86251 (612696), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Теорема 5:

^{Если последовательности {xn} и {уn} сходятся к числам а и b соответственно, и если b ≠ 0, предел частного} существует, конечен и равен частному пределов.

Доказательство:

Т.к. последовательность ^{{уn} сходится к b, то по определению сходящейся последовательности, для любого ε > 0, найдётся N(ε), такой что для всех n > N, будет выполнятся неравенство |b – yn|< ε.}

^{Тогда положив} , видим, что

,

откуда следует

следовательно

.

Т.к., согласно условию ^{b ≠ 0, то из последнего неравенства следует, что для всех n > N элементы последовательности {уn} не равны 0, значит именно с этого номера N можно определить последовательность}

^{xn = a + αn}

^{уn = b + βn, следовательно}

^{обозначим γn = αпb – aβn, γn элемент бесконечно малой последовательности.}

,

а тогда из последнего равенства, следует

, откуда

^{Характерные примеры нахождения пределов последовательности}

^{Числовая последовательность задана общим членом xп, рассмотрим его:}

при нахождении такого предела говорят, что будем раскрывать неопределённость вида .

при нахождении такого предела, говорят, что будем раскрывать неопределенность вида .

Для раскрытия неопределённости доделим числитель и знаменатель на наибольшую степень n.

Таким образом, имеет место правило:

Предел отношения двух многочленов равен бесконечности, если степень числителя больше степени знаменателя, нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя и отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя равны.

Для упрощения задачи нахождения предела последовательности, вышеуказанного вида, мы прибегаем к помощи теоремы Штольца.

Теорема Штольца

^{Для определения пределов неопределённых выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу (O. Stolz).}

^{Теорема: Пусть варианта , причём – хотя бы начиная с некоторого места – с возрастанием п и уп возрастает: т.е. уп+1 > yn. Тогда}

^{если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).}

^{Доказательство: Допустим сначала, что этот предел равен конечному числу L:}

^{Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n > N будет}

^или

^.

^{Значит, какое бы n > N ни взять, все дроби}

^{лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания уп вместе с номером п, положительны, то между теми же границами содержится и дробь}

^{числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n > N}

^{запишем тождество}

^откуда

^.

^{Второе слагаемое справа, как мы видели выше, при n > N становится < .}

^{Первое же слагаемое, ввиду того, что, также будет < , скажем, для n > N’. Если при этом взять N’ > N, то для n > N’ очевидно}

^,

^{что и доказывает наше утверждение.}

^{Случай бесконечного предела приводится к выше рассмотренному. Пусть, например,}

^{Отсюда, прежде всего, вытекает, что (для достаточно больших n)}

^{следовательно, вместе с уn и , причем варианта хп возрастает с возрастанием номера п. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению :}

^{(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что}

^,

^{что и требовалось доказать.}

^{Рассмотрим несколько примеров на применение данной теоремы}

^{1. Вычислить}

Установим одно вспомогательное неравенство (неравенство Як. Бернулли):

если п – натуральное число, большее единицы, и γ>1, то

(*)

Действительно, положив γ =1+λ, где λ > 0, по формуле Бинома Ньютона будем иметь:

так как ненаписанные члены положительны, то

,

что равносильно неравенству (*).

так же и в нашей задаче, положив а = 1+λ, так что λ > 0, имеем по формуле Бинома Ньютона

.

Так как для n > 2, очевидно, , то окончательно,

При k = 1, получаем сразу

так что

Так как этот результат верен при любом а > 1, то, взяв k > 1, можем утверждать (по крайней мере, для достаточно больших n)

так что

(а > 1).

Доказанный, таким образом, для k = 1, этот результат тем долее будет верен и для k < 1.

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу

^{2. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения (Коши):}

^{Если варианта ап имеет предел (конечный или бесконечный), то тот же предел имеет и варианта}

^{(«среднее арифметическое» первых п значений варианты ап).}

^{Действительно, полагая по теореме Штольца}

^имеем:

^{Например, если мы знаем, что , то и}

^{3. Рассмотрим теперь варианту (считая к – натуральным)}

^,

^{которая представляет неопределённость вида .}

^{Полагая в теореме Штольца}

^{будем иметь}

^НО

^{так что}

^{используя следующее утверждение}

^,

^{Второй множитель здесь имеет конечный предел . Если степени многочленов равны k = l, то предел отношения многочленов равен пределу отношения коэффициентов при старших степенях многочленов.}

^{Если k < l, то рассматриваемое отношение стремится к}

^{Если k > l, то рассматриваемое отношение стремится к}

^{в итоге мы получаем}

^{Заключение}

^{В данной работе мы рассмотрели теорему Штольца и её применение на практике. Рассмотренные примеры показывают, что данная теорема достаточной мере облегчает процесс нахождения пределов неопределённых выражений} , помогая вычислить искомый предел, не прибегая к вспомогательным неравенствам.

Список литературы

1. Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, М., 1969.

2. Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1977.

3. Л.Д Кудрявцев, Курс математического анализа, т. 1, М., 1988.

Характеристики

Список файлов курсовой работы