86104 (612645), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Шукатимемо наближений розв'язок задачі
,
(11.59)
як лінійну комбінацію простих однотипних функцій
, (11.60)
що мають вигляд
(11.61)
і, як правило, називаються фінітними. Графік однієї з таких функцій наведено на рис. 2, де видно, що функція не дорівнює нулю тільки на інтервалі . Щодо множини фінітних функцій, які задаються на відрізку
відомо, що вони лінійно незалежні (більш того, ортогональні в спеціальній енергетичній нормі) і утворюють повну систему в просторі
.Це дає підставу використати їх як базисні функції в методі Гальоркіна.
рис. 2. Графік фінітної функції.
Запишемо умову ортогональності (11.50):
,
(11.62)
і отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих .Праві частини цих рівнянь позначимо через
і отримаємо для їх обчислення вираз
(11.63)
Коефіцієнти системи рівнянь (11.62) позначимо через
Знайдемо вирази для коефіцієнтів системи рівнянь з невідомими
. Підставляючи в останній вираз
, отримаємо
Перший з інтегралів у цьому виразі обчислимо по частинах:
Оскільки за граничних умов (11.60) використовуються , базисних функцій від
до
і всі вони в точках
і
дорівнюють 0, то
Тоді вираз для обчислення набуває вигляду:
(11.64)
Для обчислення треба знайти значення похідних від фінітних функцій. Із цією метою диференціюємо (11.61) і отримуємо:
(11.65)
Функція відмінна від нуля тільки на інтервалі . Крім того, на одному і тому ж інтервалі ненульовими є дві базисні функції і їх похідні з сусідніми індексами (рис. 3), тобто на інтервалі
відмінні від нуля
,
,
,
і т. д.
рис. 3. Система фінітних функцій.
У виразі для (11.64) добутки
,
,
можна вважати відмінними від нуля тому, що на елементарному інтервалі не дорівнюють нулю фінітні функції та їх похідні, які мають сусідні індекси у випадках, коли
. А це означає, що
для
, (11.66)
тобто матриця системи (11.62) є тридіагональною матрицею. її ненульові елементи обчислюються таким чином. Формули для діагональних елементів отримаємо, приймаючи
у виразі (11.64):
(11.67)
Для , отримаємо формули для елементів правої бічної діагоналі матриці
:
, (11.68)
а для - лівої;
Три останні вирази визначають систему алгебраїчних рівнянь (11.62) для невідомих коефіцієнтів .
Розглянемо розв’язання задачі (11.59) у випадку неоднорідних граничних умов
,
(11.70)
і зведемо її до розв'язання задачі з однорідними граничними умовами. Для цього введемо заміну:
, де
.
Двічі диференціюючи цю функцію і підставляючи вирази для похідних у рівняння (11.59), отримаємо крайову задачу з однорідними граничними умовами:
,
,
. (11.71)
Постановка задачі
Щоб знайти єдиний розв'язок звичайного диференціального рівняння, необхідно задати деякі допоміжні умови, що використовуються для обчислення інтегрування. Для рівняння n-ого порядку потрібно п таких умов. Якщо ці умови задаються для одного значення незалежної змінної (зокрема, для одного кінця інтервалу, на якому необхідно знайти розв'язок), то говорять про початкові умови для задачі Коші. Якщо ж додаткові умови задаються для значень незалежної змінної на різних кінцях інтервалу, то мають на увазі крайову задачу і граничні умови для неї.
Двоточкова крайова задача для рівняння другого порядку має такий вигляд:
(11.1)
із граничними умовами
(11.2)
Перш ніж застосовувати будь-який чисельний метод, варто перевірити умови, що гарантують існування розв'язку цієї задачі. Наведена нижче теорема визначає загальні умови, що забезпечують існування й одиничність розв'язку.
Теорема. Припустимо, що неперервна в області
І що
і
Теж неперервні на . Якщо існує постійна
, для якої виконуються умови
для всіх
для всіх
(11.3)
то крайова задача (11.1) (11.2) має єдиний розв'язок для
.
Найчастіше зустрічаються і найкраще вивчені двоточкові лінійні крайові задачі виду
,
(11.4)
,
(11.5)
де
,
Умови, які повинні задовольняти функції ,
і
, для того щоб задача (11.4), (11.5) мала єдиний розв'язок, випливають із теореми як наслідок.
Наслідок. Якщо і
неперервні на
і
, то задача (11.4), (11.5) має єдиний розв'язок на
.
Граничні умови (11.5) визначають третю крайову задачу для рівняння (11.4). Якщо припустити, що , то умови (11.5) визначають першу крайову задачу, а коли
- другу.
Точне (аналітичне) розв'язання крайових задач - більш складна процедура, ніж знаходження розв'язку задачі Коші. Це спричинило появу великої кількості наближених методів. Ці методи можна розділити на дві групи: наближено-аналітичні методи, що дають наближений розв'язок крайової задачі на відрізку у вигляді конкретної аналітичної функції, і чисельні методи, що визначають розвозок у вигляді табличної функції, заданої на сітці відрізка
.
Метод скінченних різниць
Ідея методу скінченних різниць полягає в тому, що похідні в диференціальному рівнянні (11.4) і граничних умовах (11.5) заміняються їх скінченними різницями. Для цього спочатку введемо на відрізку сітку з кроком
:
.
Позначимо через точний розв'язок задачі (11.1) у і-му вузлі сітки, а через
- наближений розв'язок у цій точці. Заміняючи в кожному внутрішньому вузлі сітки похідні різницями, отримаємо різницеві рівняння:
,
Симетричні різницеві апроксимації похідних першого і другого порядків мають похибку другого порядку відносно , тобто
. Це легко довести на основі розкладання в ряд Тейлора точного розв'язку рівняння. Дійсно, для вузлів
та
маємо
з різниці яких отримуємо шуканий результат:
,
(11.21)
Знайдемо нев’язку різницевого рівняння
.
Оскільки є точним розв'язком рівняння (11.4),
та
. (11.22)
Тому різницеве рівняння (11.21) апроксимує вихідне диференціальне рівняння
(11.4) також із другим порядком відносно .
Тепер апроксимуємо граничні умови скінченними різницями:
,
(11.23)
Знайдемо похибку апроксимації граничних умов. Нев’язки граничних умов (11.23) мають вигляд:
,
.
Асиметрична апроксимація першої похідної на відміну від симетричної має глобальну похибку першого порядку відносно , тобто
. Це безпосередньо випливає з розкладання в ряд Тейлора
,
із якого отримуємо
,
Отже, граничні умови (11.23) апроксимуються з першим порядком за к. Порядок їх апроксимації можна підвищити до другого, наприклад, використовуючи співвідношення
,
(11.24)
похибка апроксимації яких також пропорційна , як і для випадку симетричної апроксимації похідних. Це випливає із порівняння двох рядів Тейлора:
Якщо перший вираз помножити на 4 і відняти його від другого, отримаємо:
.
Після його підстановки у формулу (11.24) знаходимо нев'язку у вигляді:
тобто крайова умова апроксимується з другим порядком відносно .
У такий же спосіб доводиться, що і друга гранична умова (11.23) апроксимується з другим порядком відносно .
Розглянемо ще одну можливість апроксимації крайових умов типу (11.5) на прикладі умови
.
Для цього за межами інтервалу вводиться додаткова точка
, за допомогою якої обчислюється перша похідна за симетричною формулою апроксимації:
. (11.25)
Точку можна виключити, скориставшись співвідношенням (11.25) і різницевою апроксимацією диференціального рівняння (11.4) в кінцевій точці інтервалу
.
Отримуємо рівняння для граничної умови в точці із порядком
, яким можна замінити останнє рівняння в системі алгебраїчних рівнянь, одержаній у разі кусочно-різницевої апроксимації похідних у рівнянні (11.4).
Те ж саме можна зробити з першою умовою (11.5) і першим апроксимуючим рівнянням для . Варто підкреслити, що врахування граничних умов різних типів впливає тільки на перше й останнє рівняння цієї системи.
Зведемо подібні члени в рівнянні (11.21) і отримаємо стандартне триточкове різницеве рівняння:
, (11.27)
.
Включивши до системи рівнянь (11.25) різницеве рівняння (11.23) чи (11.24), отримаємо систему рівнянь, що містить рівняння з
невідомими
.
Порівняємо ці два варіанти апроксимації крайової задачі. У першому з них система лінійних алгебраїчних рівнянь, утворена рівняннями (11.21) і (11.23), має тридіагональну матрицю коефіцієнтів, і її можна розв'язати методом прогону. Щоб застосувати метод прогону в другому випадку, слід створити відповідну тридіагональну матрицю. Для цього потрібно з першого рівняння (11.27) для
Маємо рівняння з двома невідомими - і
. Замінимо ним перше рівняння (11.24). Виконаємо такі ж перетворення з другим (11.24) і останнім рівнянням (11.27) для
:
Виключивши з них , знаходимо: