86088 (612638), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Рисунок 4 – 1-поиск по образцу; 2- исследующий поиск вдоль координатных осей.

При заданном начальном векторе x1 исследующий поиск по координатным направлениям приводит в точку x2 . Последующий поиск по образцу в направлении x1- x2 приводит в точку y. Затем исследующий поиск, начинающийся из точки y, дает точку x3. Следующий этап поиска по образцу вдоль направления x3- x2 дает y*. Затем процесс повторяется.

Рассмотрим вариант метода, использующий одномерную минимизацию вдоль координатных направлений d1,..., dn и направлений поиска по образцу.

Начальный этап. Выбрать число eps > 0 для остановки алгоритма. Выбрать начальную точку x1, положить y1= x1, k=j=1 и перейти к основному этапу.

Основной этап.

Шаг 1. Вычилить lymj - оптимальное решение задачи минимизации f(yj+lym * dj) при условии lym принадлежит E1. Положить y[j+1]= yj+lymj*dj. Если j < n, то заменить j на j+1 и вернуться к шагу 1. Если j=n, то положить x[k+1] = y[n+1]. Если ||x[k+1] - xk|| < eps , то остановиться; в противном случае перейти к шагу 2.

Шаг 2. Положить d = x[k+1] - xk и найти lym - оптимальное решение задачи минимизации f(x[k+1]+lym*d) при условии lym принадлежит E1. Положить y1= x[k+1]+lym*d, j=1, заменить k на k+1 и перейти к шагу 1. Для решения поставленной задачи выбрано приближение ε=0,02, α=0,15

Таблица 4 - Метод Хука-Дживса

Т.к в ε окрестности полученной на 38 шаге точке мы не получаем улучшения (уменьшения значения) функции, то примем x1=0,426999999999999 x2=0,496999999999999,

Z(x1,x2)= -0,699011600000001.

2.3 Метод правильного симплекса

Правильный симплекс в пространстве En называется множество из n+1 равноудаленных друг от друга точек (вершин симплекса). В пространстве Е2 правильным симплексом является совокупность вершин равностороннего треугольника, Е3 – правильного тетраэдра.

Поиск точки минимума функции f(x) с помощью правильных симплексов производят следующим образом. На каждой итерации сравниваются значения f(x) в вершинах симплекса. Затем проводят описанную выше процедуру отражения для этой вершины, в которой f(x) принимает наибольшее значение. Если в отраженной вершине получается меньшее значение функции, то переходят к новому симплексу. В противном случае выполняют еще одну попытку отражения для вершины со следующим по величине значением f(x). Если и она не приводит к уменьшению функции, то сокращают длину ребра симплекса и строят новый симплекс с новым ребром. В качестве базовой выбирают ту вершину х0 старого симплекса, которой функция принимает наименьшее значение. Поиск минимума f(x) заканчивают, когда либо ребро симплекса, либо разность между значениями функции в вершинах симплекса становятся достаточно малыми.

Начальный этап. Выбрать параметр точности eps, базовую точку x0, ребро a и построить начальный симплекс. Вычислить f(x0).

Основной этап.

Шаг 1. Вычислить значения f(x) в вершинах симплекса x1,..., xn.

Шаг 2. Упорядочить вершины симплекса x0,..., xn так, чтобы f(x0)<=f(x1)<=...<=f(x[n-1])<=f(xn).

Шаг 3. Проверим на окончание поиска

,

где

Это одно из возможных условий останова. Его выполнении соответствует либо малому ребру a симплекса, либо попаданию точки минимума x* внутрь симплекса, либо тому и другому одновременно.

Если это условие выполнено, то вычисления прекратить, полагая x*= x0. В противном случае перейти к шагу 4.

Шаг 4. Найти xс и выполнить отражение вершины xn : y=2*xс- xn. Если f(y)

Шаг 5. Перейти к новому правильному симплексу с вдвое меньшим ребром, считая базовой вершиной x0. Остальные n вершин симплекса найти по формуле xi=( xi+ x0)/2, i=1,...,n. Перейти к шагу 1.

Для решения поставленной задачи выбрано приближение ε=0,01, α=0,3

Таблица 5 - Метод симплекса

Т.к дальнейшее уменьшение α невозможно(α/2< ε) и в ε окрестности полученной на 31 шаге точке мы не получаем улучшения (уменьшения значения) функции, то примем x=0,248249999999998 и y=0,408289729858682 Z(x,y)= -0,847811621576176.

2.4 Метод деформированного симплекса

Алгоритм минимизации по правильному симплексу можно модифицировать, добавив к процедуре отражения при построении нового симплекса процедуры сжатия и растяжения. А именно, положение новой вершины y вместо вершины xn , соответствующей наибольшему значению функции, находится сравнением и выбором наименьшего среди значений целевой функции в точках:

z1= xc - a( xc - xn), 0

z2 = xc + a( xc - xn), 0

z3 = xc + b( xc - xn), b приближенно равно 1;

z4 = xc + g( xc - xn), g<1.

Геометрическая иллюстрация этих процедур для двумерного пространства приведена на рисунке 7.

Новые симплексы полученные в результате процедуры сжатия (a,b); отражения (c); растяжения (d)

Так как величина a принадлежит интервалу (0;1), то выбор точек z1 и z2 соответствует сжатию симплекса; b приближенно равно 1, поэтому выбор точки z3 соответствует отражению, а g>1 и выбор точки z4 приводит к растяжению симплекса.

Отметим, что при деформациях утрачивается свойство правильности исходного симплекса.

Алгоритм метода поиска точки минимума функции по деформируемому симплексу

Начальный этап. Выбрать параметр точности eps, параметры a, b и g, базовую точку x0 , параметр a и построить начальный симплекс. Вычислить значение функции f(x0).

Основной этап. Шаг 1. Вычислить значения функции в вершинах симплекса x1,..., xn.

Шаг 2. Упорядочить вершины симплекса x0,..., xn так, чтобы f(x0)<=f(x1)<=...<=f(x[n-1])<=f(xn).

Шаг 3. Проверить условие (1/n)Sum[f(xi)-f(x0)]^2 < e^2, i=[1,n].

Это одно из возможных условий останова. При его выполнении "дисперсия" значений f(x) в вершинах симплекса становится меньше e2, что, как правило, соответствует либо малому ребру a симплекса, либо попаданию точки минимума x* внутрь симплекса, либо тому и другому одновременно.Если это условие выполнено, то вычисления прекратить, полагая x*= x0. В противном случае перейти к шагу 4.

Шаг 4. Найти xс и пробные точки zk , k=1,...,4 по формулам (2). Найти f(z*)=minf(zk). Если f(z*)

Шаг 5. Уменьшить симплекс, полагая xi=( xi+ x0)/2, i=1,...,n перейти к шагу 1.

На практике хорошо зарекомендовал себя следующий набор параметров a=1/2, b=1, g=2, поэтому он и был использован в программе.

Таблица 5 – Метод деформированного симплекса

T.к.

< ε,

то примем x=0,237037034153931 и y=0,407407409218273 Z(x,y)= -0,848148148148148

Сравнив все методы, мы видим, что для данной функции лучше подходит метод деформированного симплекса, т.к. он быстрее приводит к оптимальному решению.

3. Условная оптимизация

Задача условной оптимизации в общем случае записывается в известном виде:

Такая задача оптимизации, кроме целевой функции, включает дополнительные условия в виде ограничений и граничных условий.

На рисунке 12 представлена фигура, объем, которой необходимо максимизировать при заданной площади поверхности

Рисунок 12 – Фигура для максимизации объема при заданной площади поверхности

Найдем полную площадь поверхности данной фигуры(без верхней поверхности):

,

найдем объем фигуры:

Эта задача представляет собой пример задачи условной оптимизации: необходимо найти максимальный объем при заданном значении площади поверхности.

Эту задачу можно решить двумя методами:

Метод преобразования целевой функции,

метод штрафных функций.

3.1 Метод преобразования целевой функции

Т.к. положено ограничение типа равенства, то из этого ограничения одну переменную выразим через другую и подставим полученную зависимость в целевую функцию и получим преобразованную целевую функцию, но без ограничений.

V = 4/3∙a2∙h2+7/3∙h1∙a2 → max (1)

S = 6∙a∙h1+4∙h2∙a (2)

Выразим a из (2) и подставим в (1), получим:

V = s2∙(4∙h2+7∙h1)/3∙(6∙h1+4∙h2)2

Теперь, задав начальные условия, значение площади поверхности, и выбрав нужную точность можно решить задачу любым методом безусловной оптимизации.

Возьмем, например, метод правильного симплекса, и зададим начальные условия: а=1м, h1=3м, h2=4м, s=34м. Для метода симплекса выберем точность ε=0,001.

Т.е максимальный объем V=12,7151461307724, при заданной площади получается при h1 = 2,946875, и h2 = 3,83229490168751

3.2 Метод штрафных функций

Методы штрафных функций относятся к группе непрямых методов решения задач нелинейного программирования:

f(x) -> min;

gi(x) 0, i 1, ..., k;

hj(x) 0, j 1, ..., m;

a x b.

Они преобразуют задачу с ограничениями в последовательность задач безусловной оптимизации некоторых вспомогательных функций. Последние получаются путем модификации целевой функции с помощью функций-ограничений таким образом, чтобы ограничения в явном виде в задаче оптимизации не фигурировали. Это обеспечивает возможность применения методов безусловной оптимизации. В общем случае вспомогательная функция имеет вид

F(x,a) f(x) +rS(x)

Здесь f(x) - целевая функция задачи оптимизации; S(x) - специальным образом выбранная функция штрафа,где r— множитель, значения которого можно изменять в процессе оптимизации.. Точку безусловного минимума функции F(x, a) будем обозначать через х(а).

Среди методов штрафных функций различают методы внутренней и внешней точки. Согласно методам внутренней точки (иначе называемым методами барьерных функций), исходную для поиска точку можно выбирать только внутри допустимой области, а для методов внешней точки как внутри, так и вне допустимой области (важно лишь, чтобы в ней функции целевая и ограничений были бы определены).

3.2 Методы штрафных функций

Эти методы применяются для решения задач нелинейного программирования с ограничениями-неравенствами.

В рассматриваемых методах функции Ф(x, а) подбирают такими, чтобы их значения неограниченно возрастали при приближении к границе допустимой области G (Рисунок 14). Иными словами, приближение к границе “штрафуется” резким увеличением значения функции F(x, а). На границе G построен “барьер”, препятствующий нарушению ограничении в процессе безусловной минимизации F(x, a). Поиск минимума вспомогательной функции F(x, а) необходимо начинать с внутренней точки области G .

Таким образом, внутренняя штрафная функция Ф(х, а) может быть определена следующим образом:

Здесь dG -граница области G.

Рисунок 14 - Внутренняя штрафная функция

Методы внешних штрафных функций

Данные методы применяются для решения задачи оптимизации при наличии как ограничений-неравенств, так и ограничений-равенств.

В рассматриваемых методах функции Ф(х, а) выбирают такими, что их значения равны нулю внутри и на границе допустимой области G, а вне ее -положительны и возрастают тем больше, чем сильнее нарушаются ограничения (Рисунок 15). Таким образом, здесь “штрафуется” удаление от допустимой области G.

Рисунок – 15 Внешняя штрафная функция

Внешняя штрафная функция Ф(х, а) в общем случае может быть определена следующим образом:

Для данного курсового проекта штрафная функция для объема данной фигуры имеет вид:

,

где - параметр штрафа, С – полная площадь поверхности, заданная изначально, V(a,h1,h2) = 4/3∙a2∙h2+7/3∙h1∙a2, S(a,h1,h2) = 6∙a∙h1+4∙h2∙a.

Задача была решена методом правильного трехмерного симплекса.

Мы видим, что при увеличении значения параметра штрафа, значение функции уменьшается (ухудшается), а при уменьшении – увеличивается (улучшается).

4. Симплекс таблицы

Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида «меньше либо равно», а компоненты вектора b - положительны.

Алгоритм решения сводится к следующему:

Приведение системы ограничений к каноническому виду путём введения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.

Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки «равно» или «больше либо равно», то в указанные ограничения добавляются искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума.

Формируется симплекс-таблица.

Рассчитываются симплекс-разности.

Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.

При необходимости выполняются итерации.

7 На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Пересчитывается таблица.

Дана функция вида:

f(x)=4x1+2x2

Подберем k геометрическим способом решения так, чтобы область допустимых значений была пятиугольником. k=7

Рисунок – 16 Область допустимых значений

Приведем запись задачи линейного программирования к стандартной форме, введем новых переменных, все ограничения кроме ограничения на знак представим в виде равенств, тогда эта задача примет вид.

4у1+2у2+0у3 +0у4 +0у5

=(0;0;8;12;7) – начальные допустимые базисные решения

Имея начальный базис, составляем симплекс таблицу для нулевой итерации.

Вводим в базис у1 , а выводим из базиса у4.

Вводим в базис у2 , а выводим из базиса у5.

Т.к. f<0, то останавливаемся на второй итерации.

Исходя из графика ОДЗ, можно определить, что оптимальным решением является отрезок прямой , входящий в

ОДЗ, проверим: 2,5*2+2=7.

x1 = 2,5, x2 = 2 f(x)=14.

Заключение

Целью данного курсового проекта было изучение методов оптимизации функции. Методов одномерной оптимизации: метод дихотомии, золотого сечения; многомерной безусловной оптимизации: покоординатный циклический спуск, метод Хука – Дживса, правильный симплекс, деформированный симплекс, а также методов условной оптимизации Метод преобразования целевой функции, метод штрафных функций, табличный симплекс – метод.

Список используемой литературы

1. А.Г.Трифонов. Постановка задачи оптимизации и численные методы ее решения;

2. Б. Банди. Методы оптимизации. Вводный курс., 1988;

3. Мендикенов К.К. Лекции

Приложение А

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.ComponentModel;

using System.Data;

using System.Drawing;

using System.Text;

using System.Windows.Forms;

namespace lab1

{

public partial class Form1 : Form

{

class global

{

private global() { }

public static double a = 0.64;

public static double b = 1.77;

public static double e = 0.0001;

public static double al = 0.00001;

public static double x = 0;

public static double y = 0;

public static int iter = 0;

}

public Form1()

{ InitializeComponent(); }

private void textBox1_TextChanged(object sender, EventArgs e)

{global.e = Convert.ToDouble(textBox1.Text); }

private void textBox2_TextChanged(object sender, EventArgs e)

{ global.al = Convert.ToDouble(textBox2.Text); }

public double F(double x)

{ return (Math.Pow((2.5 - x), 2) + 3.1 * x); }

public double Z(double x, double y)

{ return (2.5 * Math.Pow(x, 2) + 2 * x * y + 3.1 * Math.Pow(y, 2) -2* x-3*y); }

public double Dixotom()

{

global.iter = 1;

global.a = Convert.ToDouble(textBox4.Text);

global.b = Convert.ToDouble(textBox3.Text);

richTextBox1.Text = richTextBox1.Text+"a="+Convert.ToString(global.a)+"; b="+Convert.ToString(global.b)+(char)13;

while (true)

{

double x1 = (global.a+global.b)/2-global.al;

double x2 = (global.a + global.b) / 2 + global.al;

if (F(x1) < F(x2)) global.b = x2; else global.a = x1;

richTextBox1.Text = richTextBox1.Text + Convert.ToString(global.iter) + ") x1=" + Convert.ToString(x1) + "; x2=" + Convert.ToString(x2) + "; f(x1)=" + Convert.ToString(F(x1)) + "; f(x2)=" + Convert.ToString(F(x2)) + "; a=" + Convert.ToString(global.a) + "; b=" + Convert.ToString(global.b) + (char)13;

global.iter++;

if (Math.Abs(global.b - global.a) < global.e) break;

} return (global.a + global.b) / 2;

}

public double Zolot()

{ global.iter = 1;

global.a = Convert.ToDouble(textBox4.Text);

global.b = Convert.ToDouble(textBox3.Text);

richTextBox1.Text = richTextBox1.Text + "a=" + Convert.ToString(global.a) + "; b=" + Convert.ToString(global.b) + (char)13;

double x2 = global.a+0.618*(global.b - global.a) ;

double x1 = global.a + (1-0.618) * (global.b - global.a);

while (true)

{

if (Math.Abs(global.b - global.a) < global.e) break;

richTextBox1.Text = richTextBox1.Text + Convert.ToString(global.iter) + ") a=" + Convert.ToString(global.a) + "; b=" + Convert.ToString(global.b) + "; x1=" + Convert.ToString(x1) + "; x2=" + Convert.ToString(x2) + "; f(x1)=" + Convert.ToString(F(x1)) + "; f(x2)=" + Convert.ToString(F(x2)) + (char)13;

if (F(x2) > F(x1))

{ global.b = x2; x2 = x1; x1 = global.a + 0.372 * (global.b - global.a); }

else { global.a = x1; x1 = x2; x2 = global.a + 0.618 * (global.b - global.a); }

global.iter++;

}

return (global.a + global.b) / 2;

}

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)

{ richTextBox1.Text = "";

global.al = Convert.ToDouble(textBox2.Text);

global.e = Convert.ToDouble(textBox1.Text);

if (radioButton1.Checked) global.x = Dixotom();

if (radioButton2.Checked) global.x = Zolot();

label2.Text = "Минимум: x*=" + Convert.ToString(global.x) + "; y(x*)=" + Convert.ToString(F(global.x)) + ", число итераций: "+Convert.ToString(global.iter-1);

}

public void Spusk(double x,double y)

{

while (true)//идем вправо

{ x = x + global.al; if (Z(x, y) > Z(x - global.al, y)) break; global.iter++;

richTextBox2.Text = richTextBox2.Text + Convert.ToString(global.iter)+ ") x=" + Convert.ToString(x) + "; y=" + Convert.ToString(y) + "; z(x,y)=" + Convert.ToString(Z(x, y)) + "; al=" + Convert.ToString(global.al) + (char)13;

x = x - global.al;//возвращаемся на неудачный шаг

while (true)//идем влево

{ x = x - global.al; if (Z(x, y) > Z(x + global.al, y)) break; global.iter++;

richTextBox2.Text = richTextBox2.Text + Convert.ToString(global.iter) + ") x=" + Convert.ToString(x) + "; y=" + Convert.ToString(y) + "; z(x,y)=" + Convert.ToString(Z(x, y)) + "; al=" + Convert.ToString(global.al) + (char)13; }

x = x + global.al;//возвращаемся на неудачный шаг

global.x=x; global.y=y;

SpuskV(x, y);

}

public void SpuskV(double x, double y)

{

while (true)//идем вверх

{ y = y + global.al; if (Z(x, y) > Z(x, y - global.al)) break; global.iter++;

richTextBox2.Text = richTextBox2.Text + Convert.ToString(global.iter) + ") x=" + Convert.ToString(x) + "; y=" + Convert.ToString(y) + "; z(x,y)=" + Convert.ToString(Z(x, y)) + "; al=" + Convert.ToString(global.al) + (char)13; }

y = y - global.al;//возвращаемся на неудачный шаг

while (true)//идем вниз

{ y = y - global.al; if (Z(x, y) > Z(x, y + global.al)) break; global.iter++;

richTextBox2.Text = richTextBox2.Text + Convert.ToString(global.iter) + ") x=" + Convert.ToString(x) + "; y=" + Convert.ToString(y) + "; z(x,y)=" + Convert.ToString(Z(x, y)) + "; al=" + Convert.ToString(global.al) + (char)13; }

y = y + global.al;//возвращаемся на неудачный шаг

global.x = x; global.y = y;

if (global.al/2 > global.e) { global.al = global.al / 2; Spusk(x, y); }

}

public void Hyg(double x, double y)

{ while (true)

{int min=Vibor(x, y);

if (min == 1) { x = x + 2 * global.e; y = y + 2 * global.e; if (Z(x - 2 * global.e, y - 2 * global.e) < Z(x, y)) break; }

if (min == 2) { x = x - 2 * global.e; y = y + 2 * global.e; if (Z(x + 2 * global.e, y - 2 * global.e) < Z(x, y)) break; }

if (min == 3) { x = x - 2 * global.e; y = y - 2 * global.e; if (Z(x + 2 * global.e, y + 2 * global.e) < Z(x, y)) break; }

if (min == 4) { x = x + 2 * global.e; y = y - 2 * global.e; if (Z(x - 2 * global.e, y + 2 * global.e) < Z(x, y)) break; }

global.iter++;

richTextBox2.Text = richTextBox2.Text + Convert.ToString(global.iter) + ") x=" + Convert.ToString(x) + "; y=" + Convert.ToString(y) + "; z(x,y)=" + Convert.ToString(Z(x, y)) +(char)13; }

global.x = x; global.y = y;

}

public int Vibor(double x, double y)

{ int min = 0;

if (Z(x + global.e, y + global.e) < Z(x, y)) min = 1;

if (Z(x + global.e, y - global.e) < Z(x, y)) min = 2;

if (Z(x - global.e, y - global.e) < Z(x, y)) min = 3;

if (Z(x - global.e, y + global.e) < Z(x, y)) min = 4;

return min; }

public void Sym(double x, double y)

{ double x0 = x; double y0 = y; double x1 = x0 + global.al; double y1 = y0;

double x2 = x0 + (global.al) / 2; double y2 = y0 + global.al * Math.Sin(60);

richTextBox2.Text = richTextBox2.Text + Convert.ToString(global.iter) + ") z(x0,y0)=" + Convert.ToString(Z(x0, y0)) + " z(x1,y1)=" + Convert.ToString(Z(x1, y1)) + " z(x2,y2)=" + Convert.ToString(Z(x2, y2)) + " al=" + Convert.ToString(global.al) + (char)13;

while (true)

{ //поиск наименьшего

double mx0 = x0; double my0 = y0; double mx1 = x1; double my1 = y1; double mx2 = x2; double my2 = y2;

double z1 = Z(mx0, my0); double z2 = Z(mx1, my1); double z3 = Z(mx2, my2);

if ((z1 < z2) && (z2 z1)) { x0 = mx0; x1 = mx1; x2 = mx2; y0 = my0; y1 = my1; y2 = my2; }

if ((z1 z3) && (z3 > z1)) { x0 = mx0; x1 = mx2; x2 = mx1; y0 = my0; y1 = my2; y2 = my1; }

if ((z1 > z2) && (z2 < z3) && (z3 < z1)) { x0 = mx1; x1 = mx2; x2 = mx0; y0 = my1; y1 = my2; y2 = my0; }

if ((z1 > z2) && (z2 z1)) { x0 = mx1; x1 = mx0; x2 = mx2; y0 = my1; y1 = my0; y2 = my2; }

if ((z1 z3) && (z3 < z1)) { x0 = mx2; x1 = mx0; x2 = mx1; y0 = my2; y1 = my0; y2 = my1; }

if ((z1 > z2) && (z2 > z3) && (z3 < z1)) { x0 = mx2; x1 = mx1; x2 = mx0; y0 = my2; y1 = my1; y2 = my0; }

//проверка на выход

if (global.al <= global.e) break;

while (true)

{ //отражение относительно 3

double kx= (x0+x1)-x2; double ky = (y0 + y1) - y2;

if (Z(x2, y2) > Z(kx, ky)) { x2 = kx; y2 = ky; global.iter++; break; }

//отражение относительно 2

kx = (x0 + x2) - x1; ky = (y0 + y2) - y1;

if (Z(x1, y1) > Z(kx, ky)) { x1 = kx; y1 = ky; global.iter++; break; }

//отражение относительно 1

kx = (x1 + x2) - x0; ky = (y1 + y2) - y0;

if (Z(x0, y0) > Z(kx, ky)) { x0 = kx; y0 = ky; global.iter++; break; }

//уменьшаем треугольник

global.al = global.al / 2;

x1 = (x0 + x1) / 2; y1 = (y0 + y1) / 2;

x2 = (x0 + x2) / 2; y2 = (y0 + y2) / 2;

}

richTextBox2.Text = richTextBox2.Text + Convert.ToString(global.iter) + ") x0=" + Convert.ToString(x0) + " x1=" + Convert.ToString(x1) + " x2=" + Convert.ToString(x2) + "; y0=" + Convert.ToString(y0) + " y1=" + Convert.ToString(y1) + " y2=" + Convert.ToString(y2) + " z(x0,y0)=" + Convert.ToString(Z(x0, y0)) + " z(x1,y1)=" + Convert.ToString(Z(x1, y1)) + " z(x2,y2)=" + Convert.ToString(Z(x2, y2)) + " al=" + Convert.ToString(global.al) + (char)13; }

global.x = x0; global.y = y0; }

private void button2_Click(object sender, EventArgs e)

{ global.iter = 0;

global.al = Convert.ToDouble(textBox7.Text);

global.e = Convert.ToDouble(textBox8.Text);

if (radioButton4.Checked) {Spusk(Convert.ToDouble(textBox6.Text),Convert.ToDouble(textBox5.Text)); }

if (radioButton3.Checked)

Hyg(Convert.ToDouble(textBox6.Text), Convert.ToDouble(textBox5.Text));

if (radioButton5.Checked) Sym(Convert.ToDouble(textBox6.Text), Convert.ToDouble(textBox5.Text));

label9.Text = "Минимум: (" + Convert.ToString(global.x) + ";" + Convert.ToString(global.y) + " f(x,y)=" + Convert.ToString(Z(global.x, global.y)) + "), число итераций: " + Convert.ToString(global.iter); } }}

Приложение Б

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

a:=false;

l:=0.05;

al:=1; e:=0.01; gm:=2; bt:=0.5;

x:=1.16166; y:= 1.15185;

iter:=0;

xl:= x; yl:= y; xg:= xl + l; yg:= yl;

xh:= xl + l / 2; yh:= yl + l * Sin(60);

Sym(x,y);

ZZ(x,y); //считаем значение функции в найденной точке

end;

procedure TForm1.Sym(x,y:real);

label

ext,B;

begin

//поиск наименьшего

B: mx0:= xl; my0:= yl; mx1:= xg; my1:= yg; mx2:= xh; my2:= yh;

ZZ(mx0, my0); z1:=z; ZZ(mx1, my1); z2:=z; ZZ(mx2, my2); z3:=z;

if ((z1 < z2) and (z2 z1)) then begin xl:= mx0; xg:= mx1; xh:= mx2; yl:= my0; yg:= my1; yh:= my2; end;

if ((z1 z3) and (z3 > z1)) then begin xl:= mx0; xg:= mx2; xh:= mx1; yl:= my0; yg:= my2; yh:= my1; end;

if ((z1 > z2) and (z2 < z3) and (z3 < z1)) then begin xl:= mx1; xg:= mx2; xh:= mx0; yl:= my1; yg:= my2; yh:= my0; end;

if ((z1 > z2) and (z2 z1)) then begin xl:= mx1; xg:= mx0; xh:= mx2; yl:= my1; yg:= my0; yh:= my2; end;

if ((z1 z3) and (z3 < z1)) then begin xl:= mx2; xg:= mx0; xh:= mx1; yl:= my2; yg:= my0; yh:= my1; end;

if ((z1 > z2) and (z2 > z3) and (z3 < z1)) then begin xl:= mx2; xg:= mx1; xh:= mx0; yl:= my2; yg:= my1; yh:= my0; end;

Richedit1.Lines.Add(IntToStr(iter));

Richedit1.Lines.Add(FloatToStr(xl)+' '+FloatToStr(yl)+' '+FloatToStr(zl));

Richedit1.Lines.Add(FloatToStr(xg)+' '+FloatToStr(yg)+' '+FloatToStr(zg));

Richedit1.Lines.Add(FloatToStr(xh)+' '+FloatToStr(yh)+' '+FloatToStr(zh));

Richedit1.Lines.Add('');

x0:=(xl+xg)/2; y0:=(yl+yg)/2;

xr:=(1+al)*x0-al*xh; yr:=(1+al)*y0-al*yh;

ZZ(xl,yl); zl:=z; ZZ(xg,yg); zg:=Z; ZZ(xh,yh); zh:=z; ZZ(xr,yr); zr:=z;

if zr

{1} begin

//растяжение

xe:=gm*xr+(1-gm)*x0; ye:=gm*yr+(1-gm)*y0; ZZ(xe,ye); ze:= z;

if ze

{2} begin

xh:=xe; yh:=ye; ZZ(xh,yh); zh:=z;

xl:=gm*xl+(1-gm)*x0; yl:=gm*yl+(1-gm)*y0;ZZ(xl,yl); zl:=z;

xg:=gm*xg+(1-gm)*x0; yg:=gm*yg+(1-gm)*y0; ZZ(xg,yg); zg:=z;

Shod(xl,xg,xh,yl,yg,yh);

if a=true then goto ext else begin inc(iter); goto B; end;

{2} end

else

{3} begin

xh:=xr; yh:=yr; ZZ(xh,yh); zh:=z;

Shod(xl,xg,xh,yl,yg,yh);

if a=true then goto ext else begin inc(iter); goto B; end;

{3} end;

{1} end;

if ((zr>zl)and(zr<=zg)) then

begin

xh:=xr; yh:=yr; ZZ(xh,yh); zh:=z;

Shod(xl,xg,xh,yl,yg,yh);

if a=true then goto ext else begin inc(iter); goto B; end;

end;

if ((zr>zl)and(zr>zg)) then

{4E} begin

if zr

//сжатие

xc:=bt*xh+(1-bt)*x0; yc:=bt*yh+(1-bt)*y0; ZZ(xc,yc); zc:=z;

if zc

{5Ж} begin

xh:=xc; yh:=yc; ZZ(xh,yh); zh:=z;

xl:=bt*xl+(1-bt)*x0; yl:=bt*yl+(1-bt)*y0;ZZ(xl,yl); zl:=z;

xg:=bt*xg+(1-bt)*x0; yg:=bt*yg+(1-bt)*y0; ZZ(xg,yg); zg:=z;

Shod(xl,xg,xh,yl,yg,yh);

if a=true then goto ext else begin inc(iter); goto B; end;

{5} end

{6З} else begin

//уменьшение

l:=l/2;

xh:=(xl+xh)/2; xh:=(xl+xh)/2; ZZ(xh,yh); zh:=z;

xg:=(xl+xg)/2; yg:=(yl+yg)/2; ZZ(xg,yg); zg:=z;

{6} end;

Shod(xl,xg,xh,yl,yg,yh);

if a=true then goto ext else begin inc(iter); goto B; end;

{4} end;

ext: Richedit1.Lines.Add(FloatToStr(xl));

Richedit1.Lines.Add(FloatToStr(yl));

Richedit1.Lines.Add(FloatToStr(zl));

Richedit1.Lines.Add(IntToStr(iter));

end;

procedure TForm1.ZZ(x,y:real);

begin

z:= 2.5 * x*x + 2 * x * y + 3.1 * y*y -2* x-3*y;

end;

procedure TForm1.Shod(xl,xg,xh,yl,yg,yh:real);

var

sigma:real;

begin

ZZ(xl,yl); zl:=z; ZZ(xg,yg); zg:=Z; ZZ(xh,yh); zh:=z;

sigma:=sqrt((sqr(zl-((zl+zg+zh)/2+1))+sqr(zl-((zl+zg+zh)/2+1))+sqr(zg-((zl+zg+zh)/2+1))+sqr(zh-((zl+zg+zh)/2+1)))/3); if sigma

Приложение В

unit Unit1;

type

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure ZZ(x,y,z:real);

procedure Sym(x,y,z:real);

end;

var

X, y,z:real;

z_:real; //значение функции

iter:integer; //число итераций

s,gm,x0,x1,x2,x3:real; //координаты точек

y0,y1,y2,y3:real;

z0,z1,z2,z3:real; // треугольника

al, e:real; // длина стороны симпликса(треугольника)

kx,ky,kz, zz1,zz2:real; //координаты точки k

a,b:boolean; //для цикла

implementation

procedure TForm1.Sym(x,y,z:real);

label

l;

var

a:array[1..4,1..4] of real;//z()xyz ; 1234

k,i:integer;

buf:real;

changed:boolean;

{1} begin

x0:= x; y0:= y;z0:=z;

x1:= x0 + al; y1:= y0;z1:=z;

x2:= x0 + al / 2; y2:= y0 + al * Sin(60);z2:=z;

x3:= x0 + al/ 2; y3:=y0 ;z3:=z0 + al * Sin(60) ;

while (true) do

//for i:=1 to 100 do

{2} begin

ZZ(x0, y0,z0); a[1,1]:=z_; a[2,1]:=x0; a[3,1]:=y0; a[4,1]:=z0;

ZZ(x1, y1,z1); a[1,2]:=z_; a[2,2]:=x1; a[3,2]:=y1; a[4,2]:=z1;

ZZ(x2, y2,z2); a[1,3]:=z_; a[2,3]:=x2; a[3,3]:=y2; a[4,3]:=z2;

ZZ(x3, y3,z3); a[1,4]:=z_; a[2,4]:=x3; a[3,4]:=y3; a[4,4]:=z3;

//сортировка

repeat

changed:=FALSE;

for k:=1 to 3 do

if a[1,k] > a[1,k+1] then

begin

buf := a[1,k]; a[1,k] := a[1,k+1]; a[1,k+1] := buf;

buf := a[2,k]; a[2,k] := a[2,k+1]; a[2,k+1] := buf;

buf := a[3,k]; a[3,k] := a[3,k+1]; a[3,k+1] := buf;

buf := a[4,k]; a[4,k] := a[4,k+1]; a[4,k+1] := buf;

changed := TRUE;

end;

until not changed;

x0:=a[2,1]; y0:=a[3,1]; z0:=a[4,1];

x1 :=a[2,2]; y1:=a[3,2]; z1:=a[4,2];

x2:=a[2,3]; y2:=a[3,3]; z2:=a[4,3];

x3 :=a[2,4]; y3:=a[3,4]; z3:=a[4,4];

ZZ(x3, y3,z3);

//проверка на выход

if (al <= e)or(z_<0) then break;

while (true) do

{3} begin

//отражение относительно 0

kx:= 2/3*(x2+x1+x3)-x0; ky:= 2/3*(y2+y1+y3)-y0; kz:= 2/3*(z2+z1+z3)-z0;

ZZ(x0, y0,z0); zz1:=z_; ZZ(kx, ky,kz); zz2:=z_;

if (z_<0) then goto l;

if (zz1 0)and(ky>0)and(kz>0)and((6*kx*ky+4*kz*kx)<=s) then begin x0:= kx; y0:= ky; z0:= kz; inc(iter); break; end;

//отражение относительно 1

kx:= 2/3*(x2+x0+x3)-x1; ky:= 2/3*(y2+y0+y3)-y1; kz:= 2/3*(z2+z0+z3)-z1;

ZZ(x1, y1,z1); zz1:=z_; ZZ(kx, ky,kz); zz2:=z_; if (z_<0) then goto l;

if (zz1 0)and(ky>0)and(kz>0)and((6*kx*ky+4*kz*kx)<=s)then begin x1:= kx; y1:= ky; z1:= kz;inc(iter); break; end;

//отражение относительно 2

kx:= 2/3*(x0+x1+x3)-x2; ky:= 2/3*(y0+y1+y3)-y2; kz:= 2/3*(z0+z1+z3)-z2;

ZZ(x2, y2,z2); zz1:=z_; ZZ(kx, ky,kz); zz2:=z_;if (z_<0) then goto l;

if (zz1 0)and(ky>0)and(kz>0)and((6*kx*ky+4*kz*kx)<=s)then begin x2:= kx; y2:= ky; z2:= kz;inc(iter); break; end;

//отражение относительно 3

kx:= 2/3*(x2+x1+x0)-x3; ky:= 2/3*(y2+y1+y0)-y3; kz:= 2/3*(z2+z1+z0)-z3;

ZZ(x3, y3,z3); zz1:=z_; ZZ(kx, ky,kz); zz2:=z_;if (z_<0) then goto l;

if (zz1 0)and(ky>0)and(kz>0)and((6*kx*ky+4*kz*kx)<=s) then begin x3:= kx; y3:= ky; z3:= kz;inc(iter); break; end;

//уменьшаем треугольник

al:= al / 2;

x1:= x0 + al; y1:= y0;z1:=z0;

x2:= x0 + al / 2; y2:= y0 + al * Sin(60);z2:=z0;

x3:= x0 + al/ 2; y3:=y0 ;z3:=z0 + al * Sin(60);break; inc(iter);

{3} end;

{2} end;

l: x:= x3; y:= y3;

{1} end;

procedure TForm1.ZZ(x,y,z:real);

begin z_:=(4/3*x*x*z+7/3*y*x*x)-gm*sqr(s-(6*x*y+4*z*x)); end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

RichEdit1.Text :='';iter:=0;

gm:=StrToFloat(Edit1.Text);s:=StrToFloat(Edit2.Text);al:=0.05;e:=0.01;

x:=StrToFloat(Edit3.Text);y:=StrToFloat(Edit4.Text);z:=StrToFloat(Edit5.Text);

Sym(x,y,z);ZZ(x3,y3,z3); //считаем значение функции в найденной точке

RichEdit1.Text:= RichEdit1.Text + 'Число итераций '+ IntToStr(iter) + #13;

RichEdit1.Text:= RichEdit1.Text + 'x3= '+ FloatToStr(x1) +'; y3= '+ FloatToStr(y1)+'z3= '+ FloatToStr(z1) + #13;

ZZ(x3,y3,z3); RichEdit1.Text:= RichEdit1.Text +'f(x,y,z)= '+ FloatToStr(z_) +'('+FloatToStr(6*x3*y3+4*z3*x)+')'+ #13;end;end.

Характеристики

Список файлов курсовой работы