оскільки похибка ермітового сплайна з експоненціальною ланкою в деяких випадках є меншою, ніж у многочленного ермітового сплайна, то їх доцільно застосовувати для наближення функцій. Також побудовано алгоритми рівномірного наближення ермітовими сплайнами.

Викладацька практика

1.10.2009 – 3 пара.

Лекція з курсу "Теорія масового обслуговування".

Тема: "Потоки Пальма".

Заняття проводилось для груп СІМ51 магістри і спеціалісти.

2.10.2009 – 1 пара.

Лабораторна робота з курсу "Чисельні методи".

Тема: "Однокрокові методи чисельного розвязування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь"

Заняття проводилось для групи ПМ41.

2.10.2009. – 3 пара.

Практичне заняття з курсу "Теорія масового обслуговування".

Тема: "Найпростіший потік"

Заняття проводилось для груп СІМ51 магістри і спеціалісти.

Опис програми

Програма Hermit’s spline шукає балансне наближення функцій ермітовими сплайнами. Головне вікно програми розділене на дві частини: ліву і праву. У лівій частині є три закладки: перша призначена для виводу результатів програми, друга для виводу графіків функції і сплайну; третя для виводу графіку похибки наближення. У правій частині є поля для вводу меж інтервалу і похибки. Також є перемикачі для вибору виду сплайна і функції.

Характеристики

Список файлов курсовой работы