85976 (612617), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Если выполнено соотношение: , то выполнено и соотношение , т.е. .

Доказательство. Если , то совокупности исходных признаков и , выполненных для и , совпадают. Из теоремы 2.6.1 вытекает, что для каждого класса толерантности и одновременно содержатся или не содержатся в нем. Таким образом, и имеют одинаковые наборы канонических признаков, т.е. . Теорема доказана.

Следующая теорема, принадлежащая С.М. Якубович, дает условия того, что некоторое множество является классом толерантности, т.е. того, что некоторый признак является каноническим.

2.6.4 Теорема

Пусть имеется карта . Для, того чтобы элемент покрытия являлся классом порожденной толерантности , необходимо и достаточно, чтобы для любого подмножества , из следоаало бы .

Доказательство. Сначала предположим, что множество не является классом толерантности. Так как является предклассом, то единственная причина, по которой может не быть классом, состоит в том, что существует , не входящий в и толерантный ко всем элементам . Значит, для всякого существует множество , содержащее и . Таким образом, множества образуют покрытие множества . Но все содержат элемент , не входящий в . Следовательно, пересечение не содержится в . Итак, мы доказали достаточность условия, указанною в теореме 2.6.4. Докажем теперь необходимость. Пусть существует такое подмножество , что , но . Значит, существует элемент , не входящий в , но входящий во все . Этот элемент толерантен ко всем . Значит, не является максимальным предклассом, т.е. не является классом толерантности. Теорема доказана.

Рассмотрим еще так называемые сопряженные и производные пространства толерантности.

Пусть – произвольное пространство толерантности, и пусть – некоторая совокупность классов толерантности. Множество естественным образом превращается в пространство толерантности при помощи следующего определения: , если .

Определение. Если совпадает с множеством всех классов, то пространство называется сопряженным к и обозначается (таким образом, ).

Рассмотрим несколько примеров.

В пространстве элемент , содержащий все числа, толерантен ко всем элементам и, стало быть, входит во все классы толерантности. Значит, в пространствe – полное отношение.

На рис. 4 изображен циклический граф из 7 вершин. Классами толерантности являются "ребра", а толерантны классы, соответствующие смежным ребрам. Ясно, что для линейного графа из вершин сопряженным является линейный граф из вершин.

На рис. 5 изображен циклический граф. Сопряженным к нему будет циклический граф из того же числа верин (если количество вершин исходного графа было больше трех).

На рис. 6 изображено пространство толерантности , состоящее из двух циклов, зацепленных в одной точке. Сопряженное пространство состоит из таких же циклов с более сложным зацеплением. Но сопряженное к последнему пространство по существу совпадает с исходным пространством .

Определение. Пусть – базис. Тогда пространство называется сопряженным к , относительно данного базиса .

Определение. Второе сопряженное пространство относительно некоторого базиса в и базиса в называется производным от исходного пространства толерантности .

Итак, производное пространство толерантности определяется не однозначно, а с точностью до выбора базисов. Этот произвол исключается, когда и имеют по единственному базису.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Для линейного графа с вершинами производное пространство также есть линейный граф, но с вершинами (см. рис. 4)

2. Для циклического графа с вершинами производное пространство "совпадает" с исходным пространством (см. рис. 5).

3. Та же ситуация для зацепленных циклических графов (см. рис. 6).

4. Для пространства производное пространство состоит из одного элемента.

2.6.5 Теорема

Если – произвольное пространство толерантности, а – произвольный базис в нем, то существует такой базис в сопряженном пространстве и такое инъективное отображение , что при и из следует .

Доказательство. Обозначим через множество классов из базиса , содержащих . Для любых классов и из имеем , т.е. . Итак, множества суть предклассы в . Значит, для всякого существует класс в , для которого . Зафиксируем для каждого некоторый класс и множество этих классов обозначим через . Мы имеем сюръекцию , которое каждому сопоставляет класс . Покажем, что содержит некоторый базис . Действительно, если , то существует , содержащийся в и . Тогда и содержаться в , а значит, и . Теперь для каждого выберем ровно один элемент , для которого . Множество таких элементов обозначим через . Ясно, что и возникающая при этом сюръекция на инъективно. Тогда обратное к нему отображение инъективно отображает на подмножество множества . Поэтому его можно рассматривать как инъективное (но уже в общем случае не сюръективное) отображение. Пусть теперь и, где и и . Тогда существует класс , содержащий и . Значит, . Но из и следует, что , т.е. . Теорема доказана.

3. Приложение понятий эквивалентности и толерантности в различных областях знаний и практики человека

3.1 От одинаковости к эквивалентности

Возьмем стандартный комплект шахматных фигур. С точки зрения шахматного игрока все белые пешки в нем одинаковы. Расставляя их на шахматной доске, шахматист будет выбирать их из коробки в произвольном порядке. В начальной позиции все они будут поставлены на вторую горизонталь и шахматист не будет размышлять над вопросом, куда ему лучше поставить выбранную наугад пешку. Точно так же любая из черных ладей при расстановке фигур перед игрой может с равным успехом попасть на королевский или ферзевый фланг. Эти ладьи одинаковы.

Но представим себе другую ситуацию: этот же комплект шахмат отдан ребенку, который играет в солдатики. Для него отдельные пешки могут приобрести индивидуальность, получить имена и метки. Однако в тот момент, когда этот же мальчик начнет использовать шахматы по прямому назначению, пешки одного цвета опять станут одинаковыми.

Возьмем еще одну ситуацию: шахматные фигуры в процессе игры. Предположим, что шахматист стоит перед выбором: отдать ли противнику пешку, проникшую уже на седьмую горизонталь и грозящую вот-вот превратиться в ферзя, или пешку, мирно стоящую в начальной позиции. Ясно, что (при прочих равных условиях) первая пешка гораздо ценней и шахматист уже не считает обе свои пешки одинаковыми. Правда, в этой ситуации объектами являются не сами по себе деревянные фигурки, а "пешки в данной позиции". В позиции этюдного характера каждая пешка играет свою индивидуальную роль, и они, разумеется, не одинаковы для хорошего шахматиста.

Разница здесь того же характера, как между словом русского языка и словом в данном контексте. Например, слова "пешка" и" пешка", хотя и напечатаны разным шрифтом, одинаковы, как слова русского языка. Но в контекстах "Гроссмейстер эффектно пожертвовал пешку" и "Он был только пешкой в чужих руках" это слово имеет разные значения. Иначе говоря, слова одинаковы, а значения различаются.

Аналогично, об одинаковости людей мы можем говорить в различном смысле. С профессиональной точки зрения продавца готового платья люди, имеющие один и тот же пол, рост и размер, неразличимы. Они одинаковы в том смысле, что им нужно демонстрировать одни и те же вещи. Впрочем, хороший продавец различает покупателей по их вкусам, а хороший портной понимает, что кроме роста и размера есть индивидуальные особенности фигуры. Но для работника склада, который выдает форму (скажем, штормовые костюмы для альпинистов), существен только размер. Для профессора анатомии малосущественно, на чьем трупе он будет демонстрировать студентам устройство человеческих органов. Но уже для профессора психиатрии нет одинаковых больных.

С точки зрения инспектора по кадрам люди с тождественными анкетными данными одинаковы. Но для научного руководителя лаборатории нет одинаковых и взаимозаменимых сотрудников.

Когда мы приглашаем к себе гостей, то нам совершенно не все равно, кто придет и кого приведет с собой. С точки зрения индивидуальных человеческих взаимоотношений ни один человек не равен другому. Когда мы говорим о всеобщем равенстве людей, то понимаем под этим в действительности равенство прав перед законом, равноценность личностей, но не равенство индивидуальностей.

Рассмотрим множество животных. Мы разобьем их на следующие шесть групп: 1 – сухопутные млекопитающие, 2 – обитающие в воде, 3 – насекомые, 4 – птицы, 5 – мифические существа, 6 – пресмыкающиеся. Будем считать по определению животных, входящих в одну группу, одинаковыми. Можно вообразить ситуацию, когда одинаковые в этом смысле животные взаимозаменимы. Например, когда учителю биологии надо показать ученикам представителей разных типов.

Если мы внимательно проанализируем, что общего в употреблении слова "одинаковость" во всех приведенных примерах, то мы увидим следующее.

Во-первых, одинаковость всегда понимается как бинарное отношение на некотором множестве объектов. Во-вторых, содержание этого отношения зависит от ситуации, в которой мы рассматриваем эти объекты, или от наблюдателя, который с выбранной им точки зрения судит об одинаковости объектов. В-третьих, слово "одинаковость" попадает в один синонимический ряд со словом "взаимозаменимость".

Действительно, одинаковость белых пешек или других одноименных и одноцветных фигур состоит в том, что любая из них может заменить другую. Каким бы шрифтом мы не печатали слово в словаре, оно остается таким же словом. Кажется очень естественным предположить, что в данной ситуации взаимозаменяемы те и только те объекты, которые одним и тем же набором формальных признаков, существенных в данной ситуации.

Характеристики

Список файлов курсовой работы