86188 (612677), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Доказательство: в двоичной записи каждая точка единичного отрезка может быть записана в виде

Такая запись единственна, за исключением чисел вида .А числам такого вида соответствуют в точности две записи (у одной, начиная с некоторого номера, все цифры равны нулю, а у другой – все единицы). Для всех точек, за исключением точек вида , установим соответствие так:

А так как множество точек вида счетно, то счетным множеством является также множество последовательностей, им соответствующих. Следовательно, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие и тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и множеством последовательностей, составленных из нулей и единиц, т. е. множество точек отрезка имеет мощность континуума.

2. Замкнутые и открытые множества

Пусть задано множество .

Точка называется предельной точкой множества , если из того, что и , следует, что .

Предельная точка может принадлежать и не принадлежать , но если все предельные точки принадлежат , то множество называет­ся замкнутым.

Таким образом, множество замкнуто, если из того, что и , следует, что .

Пустое множество считается замкнутым.

Пример 1. Пусть есть функция, определенная и непрерывная на и — любое число.

Множества 1) , 2) , 3) замкнуты.

Доказательство в случае 1). Пусть и ; тогда и . Но тогда и , т.е. .

Пример 2. Шар V= есть замкнутое множество в силу

примера 1, потому что функция определена и непрерывна на .

Отметим, что если — замкнутое множество, то — открытое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то в существовала бы точка ,которая не есть внутренняя точка . Выходит, что, каково бы ни было натуральное число , должна найтись точка , для которой

Мы получили бы последовательность точек , . Но по условию замкнуто, и потому . Мы получили противоречие с тем, что предполагалось, что .

Обратно, если — открытое множество, то — замкнутое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то нашлась бы последова­тельность точек , и . Но — открытое множество, и можно покрыть шаром с центром в ней, полностью при­надлежащим . Получилось противоречие с тем, что любой такой шар содержит точки .

Пример 3. Пусть — непрерывная функция. 1) множество замкнуто, а открыто. 2) множество замкнуто, а открыто.

Если задано произвольное непустое множество , отличное от , то можно представить в виде суммы трех непересекающихся попарно множеств:

,

где — совокупность внутренних точек — это открытое ядро , — совокупность внутренних точек — это открытое ядро , — совокупность точек, каждая из которых не есть внутренняя для , но и не есть внутренняя для . Такие точки называются граничными точками , а называется границей ; открыто, открыто, + тоже открыто, = замкнуто.

Таким образом, граница есть замкнутое множество.

Любую граничную точку множества можно определить как такую точку , что любой шар с центром в ней содержит как точки , так и точки . Сама точка может принадлежать и не принадлежать .

Пустое множество считается одновременно замкнутым и открытым.

Любое из множеств , входящих в теоретико-множественную сумму (1), может оказаться пустым.

Пример 4. Пусть ; тогда , — открытое ядро , — открытое ядро , — граница (не принадлежит ).

Пример 5. — множество точек с рациональными координатами. — открытое ядро — пустое множество, — открытое ядро — пустое множество, — граница .

В следующих двух теоремах устанавливаются основные свойства замкнутых множеств. При этом рассматриваются множества, содержащиеся в одном и том же метрическом пространстве .

Теорема 1. Сумма конечного числа замкнутых множеств также – замкнутое множество.

Доказательство. Так как сумму любого конечного числа множеств можно образовать последовательным прибавлением по одному множеству, то достаточно доказать теорему для суммы двух множеств.

Пусть и - замкнутые множества, и . В последовательности существует бесконечная частичная последовательность , состоящая целиком из точек одного из данных множеств, например . Но тоже стремится к , и так как замкнуто, то , а потому .

Теорема 2. Пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто.

Доказательство. Пусть и все замкнуты. Если и , то все при любом , а потому и при любом . Следовательно, , и замкнуто.

В дальнейшем важную роль будет играть операция замыкания произвольного множества , заключающаяся в присоединении к множеству пределов всех сходящихся последовательностей его точек. Получаемое таким образом множество обозначается и называется замыканием множества .

В замыканием интервала , будет отрезок . Однако в произвольном метрическом пространстве для замыкания открытого шара имеет место лишь включение , но равенство вовсе не обязательно.

Лемма 1: всякая точка представима в виде , где .

Лемма 2: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы, каково бы ни было , существовала такая точка , что .

Теорема 3. Замыкание любого множества замкнуто.

Теорема 4. Замыкание есть наименьшее замкнутое множество, содержащее .

Пусть . Если к множеству добавить все его предельные точки, то получим множество, называемое замыканием и обозначим его так: .

У замкнутого множества предельных точек, не принадлежащих ему, нет. В самом деле, любая точка есть внутренняя точка множества . Таким образом, если — замкнутое множество, то .

Точка называется точкой сгущения множества M, если в каждой ее окрестности содержится хоть одна точка множества M, отличная от .

Точки сгущения для открытой области, не принадлежащие ей, называются пограничными точками этой области. Пограничные точки в их совокупности образуют границу области. Открытая область вместе с границей называется замкнутой областью. Напомню, что открытой областью называется множество, целиком состоящее из внутренних точек.

3. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве

Пусть функция задана на множестве . Говорят, что она не­прерывна в точке на множестве , если для любой последовательности точек , сходящейся к .

Заметим, что согласно данному определению любая функция, опре­деленная на , непрерывна в изолированных точках .

Точка называется изолированной, если существует шарик с центром в , не содержащий в себе других точек , кроме . Поэтому если задано, что и , то это может быть, лишь если для некоторого будет для всех , но тогда

. (1)

Если функция , определенная на , непрерывна в любой точ­ке , то говорят, что непрерывна на .

Докажем две теоремы, выражающие замечательные свойства функ­ций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве; они обобща­ют соответствующие свойства непрерывных функций от одной перемен­ной, заданных на отрезке.

Теорема 1. Функция , непрерывная на замкнутом ограни­ченном множестве , ограничена на нем.

Доказательство. Допустим, что она не ограничена на ; тогда для любого натурального к найдется такая точка , что

(2)

Полученная последовательность ограничена. Из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке Вследствие замкнутости точка принадлежит , а в силу непрерывности в на , и мы получили противоречие с неравенствами (2).

Теорема 2. Функция , непрерывная на замкнутом огра­ниченном множестве , достигает на нем своего максимума и минимума.

Доказательство. Из предыдущей теоремы известно, что ограничена на . Поэтому она имеет на конечные точные нижнюю и верхнюю грани:

Из свойства верхней грани следует, что для любого натурального най­дется точка такая, что

(3)

Полученная последовательность ограничена, и потому из нее мож­но выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . В силу замкнутости точка принадлежит , и в си­лу непрерывности на . С другой стороны, из (3) следует, что этот предел должен равняться числу . Но тогда

.

Аналогично доказывается существование точки , в которой достигает минимума на :

.

Рассмотрим снова пока произвольное множество и опреде­ленную на нем не обязательно непрерывную функцию , но ограничен­ную на . Зададим число и введем величину

, (4)

называемую модулем непрерывности на множестве . В правой части (4) взята точная верхняя грань абсолютных величин разностей значений , соответствующих всевозможным парам точек , отстоящих друг от друга на расстоянии, меньшем .

Модуль непрерывности есть функция от , очевидно, неотрицатель­ная. Она не убывает, потому что если , то

Поэтому существует предел

(5)

Введем определение.

1) Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если ее модуль непрерывности на стремится к нулю при , т.е.

(6)

Приведем другое эквивалентное определение.

Характеристики

Список файлов курсовой работы