Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Теорема 3: (обратная) Если граф G связный и А и В единственные нечётные вершины его, то граф G обладает эйлеровым путём с концами А и В.

Доказательство: Вершины А и В могут быть соединены ребром в графе, а могут быть соединены.

Если А и В соединены ребром, то удалим его; тогда все вершины станут чётными. Новый граф (по теореме 1) обладает эйлеровым циклом, началом и концом которого может служить любая вершина. Начнём эйлеров путь в вершине А и кончим его в вершине А. Добавим ребро (А,В) и получим эйлеров путь с началом в А и концом в В.

Если А и В не соединены ребром, то к графу добавим новое ребро (А,В), тогда все вершины его станут чётными. Новый граф (по теореме 1) обладает эйлеровым циклом. Начнём его из вершины А по ребру (А,В). Заканчивается путь тоже в вершине А. Если удалить теперь из полученного цикла ребро (А,В), то останется эйлеров путь с началом в В и концом в А или началом в А и концом В.

Таким образом, всякую замкнутую фигуру, имеющую в точности две нечётные вершины, можно начертить одним росчерком без повторений, начав в одной из нечётных вершин, а кончив в другой.

Теорема 4: Если связный граф G имеет 2k нечётных вершин, то найдётся семейство из k путей, которые в совокупности содержат все рёбра графа в точности по одному разу.

Доказательство: Половину нечётных вершин обозначим А₁,А₂,…,А_k,другую половину В₁,В₂,…,В_k(рис.7). Если вершины А_i и В_i (1i,В_i). Если вершины А и В не соединены ребром, то добавим к G ребро (А_i,В_i). Все вершины нового графа будут чётными, то есть в новом графе найдётся эйлеров цикл. При восстановлении графа G цикл разобьется на k отдельных путей, содержащих все рёбра графа.[2]

Рис.7

Пусть G=(V,E) – ориентированный граф. Ориентированным циклом называется ориентированный путь ненулевой длины из вершины в ту же вершину без повторения ребер.

Пусть G=(V,E) – ориентированный граф. Ориентированный цикл, который включает все рёбра и вершины графа G, называется эйлеровым циклом. Говорят, что ориентированный граф G имеет эйлеров цикл.

Теорема 5: Ориентированный граф имеет эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он связный и степень входа каждой вершины равна степени выхода.[1]

Оценка числа эйлеровых графов

Лемма : В любом графе число вершин нечётной степени чётно.

Доказательство: По теореме 1 сумма степеней всех вершин число чётное. Сумма степеней вершин чётной степени чётна, значит, сумма степеней вершин нечётной степени также чётна, значит, их чётное число.

Пусть G(p) – множество всех графов с р вершинами, а Е(р) – множество эйлеровых графов с р вершинами.

Теорема 6: Эйлеровых графов почти нет, то есть

lim

Доказательство: Пусть E^/ (р) – множество графов с р вершинами и чётными степенями. Тогда по теореме1 Е(р)Е^/(p) и Е(р)Е^/(p).В любом графе число вершин нечётной степени чётно, следовательно, любой граф из Е^/(p) можно получить из некоторого графа G(p-1), если добавить новую вершину и соединить её со всеми старыми вершинами нечётной степени. Следовательно, Е^/(p) G(p-1). Но G(p)=2^{C(p, 2)}. Заметим, что

С(k,2)-C(k-1,2)=

=

Далее имеем:

Е(р)Е^/(p) G(p-1) = 2^{C( p-1,2)} =2^C(p,2)-(p-1) = G(p)2^-(p-1)

и

, откуда lim . [3]

Алгоритм построения эйлеровой цепи в данном эйлеровом графе.

Этот метод известен под названием алгоритма Флёри.

Теорема 7: Пусть G – эйлеров граф, тогда следующая процедура всегда возможна и приводит к эйлеровой цепи графа G. Выходя из произвольной вершины и, идём по рёбрам графа произвольным образом, соблюдая лишь следующие правила:

1. стираем рёбра по мере их прохождения и стираем также изолированные вершины, которые при этом образуются;

2. на каждом этапе идём по мосту только тогда, когда нет других возможностей.

Доказательство: Покажем сначала, что указанная процедура может быть выполнена на каждом этапе. Предположим, что мы достигли некоторой вершины V; тогда если VU, то оставшийся подграф H связен и содержит ровно две вершины нечётной степени, а именно U и V. Согласно теореме 3 и определению полуэйлерова графа, граф H содержит полуэйлерову цепь P из V в U. Поскольку удаление первого ребра цепи Р не нарушает связности графа Н, то описанное в теореме построение (Т 1б)) возможно на каждом этапе. Если же V=U, то доказательство остаётся тем же самым до тех пор, пока есть ещё рёбра, инцидентные вершине U.

Осталось только показать, что данная процедура всегда приводит к полной эйлеровой цепи. Но это очевидно, так как в G не может быть рёбер, оставшихся не пройденными после использования последнего ребра, инцидентного U. В противном случае удаление некоторого ребра, смежного одному из оставшихся, привело бы к несвязному графу, что противоречит условию 2).[5]

Глава 2. Практическая часть

Задачи:

1. Существует ли эйлеров цикл в графе G. Если существует, найдите его.[2]

Решение:

А) Так как каждая вершина имеет чётную степень, то по критерию в этом графе существует эйлеров цикл: 1,4,6,9,10,8,5,3,2,4,7,10,11,8,6,5,2,1

Б) В этом графе также каждая вершина имеет чётную степень, значит, существует и эйлеров цикл: 1,2,3,4,5,3,1,4,5,2,1

В) Здесь каждая вершина имеет степень 5, то есть нечётную, следовательно, в этом графе (по критерию) нет эйлерова цикла.

1. Где на выставке следовало бы сделать вход и выход (рис.8) , чтобы можно было провести экскурсию по всем залам, побывав в каждом из них в точности один раз?[2]

Рис.8

Решение:

В этом графе вершины А и В имеют степень 3, то есть нечётную, следовательно, в нём существует эйлеров путь с началом в одной из этих вершин и концом в другой. Значит, вход и выход следует установить в вершинах А и В.

3. Среди приведённых ниже графов найдите те, которые имеют эйлеров цикл.[1]

Решение:

а) Т.к. этот граф связный и каждая его вершина имеет чётную степень, то по критерию эйлерова графа, данный граф имеет эйлеров цикл:

a b e j i f c b d h j g f a c d e h g i a

б) Этот граф связный, но т.к. все его вершины имеют нечётную степень, то он не имеет эйлерова цикла.

в) Этот граф связный, но т.к. все его вершины имеют степень 3, то есть нечётную, то он не имеет эйлерова цикла.

г) Данный граф связный, степени вершин а и с имеют нечётную степень, значит, этот граф не имеет эйлерова цикла.

4. Среди приведённых ниже графов найдите те, которые имеют эйлеров цикл.[1]

Решение:

а) Граф не является связным, то есть не выполняется первое условие критерия, значит, он не имеет эйлерова цикла.

б) Этот граф является связным и все его вершины имеют чётную степень, значит, по критерию эйлерова графа, он имеет эйлеров цикл:

a c f h I j k g d c b f I l j g e d a

в) Данный граф связный, но степени вершин а и е нечётные, следовательно по критерию, этот граф не имеет эйлерова цикла.

г) Граф является связным, но так как все его вершины имеют нечётную степень, то граф не имеет эйлерова цикла.

5. Среди приведённых ниже графов найдите те, которые имеют собственный эйлеров путь.[1]

Решение:

а) Граф связный, и только две его вершины (a и f) имеют нечётную степень, следовательно, то по теореме 3, граф имеет собственный эйлеров путь.

б) Граф связный; deg(a)=3, deg(b)=3, deg(c)=3, то есть более двух вершин имеют нечётную степень, значит, не имеет эйлерова пути.

в) Этот граф связный и только две вершины (с и j) имеют нечётную степень, значит, граф имеет собственный эйлеров путь.

г) Граф связный; deg(a)=3, deg(b)=4, deg(c)=1, deg(d)=3, то есть более двух вершин имеют нечётную степень, следовательно, в этом графе нет эйлерова пути.

6. Среди приведённых ниже графов найдите те, которые имеют собственный эйлеров цикл.[1]

Решение:

а) Данный граф связный; deg(a)=3, deg(b)=2, deg(c)=3, deg(d)=2, deg(e)=2. Ровно две вершины имеют нечётную степень, значит, по теореме 3, граф имеет собственный эйлеров путь.

б) Граф является связным и ровно две его вершины (е и f) имеют нечётную степень, значит, данный граф имеет собственный эйлеров путь.

в) Граф связный, найдём степени вершин: deg(d)=5, deg(b)=5, deg(e)=5, нашлись три вершины, степень которых нечётная, значит, граф не имеет эйлерова пути.

г) Данный граф связный и только две его вершины (а и b) имеют нечётную степень, значит, этот граф имеет собственный эйлеров путь.

7. Какие из следующих ориентированных графов имеют эйлеровы циклы? [1]

Решение:

а) Граф связный, найдём степени входа и выхода вершин (по теореме 5 степени входа и выхода каждой вершины должны совпадать):

indeg(a)=2, outdeg(a)=1, то есть нашлась вершина, у которой не совпадают степени входа и выхода, значит, граф не имеет эйлерова цикла.

б) Граф связный, найдём степени вершин:

indeg(a)=2 outdeg(a)=2

indeg(b)=2 outdeg(b)=2

indeg(c)=2 outdeg(c)=2

indeg(d)=2 outdeg(d)=2

indeg(e)=2 outdeg(e)=2

Следовательно, по теореме 5, граф имеет эйлеров цикл.

в) Граф связный, найдём степени вершин:

indeg(a)=2 outdeg(a)=2

indeg(b)=1 outdeg(b)=1

indeg(c)=3 outdeg(c)=1

Условия теоремы 5 не выполняются, значит, граф не имеет эйлерова цикла.

г) ) Граф связный, найдём степени вершин:

indeg(a)=2 outdeg(a)=1

Следовательно, т.к. условия теоремы 5 не выполняются то, граф не имеет эйлерова цикла.

8. Какие из следующих ориентированных графов имеют эйлеровы циклы? [1]

Решение:

а) Граф связный, найдём степени вершин:

indeg(a)=1 outdeg(a)=1

indeg(b)=5 outdeg(b)=1

Т.к. второе условие теоремы 5 не выполняется, значит, граф не имеет эйлерова цикла.

б) Граф не связный, то есть первое условие теоремы 5 не выполняется. Значит, граф не имеет эйлерова цикла.

в) Граф связный, найдём степени вершин:

indeg(a)=2 outdeg(a)=1

Второе условие теоремы 5 не выполняется, значит, граф не имеет эйлерова цикла.

г) Граф связный, найдём степени вершин:

indeg(a)=2 outdeg(a)=2

indeg(b)=3 outdeg(b)=1

Граф не имеет эйлерова цикла, т.к. не выполняется второе условие теоремы 5.

9. На рисунке план подземелья, в одной из комнат которого скрыты богатства рыцаря. После смерти рыцаря его наследники нашли завещание, в котором было сказано, что для отыскания сокровищ достаточно войти в одну из крайних комнат подземелья, пройти через все двери, причём в точности по одному разу через каждую; сокровища скрыты за той дверью, которая будет пройдена последней. В какой комнате были скрыты сокровища?

Построим граф, вершинами которого являются комнаты подземелья, а рёбрами – двери. Затем найдём такой путь, чтобы пройти по всем рёбрам (через все двери) в точности по одному разу.

Данный граф имеет эйлеров путь, так как только две вершины имеют нечётную степень, это вершины 6 и 18. Значит, вход и выход могут быть только в вершинах 6 и 18.

Так как комната 6 является крайней, то в ней будет вход, значит, последней комнатой будет 18-ая, следовательно сокровища скрыты в этой комнате.

Заключение

В данной работе были рассмотрены основные понятия теории графов, их виды. Большое внимание уделили вопросу существования в них эйлеровых цепей и циклов, рассмотрели ряд теорем и свойств. Описали алгоритм нахождения эйлерова цикла в произвольном графе, а в практической части показали его применение на конкретных примерах.

Известно, что эйлеровы графы получили широкое распространение и популярность благодаря тому, что многие головоломки и задачи можно решить с использованием знаний теории графов. Частные примеры таких головоломок и сюжетных задач были приведены в практической части. Задачи на отыскание путей через лабиринты, близкие к задачам на эйлеровы графы, находят применение в современной психологии и при конструировании вычислительных машин. Также с практической точки зрения, сейчас графы применяют во многих других областях науки таких как: программирование, физика, химия, биология, экономика и т.д.

Литература

1. Андерсон, Джеймс А. Дискретная математика и комбинаторика: пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. – 960с.

2. Березина Л. Ю. Графы и их применение. – М.: Просвещение, 1979.

3. Новиков С.А. Дискретная математика для программистов – СПб.: Питер, 2001. – 304с.

4. Оре о. Графы и их применение. – М.: Мир,1973.

5. Уилсон Р. Введение в теорию графов. – М.: Мир, 1977.

6. Харари Ф. Теория графов. – М.: Мир, 1973.

Характеристики

Список файлов курсовой работы