86283 (612711), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

звідки треба

отже

.

Так як, відповідно до умови ^{b ≠ 0, то з останньої нерівності треба, що для всіх n > N елементи послідовності {уn} не рівні 0, значить саме із цього номера N можна визначити послідовність}

^{xn = a + αn}

^{уn = b + βn, отже}

^{позначимо γn = αпb – aβn, γn елемент нескінченно малої послідовності.}

,

а тоді з останньої рівності, треба

,

звідки

^{3.Приклади знаходження меж послідовності}

^{Числова послідовність задана загальним членом xп, розглянемо його:}

при знаходженні такої межі говорять, що будемо розкривати невизначеність виду .

при знаходженні такої межі, говорять, що будемо розкривати невизначеність виду .

Для розкриття невизначеності ділимо чисельник і знаменник на найбільший ступінь n.

Таким чином, має місце правило:

Межа відносини двох багаточленів дорівнює нескінченності, якщо ступінь чисельника більше ступеня знаменника, нулю, якщо ступінь чисельника менше ступеня знаменника й відношенню коефіцієнтів при старших членах, якщо ступеня чисельника й знаменника рівні.

Для спрощення задачі знаходження межі послідовності, вищевказаного виду, ми вдаємося до допомоги теореми Штольца.

4.Теорема Штольца

^{Для визначення меж невизначених виражень типу часто буває корисна наступна теорема, що належить Штольцу (O. Stolz).}

^{Теорема: Нехай варіанта , причому – хоча б починаючи з деякого місця – зі зростанням п і уп зростає: тобто уп+1 > yn. Тоді}

^{якщо тільки існує межа праворуч (кінцевий або навіть нескінченний).}

^{Доказ: Допустимо спочатку, що ця межа дорівнює кінцевому числу L:}

^{Тоді по будь-якому заданому найдеться такий номер N, що для n > N буде}

^або

^.

^{Виходить, яке б n > N не взяти, всього дробу}

^{лежать між цими границями. Тому що знаменники їх, через зростання уп разом з номером п, позитивні, то між тими ж границями втримується й дріб}

^{чисельник якої є сума всіх чисельників, написаних вище дробів, а знаменник - сума всіх знаменників. Отже, при n > N}

^{запишемо тотожність}

^звідки

^.

^{Другий доданок праворуч, як ми бачили вище, при n > N стає < .}

^{Перший же доданок, через те, що, також буде < , скажемо, для n > N’. Якщо при цьому взяти N’ > N, то для n > N’ очевидно}

^,

^{що й доводить наше твердження.}

^{Випадок нескінченної межі приводиться до вище розглянутого. Нехай, наприклад,}

^{Звідси, насамперед, випливає, що (для досить більших n)}

^{отже, разом з уn і , причому варіанта хп зростає зі зростанням номера п. У такому випадку, доведену теорему можна застосувати до зворотного відношення :}

^{(тому що тут межа вже кінцева), звідки й треба, що}

^,

^{що й було потрібно довести.}

^{5. Приклади на застосування теореми "Штольца"}

^{1. Обчислити}

Установимо одну допоміжну нерівність (нерівність Як. Бернуллі):

якщо п - натуральне число, більше одиниці, і ?>1, те

(*)

Дійсно, поклавши ? =1+?, де ? > 0, по формулі Бінома Ньютона будемо мати:

тому що ненаписані члени позитивні, те

,

що рівносильне нерівності (*).

так само й у нашій задачі, поклавши а = 1+?, так що ? > 0, маємо по формулі Бінома Ньютона

.

Тому що для n > 2, мабуть, , те остаточно,

При k = 1, одержуємо відразу

так що

Тому що цей результат вірний при будь-якому а > 1, те, взявши k > 1, можемо затверджувати (принаймні, для досить більших n)

так що

(а > 1).

Доведений, таким чином, для k = 1, цей результат тим більш буде вірний і для k < 1.

Цей результат за допомогою теореми Штольца виходить відразу

^{2. Застосуємо теорему Штольца до доказу наступної цікавої пропозиції (Коші):}

^{Якщо варіанта ап має межа (кінцева або нескінченний), то та ж межа має й варіанта}

^{(«середнє арифметичне» перших п значень варіанти ап).}

^{Дійсно, думаючи по теоремі Штольца}

^маємо:

^{Наприклад, якщо ми знаємо, що , те й}

^{3. Розглянемо тепер варіанту (уважаючи до - натурального)}

^,

^{яка представляє невизначеність виду .}

^{Думаючи в теоремі Штольца}

^{будемо мати}

^АЛЕ

^{так що}

^{використовуючи наступне твердження}

^,

^{Другий множник тут має кінцева межа . Якщо ступеня багаточленів рівні k = l, то межа відносини багаточленів дорівнює межі відносини коефіцієнтів при старших ступенях багаточленів.}

^{Якщо k < l, то розглянуте відношення прагне до}

^{Якщо k > l, то розглянуте відношення прагне до}

^{у підсумку ми одержуємо}

^{Висновок}

^{У даній роботі ми розглянули теорему Штольца і її застосування на практиці. Розглянуті приклади показують, що дана теорема в достатній мері полегшує процес знаходження меж невизначених виражень} , допомагаючи обчислити шукану межу, не прибігаючи до допоміжних нерівностей.

Список літератури

1. Г.М. Фихтенгольц. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К., 2004

2. Б.П. Демидович. Збірник задач і вправ по математичному аналізі. - К., 2001

3. Л.Д. Кудрявцев. Курс математичного аналізу, т. 1. - К., 1998.

Характеристики

Список файлов курсовой работы