85976 (612617), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Доказательство. Пусть и принадлежат ядру . По лемме 2.3.3 множество состоит из всех элементов, входящих хотя бы в один из классов Но то же самое справедливо и для множества , т.е. или . Обратно. Предположим, что , и пусть принадлежит некоторому классу . Тогда для любого будет выполнено соотношение . В силу 23 выполнено и . Значит, (поскольку – максимальный предкласс). Аналогично показывается, что всякий класс, содержащий , содержит одновременно . Итак, и принадлежат одной и той же совокупности классов, а значит, и общему ядру. Лемма доказана.

Следствие. Отношение есть эквивалентность, а непустые ядра сложат для классами эквивалентности.

Отметим очевидное включение

2424()

В случае эквивалентности классы не пересекаются и каждое ядро совпадает со своим классом толерантности: , и, кроме того, для любого .

Заметим, что при обобщении понятия эквивалентности – переходе к толерантности – понятие класса эквивалентности расщепляется на два разных понятия – класс толерантности и ядро.

2.5.2 Определение

Пространство толерантности называется безъядерным, если каждое ядро состоит не более чем из одного элемента.

Для безъядерных пространств, толерантности основная классификационная теорема (тeopeмa 2.3.1) может быть уточнена так:

Теорема. Пусть – безъядерное пространство толерантности, а – множество всех есо классов толерантности. Тогда существует инъективное отображение такое, что элементы из толерантны в том и только том случае, когда толерантны их образы в .

Для конечных пространств с нетривиальными ядрами можно применить тот же прием, который был уже использован для задания признаками эквивалентности. А именно, выберем в каждом ядре свою нумерацию. Сопоставим каждому элементу конечного пространства набор номеров , где – те же самые номера, что и в 3, а – номер элемента в своем ядре. Ясно, что элемент однозначно определяется целочисленными признаками , а толерантность пары определяется совпадением одного из признаков .

Пусть теперь – произвольное прострапсизо толерантности. Обозначим через множество его ядер и определим толераниюсть ядер и условием: , если существуют представители и , толерантные в . Так как элементы одного ядра имеют общее множество толерантных с ними элементов, то из , следует, что для любых и выполнено . Мы получили новое пространство . Можно убедиться, что оно будет безъядерным. Ясно Ясно также, что равносильно , где и – содержащие эти элементы ядра.

Теперь заметим, что ядра можно было бы определять не с помощью полного запаса классов, а только с помощью классов, принадлежащих некоторому базису . Пусть – некоторая совокупность классов из базиса . Ядром относительно базиса мы назовем совокупность всех элементов из , каждый из которых входит во все эти классы и не входит ни в какие другие классы из базиса .

Лемма. Разиение множества на ядра относительно базиса совпадает с разбиением множества на обычные ядра.

Доказательство. Буквально повторяя доказательство леммы 2.5.1, мы получим, что ядра, определенные по базису – это классы эквивалентности по . Значит, они совпадают с исходными ядрами.

Теорема. Если пространство толерантности имеет конечный базис , то совокупность всех классов толерантности в конечна.

Доказательство. В силу леммы 2.5.2 число ядер конечно, т.е. конечно пространство ядер . Значит, имеет конечное число классов толераитпости. Но так как равносильно , то каждый класс толерантности в есть объединение ядер, образующих соответствующий класс толерантности в . Таким образом, совокупность всех классов толерантности в конечна.

Обратим внимание, что ни в формулировке теоремы, ни в ее доказательстве не предполагается, что конечно. Оно и фактически может быть бесконечным за счет бесконечности ядер.

2.6 Дальнейшее исследование структуры толерантностей

Рассмотрим множество и его покрытие . Пару мы будем далее называть картой.

Произвольная карта позволяет ввести на множестве отношение толерантности , определенное условием: , если существует такое , что одновременно и . Так определенную толерантность мы назовем толерантностью, порожденную картон . Очевидно, каждое является предклассом порожденной толерантности .

Если – пространство толерантности и – множество всех классов толерантности в этом пространстве, то, в силу леммы 2.3.3 толерантность, порожденная картой , совпадает с исходной толерантностью . Аналогичное утверждение справедливо и для произвольного базиса в пространстве .

Карта называется канонической, если каждый элемент покрытия оказывается классом толерантности, порожденной исходной картон . Легко видеть, что если карта является канонической, то содержит некоторый базис , порожденный толерантности: .

На рис. 1 изображена некоторая карта , а справа система классов порожденной толерантности (впрочем, в данном случае эта система состоит из одного класса). Этот пример показывает, в частности, существование неканонических карт.

Каждая карта естественным образом приводит к всюду определенному соответствию

2525()

которое каждому элементу сопоставляет все те , для которых . Наоборот, если дано некоторое всюду определенное соответствие , то оно порождает покрытие множества , состоящее из прообразов элементов из при соответствии . Таким образом, тогда и только тогда, когда существует такое , что есть множество элементов из , которым соответствие сопоставляет . Обозначим для дальнейшего прообраз элемента при соответствии через .

По соответствию 25 можно построить отображение,

2626()

которое каждому элементу сопоставляет непустое множество элементов , для которых . С помощью отображении 26 толерантность , порожденная исходной картой , выражается условием , если . Можно ввести еще и отношение , определяемое условием: , если . , очевидно, является эквивалентностью.

Посмотрим на примерах, как канонические признаки выражаются через исходные признаки карты. В примере на рис. 1 Имеем .

В примере на рис. 2а, изображено соответствие: , где , . Нa рис. 2б изображены классы порожденной толерантности. Легко проверить, что , .

На рис 3 исходная карта уже является канонической. Но если взять каноническую карту с полным набором классов толерантности, то получим, что . Посмотрим далее, каким образом и всегда ли канонические признаки могут быть выражены через исходные.

2.6.1 Теорема

Для произвольной карты любой класс порожденной толерантности всегда может быть выражен через элементы покрытия с помощью операций пересечения и объединения.

Доказательство. Рассмотрим некоторый класс толерантности . Пусть . По определению класса, для всякого , , а по определению толераптности существует признак такой, что . Тогда 1) ; 2) . Действительно, 1) следует из того, что для всех признаков , a 2) следует из того, что всякий , принадленжащий , толерантен к . Поскольку – произвольный элемент из , по свойству максимальности класса . Отсюда вытекает, что , что доказывает теорему.

Подчеркнем, что канонические признаки оправляются через исходные без перехода к дополнениям. О связи между исходными и каноническими признаками говорит также.

2.6.2 Теорема

Существует такой базис классов порожденной толерантности, что каждый из классов этого базиса содержит некоторое множество .

Доказательство. По определению толерантности в для всякого любая пара и толерантна. Значит, есть предкласс. Тогда по лемме 2.3.2 получается существует класс . Выберем для каждого один из классов . Очевидно, выбранная совокупность классов удовлетворяет условию 1) из определения 1.4.1. Значит, она содержит некоторый базис .

Следствие. Когда конечно, то существует базис классов толерантности, число классов в котором не превышает количества исходных признаков.

Рассмотрим исходную карту и полученную из нее каноническую карту , где – базис. Как уже было отмечено, отношения толерантности, издаваемые на множестве обьектов обеими картами, совпадают.

Несколько иначе обстоит дело с отношением эквивалентности , задаваемым на с помощью определения, приведенного в начале параграфа. Пусть – отношение эквивалентности, заданное исходным множеством признаков , а – отношение эквивалентности, заданное по 25. Как показывает пример на рис. 1, отношения и могут и не совпадать. В общем, случае справедлива

2.6.3 Теорема

Характеристики

Список файлов курсовой работы