85935 (612611), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Все эти достоинства объясняют, почему именно дедуктивные рассуждения являются наиболее убедительными методами рассуждения, а очень часто в нашей литературе они просто отождествляются с аргументацией. Однако убедительность аргументации, как нетрудно убедиться, зависит прежде всего от характера тех аргументов, или доводов, которые служат посылками рассуждения. Очевидно, что если посылки дедукции будут ложными, то и заключение также будет ложным. Фундаментальный принцип дедукции состоит в том, что из истины нельзя по ее правилам вывести ложное заключение. Если посылки дедукции являются вероятными суждениями, тогда и заключение будет вероятным. Этот принцип относится и к исчислению вероятностей, аксиомы которой устанавливают, как из исходных вероятностей получаются другие вероятности. Все это показывает, таким образом, что дедуктивные умозаключения служат логическим механизмом преобразования информации, который не может превратить истину в ложь, а ложь в истину, а вероятность в невероятность.

Однако логика помогает не только преобразовывать существующую информацию и сохранять ее истинностное значение, но и искать новую информацию с помощью особых форм рассуждения, которые в отличие от дедуктивных умозаключений мы назовем эвристическими. Термин “эвристика” адекватно характеризует сущность недедуктивных рассуждений, которые ориентированы именно на поиск истины. Соответственно этому к эвристическим методам относятся те методы аргументации, которые основываются, во-первых, на недедуктивных способах рассуждений, во-вторых, используют определенные эвристические принципы для поиска истины. Общая черта, характерная для всех методов эвристической аргументации, — это вероятность их заключений и правдоподобный характер используемых рассуждений. Располагая истинными посылками в правдоподобном рассуждении, мы не можем гарантировать истинность его заключения. Можно поэтому сказать, что их посылки лишь с той или иной степенью вероятности подтверждают заключение. Самым распространенным способом таких рассуждении, известным еще с античной эпохи, является индукция, в которой на основании исследования определенного числа элементов определенного множества объектов, делается заключение обо всем множестве или по крайней мере о некоторых неисследованных его подмножествах или элементах. В науке такой процесс переноса известного знания на неизвестные случаи называют экстраполяцией, а в статистике — заключением от образца к популяции или, как принято в нашей литературе, — от выборки к генеральной совокупности. В связи с указанными соображениями можно рассматривать заключение от выборки к генеральной совокупности как статистическую индукцию.

Другим видом эвристических, или вероятностных, рассуждений является аналогия, основанная на сходстве некоторых признаков двух или нескольких объектов, причем это сходство используется для экстраполяции определенных признаков одного или нескольких объектов на другой объект. Очевидно, что заключение аналогии в принципе тоже будет всегда лишь вероятным, но не достоверно истинным. То же самое следует сказать о статистических обобщениях.

Различие между дедуктивными, или демонстративными, рассуждениями и рассуждениями эвристическими, или недемонстративными, можно представить наглядно в виде соответствующих схем. Типичными элементарными схемами дедуктивных рассуждений являются, во-первых, заключение от истинности основания к истинности следствия (modus ponens), во-вторых, заключение от ложности следствия к ложности основания (modus tollens)

В отличие от этого все недемонстративные, или эвристические, рассуждения выражаются гипотетической формой заключения.

2. Эвристические приемы построения математических доказательств

2.1. Эвристический метод построения математических доказательств

Начало эвристического метода некоторые видят у Сократа, который путем вопросов наводил слушателя на правильное решение поставленной проблемы. Таким образом он заставлял мыслить слушателя, последовательно подходя к решению ряда более легких проблем Р , Q , R …, от которых зависело решение основной проблемы W. Но при этом следует отметить, что решение этих промежуточных проблем Р , Q , R …Сократ обычно сам подсказывал, оставляя слушателям продумать подсказанное им решение и убедиться в его правильности. Таким образом, хотя за слушателем и оставалось в некоторой мере самостоятельное мышление, но он двигался несамостоятельно, он, так сказать, все время подталкивался Сократом. В виду этого сократовский метод едва ли можно признать за образец чистой эвристической методы. Эвристический метод в современном смысле требует значительно больше инициативы от учащихся. Кроме того, в его понятие входит и то, на что Сократ не обращал внимания, естественный ход мысли, а именно тот, который вел к открытию изученной истины. Всякий эвристический метод является в настоящее время в некоторой мере и генетическим, но, конечно нельзя утверждать и обратное. Учащемуся предлагается, правда, не исключая некоторых наведений со стороны учителя, проходить тот путь, который прошел или мог пройти открывающий эти истины.

Правильнее искать начало эвристического метода не у Сократа, а гораздо позже – у Руссо в его педагогических взглядах или, лучше сказать, вообще в педагогике его времени, так как он в своем Эмиле отражает общее настроение педагогической мысли его эпохи. Здесь уместно вспомнить и о Л.Бертране, который пытается, впрочем только в начале, применить элементарную математику в том порядке, какой может открываться «охотником». В учебниках конца XVIII и начале XIX века, следуя идеям Руссо, приводится эвристический метод, приводящий к вопросникам и к задачам для самостоятельного решения.

Вне сомнения в дальнейшем методисты охладевают к эвристическому методу. Но увлечение им сыграло большую роль в истории методики математики. Учебники XVII и XVIII веков не содержат, как наши учебники, задачи. Даже наиболее крупный методист Х.Вольф говорит не о самостоятельно решаемых задачах, но о примерах, только иллюстрирующих теорию. Эвристический метод вызывался еще другой педагогической идеей, защищаемой Руссо, выдвигавшим, в противоположность односторонне-объективной ­– односторонне-субъективную методу с формально воспитательным принципом развития способностей. Конечно для этой цели самостоятельное мышление учащегося имела первенствующее значение. Впервые задачи появляются только в конце первой четверти XIX века в учебнике неизвестного методиста Ома.

Никто, конечно, сейчас не будет возражать против необходимости самостоятельной работы учащегося над решением задач. Такая форма эвристического приема является в настоящее время необходимым составным элементом математического образования.

Методическая проблема ставится только о том, следует ли, и если следует, то в какой мере употреблять эвристический метод при изучении основного материала изучаемого предмета и затем – в какой форме следует употреблять эвристические приемы при решении задач в классе?

Здесь, прежде всего, следует согласиться с тем, что при первом изложении доказательств или решения задачи эвристический метод является совершенно неподходящим.

В самом деле, он обращается в индивидуальное обучение ученика. Ученик, отвечая на вопрос, не будет вместо учителя обучать класс. Последний не в состоянии выдержать внимание, идущее за изложением учащегося, корректируемым учителем.

Сама идея, что метод изложения должен совпадать с порядком открытия, неправильна. При всяком открытии идут ощупью, причем через ряд ошибок, которые исправляются, и при этом руководятся аналогией и индукцией. Самый процесс закулисной мыслительной работы совсем иной, чем тот, по которому следует вести ученика. Энциклопедисты XVIII в много говорили о происхождении, но сами обладали очень плохим историческим чутьем и их дикари, а также греки и римляне очень далеки были от настоящих. Все их представления о том процессе, который ведет к открытиям, строились априорно, а не как выводы из психологического анализа систематически накопленного материала⁸.

Но следует идти дальше. Первое изложение доказательств не только не должно вестись учеником вместе с учителем, но оно и не должно прерываться обращением ко всему классу. Все должно быть излагаемо систематично и во вполне обработанном виде. Ясно, что изложение может быть только синтетическим. Таким образом вместе с тем решается и вопрос о синтезе и анализе.

Только тогда, когда учитель может с основанием предположить, что изложенное в обработанной синтетической форме усвоено учащимся, он может привлечь учащегося к самостоятельному мышлению. Оно может тогда носить чисто уже аналитический характер, т.е. учитель может в некоторой мере разъяснять учащемуся, почему он поступает так, а не иначе, что должно наводить на мысль провести такие-то прямые или описать такие-то окружности. Я думаю, что это является более полезным, чем воспроизведение доказательства одним из учащихся, что в большинстве случаев, конечно, не вполне удается. Для всего класса это едва является очень полезным, так как и здесь за изложением ученика класс не в состоянии следовать и изложение это ни в коем случае не служит ни к большему разъяснению хода доказательства, ни к закреплению его в памяти.

При вторичном проведении доказательства, эвристические приемы уже вполне допустимы, но не в отношении одного ученика, вызванного к доске, а всего класса. Учитель может в своем изложении вставлять обращение к некоторым определенным ученикам, им избранным, или к тем, которые выявятся при вызове учителя на ответ по предлагаемому им вопросу. Но только по получении ответа из класса учителем, следует продолжать изложение так, как если этого ученического ответа не было, т.е. следует ответ формулировать самому учителю в вполне отделанной и точной форме.

Какова роль учителя при решении классных задач у доски? Эта методическая проблема вовсе не так проста, как это кажется на первый взгляд. Предоставить все ученику, даже хорошему, если только задача не решается по трафарету, представляет ошибку.

Но ошибочным является также все брать на себя и превращать ученика в автомат, воспроизводящий на доске ход мышления учителя. Очевидно здесь приходится выбирать золотую середину.

Следует считаться с тем, что ученик у доски, должен обнаружить в ограниченное время догадку, что не всегда можно требовать не только от среднего, но и от хорошего ученика, не быстро соображающего. Учитель же не должен просто подсказывать, а должен наводить и в этом наведении должно обнаруживаться методическое искусство учителя. Только в том случае, когда намеки определенно не дают результатов, можно прибегнуть к подсказке. И здесь тоже не должно все ограничиваться учеником. Учитель должен сам повторять решение; только в этом случае решение сможет быть усвоено всем классом.

Перед первой империалистической войной вошло в моду в школе то, что называли анализом решения задач, т.е. изложение по существу психических мыслительных процессов, приводящих к излагаемому решению.

В письменных работах на аттестат зрелости в Варшавском Округе за 1914 год эта часть оказывалась уродливо раздутой, в то время , как в самом решении обычно выпадало существенное – доказательство правомерности вспомогательных построений. Я считаю, конечно, все это методической ошибкой, при неправильном понимании эвристического метода.

Письменные работы должны содержать только окончательную обработку решения, что же касается закулисной мыслительной работы, то полностью её и нельзя изложить, а если стараться её изложить возможно подробней, то для более трудных задач приходится излагать нахождение путем аналогии и индукции не только правильных путей, но и также и неверных, с которых приходится сходить.

Ученик должен в письменной работе дать готовую постройку, а не давать её в лесах, которые, как это произошло в упомянутых работах, закрывали все здание. Я думаю, что аналитический элемент должен быть только в изложении вторичных доказательств теорем и решений задач, излагаемых не учеником, а самим учителем.

К числу эвристических приемов принадлежит и предоставление ученику разыскания ошибок в решении задач и в доказательствах, проводимых товарищем.

Конечно, прием неправильного решения, развитого учителем, с предложением указать ошибку, является с педагогической точки зрения не приемлемым, так как может родить недоверие к учителю и ученик будет подозревать ошибки и в других местах изложения учителя.

Но, правда в некоторой ограниченной мере допустимо предложение ученикам задач с противоречащими условиями или с недостающими данными, и в том и в другом случае неразрешимых. Но при этом возможны два приема: 1) подчеркнув, что задача и в первом и во втором случае неразрешима, предложить разъяснить причину этому; 2) просто предложить такую задачу и поставить ученика в тупик и потом уже поставить вопрос о разрешимости. Из этих приемов следует предпочесть, конечно, первый.

2.2. Особенности применения эвристического подхода при доказательстве теорем

Методика обучения доказательству в математике (при преподавании математике в школе) рекомендует как можно раньше приобщать школьников к самостоятельному открытию фактов и способов их обоснования, хотя у учащихся еще нет даже самого простого представления о процессе доказательства, его составляющих. Само требование «доказать» не вызывает у них нужных ассоциаций. Процесс самостоятельного поиска доказательства основывается на ряде логических и эвристических операций, многими из которых учащиеся 6–7-х классов не владеют. Поэтому на первых уроках геометрии 7-го класса следует воспользоваться готовыми доказательствами с целью изучения структуры логического вывода (наличия большой посылки, малой посылки), связей логических шагов. Для достижения этой цели можно воспользоваться специальными карточками с двумя колонками, в одной из которых указываются утверждения, в другой — обоснования, причем каждая колонка имеет пустые места, количество которых зависит от способностей школьника, заполняющего пропуски в колонках. Ясно, что сказанное не отменяет эвристического обучения и приобщения учеников к открытию доказательств. Однако самостоятельное доказательство должно основываться на понимании готового доказательства, порядка, что ведет к формированию устойчивых математических образов.

Учитывая, что у ученика с его взрослением развиваются пространственные представления об окружающем мире, приобретающие форму устойчивых образов реальных объектов, изучение элементов геометрии в 5–6-х классах естественно должно основываться на идее фузионизма (слияния); однако эта идея не должна быть стержневой. В основной школе должен изучаться систематический курс планиметрии, а в старших классах — курс стереометрии. Заканчивать изучение геометрии в средней школе следует знакомством школьников с аксиоматическим методом не только как методом организации математической теории, но и как эффективным эвристическим средством, а также выходом в геометрию четырехмерного пространства. Известно, что необходимость систематических курсов оспаривается некоторыми математиками и методистами. Они предлагают, в частности, единый курс планиметрии и стереометрии. Однако такой курс построить на достаточно строгом логическом уровне в основной школе невозможно. Такой курс будет представлять собой набор различных фактов, поэтому мера порядка его организации будет невысокой, а потому будет низкой и мера привлекательности такого курса для учащихся, что, несомненно, будет отражаться на их интересе к изучению такого курса, а следовательно и на знаниях и умениях школьников.

Характеристики

Список файлов курсовой работы