86121 (612655), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

является аналитической функцией (по теореме Вейерштраса) в области ReS >.

Из представления (2.5) следует теперь, что L (S, x) есть аналитическая функция в полуплоскости ReS >, а ввиду произвольности S – и b полуплоскости ReS > 0.

Следствие. Пусть (n) – произвольный характер. Тогда в области ReS > 1 справедливо равенство

(2.7)

Это следует из того, что ряд (2.1) по доказанному равномерию сходится в области ReS>1+, где >0. Следовательно, по теореме Вейштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций в этой области ряд (2.1) можно почленно дифференцировать

Поэтому в полуплоскости ReS>1+ выполняется равенство (2.7). Так как в этом рассуждении -любое положительное число, то равенство (2.7) будет справедливо в полуплоскости ReS>1.

Для L-функций имеет место представление в виде бесконечного произведения по простым числам, аналогичное тождеству Эйлера. Рассмотрим вспомогательную Лемму.

Лемма 5. Пусть функция f(n) вполне мультипликативна и ряд

(2.8)

абсолютно сходится. Тогда выполняется равенство

(2.9)

Доказательство. Отметим прежде всего, что /f(n)/<1 при любом натуральном n>1. В противном случае при каждом m

/f(n)^m/=/f(n)/^m1,

что противоречит сходимости ряда (2.6). Поэтому при каждом простом р ряд

абсолютно сходится, и его сумма как сумма бесконечно убивающей геометрической прогрессии равна (1-f(р))^-1. Кроме этого, в силу абсолютной сходимости, ряды можно перемножить. Перемножая конечное число таких рядов и используя то, что f(n) есть вполне мультипликативная функция, получим

где n_e = p … ps и в сумме в правой части равенства содержатся такие и только такие слагаемые f(n_e), что все просты делители n_e не превосходят х. Следовательно, в разности

остаются те и только те слагаемые f(m_e), для которых у числа m_e имеется хотя бы один простой делитель р>x. Тогда оценим разность

/S-S(x)/

и из абсолютной сходимости ряда (2.8) следует, что

Это доказывает, что бесконечное произведение (2.7) сходится и выполняется утверждение Леммы.

Лемма 6. Для каждого характера (n) в области ReS > 1 справедливо представление

Доказательство. Эта лемма является следствием Леммы 5, поскольку функция (n) вполне мультипликативна, то есть (АВ)= (А) (В), и выполняется неравенство /(n)/ 1 по теореме 1.

Следствие 1. В области ReS > 1 для главного характера ₁(n) по модулю m справедливо равенство

(2.10)

и поэтому функция L (S, ₁) может быть аналитически продолжена в область ReS > 0, где она имеет единственный полюс (первого порядка) в точке S=1.

Действительно, по определению главного характера ₁(n) имеет место равенство

Поэтому

Пользуясь теперь тождеством Эйлера для дзета-функции Римана получаем равенство (2.10). Остальные утверждения легко следуют из этого равенства, поскольку дзета-функция является аналитической в области ReS > 0 с единственным полюсом первого порядка в точке S = 1.

Следствие 2. Для каждого характера функция L (S, x) не обращается в нуль в области ReS > 1.

Доказательство.

Если = ReS > 1. то

Пользуясь неравенством для дзета-функции Римана, находим

Получаем:

L (S,) ≥ > 0

Теперь докажем утверждения, что L – функция, соответствующая неглавному характеру , точке S =1 отлична от нуля.

Теорема 2. Если – неглавный характер, то L (1, )≠0

Для доказательства рассмотрим 2 случая

1. Пусть характер – комплексное число, не является действительным. Тогда характер ²(n) не является главным. В этом случае доказательство теоремы будет основываться на тех же идеях, что и доказательство отсутствия нулей дзета – функции на прямой ReS=1.

Лемма7. Пусть 0<ч<1, а х – действительное число, тогда выполняется неравенство /(1 – ч)³ (1 – че^ix)⁴ (1 – че^2ix)/^-1 ≥ 1

Доказательство.

Для всех z из круга /z/<1 имеет место расположение

– ln (1 – z) = (2.11)

Так как ln(t) = Re lnt, то обозначая М (ч φ), левую часть неравенства (2.11), получим

lnM (ч φ) = 3ln (1 – ч) – 4 ln (1 – чеⁱ⁴) – ln (1 – че²ⁱ⁴) = – 3ln (1-ч) – 4Reln/1 – чеⁱ⁴/ – Reln/1 – че²ⁱ⁴/= rc (3+4e)^inl /1-reⁱ⁴/= (3+4cosnl+2cos2nl)= (2+4cos+1+cos2)= 1 (1+cos)²0

ln=M (r, l)=0

Следовательно, M (r, l)=1 доказана.

Из леммы 7 следует, сто при любом действительном S>1 выполняется равенство:

|L³(8, ₁) L⁴(S, ) 4 (S, ⁴) 1 = П (1- )³(1- )⁴(1- )|^-1 (2.12)

Получая в лемме ч = р^-s, т.е.

0< ч = ₁(р)<1

0< р^-s <1

(р) р^-s = чеⁱ⁴, в силу того что (р) – комплексное

(р) р^-s = че²ⁱ⁴

Получаем, что каждый сомножитель в правой части равенства (f) не меньше 1 и, следовательно, при любом S>1 выполняется равенство:

|L³(S₁) · L⁴(S) L (S²)| ≥ 1 (2.13)

Допустим, что для некоторого характера (²≠₁) выполняется равенство

L (1, ) = 0 (2.14)

Оценим сверху левую часть неравенства. Из оценки дзета-функции Римана

ξ(S) ≤ , следует, что при S € R, S>1 выполняется неравенство

а) 0 < 4 (S, ₁) =

получили 01)≤

б) Функция L (S, ) разложим в ряд Тейлора

L (S, ) = C_p + C₁ (S – 1) + C₂(S – 1)² +… + C_n(S – 1)ⁿ +…

Предположим, что у нее есть нуль L (1, ) = 1; тогда С₀ = 0

Перепишем разложение L – функции в ряд

L(S) = C_к (S – 1)^к + С_к+1(S – 1)^к+1 = (S – 1)¹ (C_к + С_к+1(S -1) +….), где к≥1, С_к ≤ 0, т. к. S>1

| L (S, )| = |S – 1|^k| C_k + C_k+1(S – 1) +….| ≤ 2 C_k|S – 1)^k, при |S – | < r

Функция L (S, ²) в точке S = 1 не имеет полюса, следовательно не имеет особенности. Это в силу того, что комплексное и ²≠₁

Получаем неравенство:

L (S, ²) ≤ C,

При условии | S – 1|< δ

Учитывая все неравенства и оценки

| L³ (S, ) L⁴(S, ) L (S, ²)| = ( )³ · 2⁴ |C_k|⁴ (S – 1)^4k· C≥1

Следовательно, это неравенство становится противоречивым, если перейти к пределу при S→1+0. Полученное противоречие показывает, что равенство (2.14) не выполняется.

2. Рассмотрим – вещественный характер, т.е. принимающий только вещественные значения, несовпадающий с главным характером

Лемма 8. Пусть – вещественный характер.

Рассмотрим функцию

F(S) = ξ(S) L (S, x) (2.15)

Докажем, что если Re S>1, то

(2.16)

представляется рядом Дирихле, которого справедливы следующие утверждения:

1) Все коэффициенты а_n ≥ 0

2) при n=k², k € / N(N)/ а_n≥1

3) В области ReS<1 можно почленно дифференцировать, то есть

F ^(k) (S)= (-1)^k(ln n)^k k=1,2…; (2.17)

4) Ряд (1) в точке S=1/2 расходится.

Доказательство. В области ReS > 1 ряды, определяющие функции S(S) и L (S,), абсолютно сходятся, поэтому их можно перемножить:

где

(2.19)

Пусть - расположение числа n в произведение простых сомножителей. Тогда все натуральные делители l числа n имеют вид

поэтому из равенства (14) находим, что

где a_{ni =} 1+ (p_i)+ … +^Li (p_i), i=1,…, m (2.21)

так как – вещественный характер, то он может принимать только три значения: 0, 1, -1. Из равенства (2.21) следует, что

(2.22)

Во всех случаях числа a_ni0, а значит, и a_n=a_n1 … a_nm0

Если же число п является полным квадратом, то

N=k²=p_/² … p_m ^2,

и из равенств (2.20) и (2.22) следует, что а_n 1

При любом > 0 в области ReS> 1 + выполняется неравенство

Ряд (2.18) сходится в области ReS > 1. Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд (2.16) сходится равномерно в области ReS > 1 + , а по теореме Вейерштрасса его можно в этой области почленно дифференцировать любое число раз. Следовательно, в области ReS > 1 + выполняется равенство (2. 17), а в силу произвольности оно выполняется и в области ReS > 1.

Однако ряд (39) расходится, так как по второму утверждению леммы

Ряд (2.16) при S = имеет неотрицательные члены. Поэтому, если бы он сходился, то также сходился бы ряд

(2.23)

Следовательно, ряд (2.23) расходится. Лемма доказана.

Переходим непоредственно к доказательству второго случая теоремы. Допустим, что L (1,) = 0. Тогда полюс дзета-функции будет компенсироваться в произведении S(S) L (S, ) нулем функции L (S, ).

Поэтому функция (2.15) F(S) будет аналитической в области ReS > 0 так как в точке S=1 у F() – устраненная особая точка. Следовательно, ее можно разложить в ряд Тейлора в точке S = 2:

(2. 24)

радиус сходимости которого не меньше 2 R2/

Из равенств (2.17), в частности S=2, находим

(2.25)

В радиусе сходимости будет брать не все S, а только вещественные ReS= S=(0,2). Пользуясь разложениями (18) и (19), находим

Члены двойного ряда неотрицательны, поэтому он сходится абсолютно, и в нем можно поменять порядок суммирования. Тогда

Следовательно, ряд (2.16) сходится во всех точках, < (, 0, 2), и в точке , а это противоречит четвертому утверждению леммы. Поэтому L (S,)0/

Этим завершается доказательство теоремы

По следствию 2 леммы 2 функция является аналитической в области ReS > 1. Для дальнейшего доказательства теоремы Дирихле нам будет необходимо представление этой функции в виде ряда, аналогичного ряда (2.16).

Лемма. Для каждого характера (n) в области ReS > 1 справедливо равенство

(2.26)

Доказательство.

Так как S=+it имеет место неравенство

получаем, что ряд стоящий в правой части равенства (2.26), абсолютно сходится в области >1. Умножим этот ряд на ряд определяющий L (S, ). Получили

Предпоследнее равенство имеет место ввиду равенства ), а последнее – по следствию из леммы 3, равенство 2.7.

3. Доказательство теоремы Дирихле

Теорема. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.

Доказательство.

Рассмотрим равенство (2.26), которое справедливое по Лемме в области ReS > 1. Поскольку (n) = 0 для всех n, не являющихся степенями простых чисел, то все отличные от нуля члены ряда в правой части (2.26) имеют вид

где р – простое и k – натуральное числа. Ряд (2.26) абсолютно сходится, следовательно, его можно представить в виде двойного ряда) и, значит, в области ReS > 1

(3.1)

Второе слагаемое в правой части этого равенства равномерно ограничено по s в области ReS3/4. Действительно, если S=+it, 3/4, то

Следовательно, при S1+0 для каждого характера имеет место равенство

(3.2)

Здесь и в дальнейшем s 1 + обозначает, что S стремится к 1 по действительной оси справа.

Пусть – некоторое натуральное число, удовлетворяющее сравнению

(3.3)

Умножим обе части равенства (3.2) на () и просуммируем получившиеся равенства по всем числовым характерам . Тогда получим

(3.3)

Если простое число р удовлетворяет сравнению р l (mod m), то p ≠ 1 (mod m), и по теореме 1

Если же p≠l (mod m), то p≠ 1 и по той же теореме

Таким образом, равенство (3.3) можно переписать в виде

(3.4)

По лемме 3 и теореме 2 для неглавного характера функция является аналитической в точке S = 1. Поэтому для таких характеров при S 1 + 0 имеем

(3.5)

По следствию 1 леммы 4 функция L (S, ₁) имеет в точке S=1 полюс первого порядка. Значит, при S1+0

(3/6)

Учитывая равенства (3.5) и (3.6.) из равенства (26) получаем, что

Так как число удовлетворяет сравнению (3.3), то (, m) = 1 и ₀()=1. Итак, при S1+0

(3.7)

Правая часть равенства а (3.7) при S1+0 имеет бесконечный предел. Значит, сумма, стоящая в левой части этого равенства, имеет бесконечное множество слагаемых. Поэтому существует бесконечное множество простых чисел, удовлетворяющих сравнению

pe (mod m)

Теорема Дирихле доказана.

Характеристики

Список файлов курсовой работы