85935 (612611)
Текст из файла
Содержание
Введение 3
1. Понятие эвристики и особенности применения эвристики в математике 6
1.1. Понятие доказательства в математике 6
1.2. Эвристика как метод научного познания 10
1.3. Эвристический подход к построении математических доказательств в рамках логического подхода 19
2. Эвристические приемы построения математических доказательств 23
2.1. Эвристический метод построения математических доказательств 23
2.2. Особенности применения эвристического подхода при доказательстве теорем 28
Заключение 39
Список литературы 42
Введение
Логическое доказательство математических построений известно еще с Древней Греции. Греческие математики пифагорейской школы уже в VI—V веках до нашей эры делали попытки расположить цепь математических доказательств в определенную последовательность, чтобы переход от одного понятия к другому не вызывал ни у кого никаких сомнений. Этот «дедуктивный» метод получил дальнейшее развитие у Эвклида, Архимеда и Апполония. Понятие доказательства у них уже ни в чем существенном не отличается от нашего. Математика и, в частности, геометрия, стала наукой лишь тогда, когда в ней начали систематически применять логические доказательства, когда ее положения стали выводить не только путем непосредственных измерений, но и при помощи умозаключений, когда те или иные ее положения начали устанавливать в общем виде.
Обобщенные приемы умственной деятельности делятся на две большие группы — приемы алгоритмического типа и эвристические. Остановимся сначала на характеристике приемов алгоритмического типа.
Это приемы рационального, правильного мышления, полностью соответствующего законам формальной логики. Точное следование предписаниям, даваемым такими приемами, обеспечивает безошибочное решение широкого класса задач, на который эти приемы непосредственно рассчитаны. Формирование приемов мыслительной деятельности алгоритмического типа, ориентирующих на формально-логический анализ задач, является необходимым, но не достаточным условием развития мышления. Необходимо оно, во-первых, потому, что содействует совершенствованию репродуктивного мышления, являющегося важным компонентом творческой деятельности (особенно на начальном и конечном этапах решения проблем). Во-вторых, эти приемы служат тем фондом знаний, из которых ученик может черпать « строительный материал» для создания, конструирования методов решения новых для него задач. Недостаточным формирование алгоритмических приемов является потому, что не соответствует специфике продуктивного мышления, не стимулирует интенсивное развитие именно этой стороны мыслительной деятельности.
Эвристические методы решения задач - это система принципов и правил, которые задают наиболее вероятностные стратегии и тактики деятельности решающего, стимулирующие его интуитивное мышление в процессе решения, генерирование новых идей и на этой основе существенно повышающие эффективность решения определенного класса задач.
Эвристические приемы непосредственно стимулируют поиск решения новых проблем, открытие новых проблем, открытие новых для субъекта знаний и тем самым соответствуют самой природе, специфике творческого мышления. В отличии от приемов алгоритмического типа, эвристические приемы ориентируют не на формально-логический, а на содержательный анализ проблем. Они направляют мысль решающих на проникновение в суть описываемого в условии предметного содержания, на то, чтобы за каждым словом они видели его реальное содержание и по нему судили о роли в решении того или иного данного. Многие эвристические приемы стимулируют включение в процесс решения проблем наглядно-образного мышления, что позволяет использовать его преимущество перед словесно логическим мышлением — возможность целостного восприятия, видения всей описываемой в условии ситуации. Тем самым облегчается течение характерных для продуктивного мышления интуитивных процессов.
Целью данной работы является рассмотрение эвристических логических подходов к построению доказательств.
В работе поставлены следующие задачи:
- рассмотреть понятие доказательства в математике и его особенности;
- рассмотреть эвристику как метод научного познания;
- рассмотреть особенности эвристического подхода в рамках логического;
- рассмотреть эвристические приемы построения математических доказательств.
При написании работы были использованы труды таких авторов, как Серебряникова О.Ф., Лакатоса И., Писаревского Б. М., Заесенок В. П., Саранцева Г.И., Беляева Е.А, Перминова В.Я., Калошиной И.П., Миничкиной Н.В., Харичевой Г.И., Миничкиной Н.В., Адамара Ж., Белла Э.Т., Биркгофа Г., Болтянского В.Г., Куранта Р., Робинса Г., Шакурова Р.Х.
1. Понятие эвристики и особенности применения эвристики в математике
1.1. Понятие доказательства в математике
Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, законов и т.п. соответствующей науки) и демонстрация (сама процедура развертывания доказательства; последовательная цепь умозаключений, когда n-ное умозаключение становится одной из посылок n+1-го умозаключения). Выделяются правила доказательства, указаны возможные логические ошибки.
Математическое доказательство имеет много общего с теми принципами, которые устанавливаются формальной логикой. Более того, математические правила рассуждений и операций, очевидно, послужили одной из основ в разработке процедуры доказательства в логике. В частности, исследователи истории становления формальной логики считают, что в свое время, когда Аристотель предпринял первые шаги по созданию законов и правил логики, он обратился к математическим и к практике юридической деятельности. В этих источниках он и находил материал для логических построений задуманной теории.
В XX в. понятие доказательства утратило строгий смысл, что произошло в связи с обнаружением логических парадоксов, таившихся в теории множеств и особенно в связи с результатами, которые принесли теоремы К. Геделя о неполноте формализации.1
Прежде всего, это коснулось самой математики, в связи, с чем было высказано убеждение, что термин "доказательство" не имеет точного определения. Но если уж подобное мнение (имеющее место и поныне) затрагивает самое математику, то приходят к выводу, согласно которому доказательство следует принять не в логико-математическом, а в психологическом смысле. При том подобный взгляд обнаруживают и у самого Аристотеля, считавшего, что доказать означает провести рассуждение, которое убедило бы нас в такой степени, что, используя его, убеждаем других в правоте чего-либо. Определенный оттенок психологического подхода находим у А.Е. Есенина-Вольпина. Он резко выступает против принятия истины без доказательства, связывая это с актом веры и далее пишет: "Доказательством суждения называют честный прием, делающий это суждение неоспоримым". Есенин отдает отчет, что его определение нуждается еще в уточнениях. Вместе с тем, сама характеристика доказательства как "честного приема" не выдает ли апелляцию к нравственно-психологической оценке?
Вместе с тем обнаружение теоретико-множественных парадоксов и появление теорем Геделя как раз содействовали и разработке теории математического доказательства, предпринятой интуиционистами, особенно конструктивистского направления, и Д. Гильбертом.
Иногда считают, что математическое доказательство носит всеобщий характер и представляет идеальный вариант научного доказательства. Однако оно - не единственный метод, есть и другие способы доказательных процедур и операций. Верно лишь то, что у математического доказательства немало сходного с формально-логическим, реализуемом в естествознании, и что математическое доказательство имеет определенную специфику, равно, как и набор приемов-операций. На этом мы и остановимся, опуская то общее, что роднит его с другими формами доказательств, то есть не развертывая во всех шагах (даже и основных) алгоритм, правила, ошибки и т.п. процесса доказательства.
Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность (конечно, в математическом, то есть как выводимость, смысле) какого-либо утверждения.
Свод правил, применяемых в доказательстве, сформировался вместе с появлением аксиоматических построений математической теории. Наиболее четко и полно это было реализовано в геометрии Эвклида. Его "Начала" стали своего рода модельным эталоном аксиоматической организации математического знания и долгое время оставались таковыми для математиков.
Высказывания, представляемые в виде определенной последовательности, должны гарантировать вывод, который при соблюдении правил логического оперирования и считается доказанным. Необходимо подчеркнуть, что определенное рассуждение является доказательством только относительно некоторой аксиоматической системы.
При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вся процедура обоснования истинности вывода осуществляется в рамках принимаемой аксиоматики. Академик А.Д Александров в связи с этим подчеркивает. Можно тысячи раз измерять углы треугольника и убедиться, что они равны 2d2. Но математику этим ничего не докажешь. Ему докажешь, если выведешь приведенное утверждение из аксиом. Здесь математика и близка методам схоластики, которая также принципиально отвергает аргументацию опытно данными фактами.
К примеру, когда была обнаружена несоизмеримость отрезков, при доказательстве этой теоремы исключалось обращение к физическому эксперименту, поскольку, во-первых, само понятие "несоизмеримость" лишено физического смысла, а, во-вторых, математики и не могли, имея дело с абстракцией, привлекать на помощь вещественно-конкретные протяженности, измеряемы чувственно-наглядным приемом. Несоизмеримость, в частности, стороны и диагонали квадрата, доказывается, опираясь на свойство целых чисел с привлечением теоремы Пифагора о равенстве квадрата гипотенузы (соответственно - диагонали) сумме квадратов катетов (двух сторон прямоугольного треугольника). Или когда Лобачевский искал для своей геометрии подтверждение, обращаясь к результатам астрономических наблюдений, то это подтверждение осуществлялось им средствами сугубо умозрительного характера. В интерпретациях неэвклидовой геометрии, проведенных Кэли - Клейном и Бельтрами, также фигурировали типично математические, а не физические объекты3.
Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках. И опять же, как в случае с понятием математического объекта, речь идет не просто о степени абстракции, а о ее природе. Дело в том, что высокого уровня абстрагирования доказательство достигает и в ряде других наук, например, в физике, космологи и, конечно, в философии, поскольку предметом последней становятся предельные проблемы бытия и мышления. Математику же отличает то, что здесь функционируют переменные, смысл которых - в отвлечении от любых конкретных свойств. Напомним, что, по определению, переменные - знаки, которые сами по себе не имеют значений и обретают последние только при подстановке вместо них имен определенных предметов (индивидные переменные) или при указании конкретных свойств и отношений (предикатные переменные), или, наконец, в случаях замены переменной содержательным высказыванием (пропозициональная переменная).
Отмеченной особенностью и обусловлен характер крайней абстрактности используемых в математическом доказательстве знаков, равно, как и утверждений, которые, благодаря включению в свою структуру переменных, превращаются в функции высказывания.
Таким образом, можно сделать следующие выводы.
Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность какого-либо утверждения.
При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках.
1.2. Эвристика как метод научного познания
Вопросы понимания механизмов человеческого мышления, выработки приемов повышения его эффективности в те далекие времена больше занимали, говоря сегодняшним языком, представителей гуманитарных профессий: философов, теологов, психологов. Первые упоминания об эвристике, учении о продуктивных методах творческого мышления, относятся к временам античности. Наиболее ранние попытки выявить особенности творческого подхода при решении задач нашли отражение в трудах Архимеда, Евклида, Апполония Бергамского, Аристея-старшего. Сам же термин "эвристика" впервые появился в трудах греческого математика Паппа Александрийского, жившего во второй половине III века нашей эры.
Эвристика (от греч. "эврика" - Я нашел) - наука о вспомогательных, дополнительных к основным (эксперимент, наблюдение и т.п.) приемах получения знаний.
В научной литературе это понятие не имеет единого толкования. В некоторых работах об интенсификации научно-технического творчества эвристика отождествляется с психологией научного творчества: "Психология научного творчества - эвристика изучает, как решаются научные задачи, требующие, кроме знаний и умений, также и сообразительности, догадки".
Другие психологи считают, что эвристика - это "абстрактно-аналитическая наука, изучающая один из структурных уровней организации творческой деятельности и ее продуктов".
Следующие определения эвристики:
1.Специальные методы, используемые в процессе открытия (создания) нового (эвристические методы).
2.Наука, изучающая продуктивное творческое мышление (эвристическую деятельность).
3.Восходящий к Сократу метод обучения (майевтика) .
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
