Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский Государственный Авиационный Институт

( технический университет )

Филиал “Взлёт”

Курсовая работа

по дисциплине "Теория вероятности и математическая статистика"

“Теория вероятности”

Выполнил студент группы ДР-2:

Архипов А.В.

Проверил преподаватель:

Егорова Т. П.

г. Ахтубинск 2004 г

Задание 1

Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы.

Формулировка теоремы Бернулли: “Частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к вероятности данного события”.

p₁ = 0.9

p₂ = 0.8

p₃ = 0.9

p₄ = 0.8

p₅ = 0.9

p₆ = 0.9

Проверка теоремы с помощью программы:

Текст программы:

Program bernuli;

Uses CRT;

Var op,i,j,m,n:integer;

a,pp:real;

p:array[1..6] of real;

x:array[1..6] of byte;

Begin

ClrScr;

Randomize;

p[1]:=0.9; p[2]:=0.8; p[3]:=0.9; p[4]:=0.8; p[5]:=0.9; p[6]:=0.9;

for op:=1 to 20 do begin

n:=op*100; m:=0;

write(' n=',n:4);

for i:=1 to n do begin

for j:=1 to 6 do begin

x[j]:=0;

a:=random;

if a

end;

if ((((((x[1]=1) and (x[2]=1)) or (x[3]=1)) and (x[4]=1)) or (x[5]=1)) and (x[6]=1)) then m:=m+1

end;

pp:=m/n;

writeln(' M=',m:4,' P*=',pp:3:6);

End;

Readln;

end.

Результаты работы программы:

Опытов: Мсходы: Вер-ть:

n= 100 M= 89 P*=0.89

n= 200 M= 173 P*=0.86

n= 300 M= 263 P*=0.88

n= 400 M= 360 P*=0.90

n= 500 M= 434 P*=0.87

n= 600 M= 530 P*=0.88

n= 700 M= 612 P*=0.87

n= 800 M= 704 P*=0.88

n= 900 M= 784 P*=0.87

n=1000 M= 865 P*=0.86

n=1100 M= 985 P*=0.90

n=1200 M=1062 P*=0.89

n=1300 M=1165 P*=0.90

n=1400 M=1238 P*=0.88

n=1500 M=1330 P*=0.89

n=1600 M=1418 P*=0.89

n=1700 M=1471 P*=0.87

n=1800 M=1581 P*=0.88

n=1900 M=1670 P*=0.88

n=2000 M=1768 P*=0.88

Вер. в опыте: p= 0.88

Проверка вручную:

Первый способ:

Второй способ:

Вывод: Теорема Бернулли верна.

Задание 2

Методом кусочной аппроксимации смоделировать случайную величину, имеющую закон распределения Коши, заполнить массив из 300 точек.

Теория:

Метод кусочной аппроксимации заключается в том, что для формирования одного случайного числа из последовательности с заданным законом распределения необходимо дважды использовать датчик случайных чисел. Процедура получения случайного числа y_i сводиться к:

1. Случайный выбор интервала (определение значения a_j)

2. Случайный выбор «b» из этого интервала

3. Формирование случайного числа в соответствии с формулой

При выборе интервала на первом шаге процедуры должна учитываться плотность распределения. С этой целью ее кусочно-линейно аппроксимируют отрезками прямых, параллельных оси абсцисс (рис.1.)

Рис.1. Кусочно-линейно аппроксимированный график плотности распределения по закону Коши.

Количество интервалов разбиения области определения случайной величины обычно выбирается достаточно большим (именно поэтому в данной Курсовой работе было использовано разбиение на 400 интервалов).

Решение:

Построим график плотности распределения по закону Коши ( ):

Рис.2. График распределения Коши.

Необходимо разбить интервал от –20 до 20 на n подинтервалов (в данном случае n=40) и вычислить вероятность попадания на каждый из этих подинтервалов. После этого составить массив [a₁,a_j], так чтобы a₁=0, a , случайно сгенерировать значение числа «b» из промежутка от 0 до 1, найти номер интервала в который она попадет и второй раз используя датчик случайных чисел сгенерировать случайную добавку «b». Для выполнения этих действий составим программу в среде Turbo Pascal 7.1.

Программа позволяющая смоделировать СВ, имеющую закон распределения Коши:

Program tvmslab2;

Uses CRT,GRAPH;

Type mas=array[1..40] of real;

label 10;

const a:mas=(0.0008,0.0009,0.001,0.0011,0.0013,0.0015,0.0017,0.002,0.0024,

0.00287,0.0035,0.0043,0.0056,0.0074,0.01,0.015,0.024,0.045,0.102,0.25,0.25,

0.102, 0.045,0.024,0.015,0.01,0.0074,0.0056,0.0043,0.0035,0.00287,0.0024,0.002

0.0017,0.0015,0.0013,0.0011,0.001,0.0009,0.0008);

Xmax=20; Xmin=-20;

n=300; k=40; xn=70; xm=550; yn=180; ym=140;

Var i,j:integer;

q:boolean;

a1,y,x,e,dh,t,Mmax,hmax,t1,t2,b,Mxx,Dxx,Skx,Qxx,Exx:real;

r,d,x1,x2,y1,y2:integer;

m,xi,pix,hi,h:array[1..300] of real;

o,l:array[1..41] of real;

b1:array[0..300] of real;

st:string;

Begin

clrscr;

randomize;

o[1]:=0;

for i:=1 to 41 do begin

o[i+1]:=o[i]+a[i];

end;

x:=-20;

for i:=1 to 41 do begin

l[i]:=x;

x:=x+1;

end;

writeln(' Массив имеющий закон распределения Коши:')

writeln;

for j:=1 to 300 do begin

a1:=random;

for i:=1 to 41 do begin

if (a1>o[i]) and (a1

end;

10: b1[j]:=random+l[i];

write(' ',b1[j]:1:2);

if j mod 10= 0 then writeln;

if j mod 210= 0 then readln;

end;

readln;

end.

Результат работы программы:

Массив имеющий закон распределения Коши:

3.83 -9.36 0.79 0.22 -0.32 0.46 -0.73 20.98 -0.44 -1.74 0.02 0.70 -1.98 0.77 -9.79 3.24 0.36 -1.04 -4.28 2.71 -1.82 -0.92 -3.36 -0.65 0.37 -0.15 0.36 -0.61 0.76 20.56 -1.81 -8.94 0.26 0.40 1.62 0.59 -0.41 1.69 -0.02 0.29 0.61 0.32 0.86 -1.24 -1.87 -0.84 2.95 0.04 -0.63 1.54 0.53 -1.07 -0.08 -2.15 3.43 -0.66 -2.70 -0.87 0.64 0.65 0.04 3.76 -2.54 -3.80 2.40 1.22 -0.84 8.86 0.54 3.91 -0.70 -5.46 -1.64 -0.01 -0.52 -1.08 -2.16 -0.66 0.83 -1.88 1.97 0.55 3.84 -0.51 0.22 20.98 -3.00 0.46 -0.40 -2.10 0.78 20.46 -4.76 -0.36 1.30 3.85 -0.41 19.88 0.55 -1.05 0.14 -15.07 -0.87 0.18 -3.28 1.10 -0.42 -3.83 1.35 -3.82 -0.72 -1.02 -0.35 -0.13 -0.10 0.40 0.85 0.40 -0.62 1.28 -2.68 -1.88 -2.43 0.94 1.67 20.21 -0.70 -0.39 -3.56 -0.60 -3.86 -0.99 -6.71 0.79 1.62 -1.11 2.87 0.74 1.08 -0.29 -0.90 -0.22 0.04 -6.63 0.13 -0.36 -10.82 -3.04 2.81 -0.73 -0.16 0.61 -0.25 4.00 -0.93 -7.58 -0.09 0.69 0.30 2.38 0.79 11.03 -0.44 -0.56 11.12 -1.22 1.17 0.60 -1.78 -2.78 -0.85 -0.98 -1.21 3.51 0.05 0.29 -8.62 0.26 -0.56 1.68 -1.65 13.02 -0.11 0.50 -0.58 4.98 0.57 -0.51 0.78 -0.43 -1.62 0.27 0.75 0.29 20.65 0.91 0.01 3.46 -0.58 -0.50 9.42 -0.88 -1.78 0.81 1.35 -0.03 3.53 11.99 0.63 -1.65 20.66 0.36 -0.01 -0.68 0.31 0.28 16.13 -1.24 -0.36 0.99 -1.65 0.58 1.88 -0.35 0.66 0.94 1.56 0.31 0.58 0.61 -0.73 1.04 -0.61 -1.73 -1.02 -7.95 21.00 -0.98 20.94 -0.03 0.36 0.82 -2.91 1.03 0.47 -0.91 6.13 1.49 0.91 6.30 -0.93 1.03 -1.07 1.70 -0.63 -8.84 -1.87 0.01 2.63 -1.20 1.73 -1.71 -12.13 0.89 3.30 -0.24 0.36 18.97 9.16 0.77 -0.02 -0.03 -2.71 -1.20 -0.79 0.95 -0.18 0.50 5.61 -0.04 0.05 0.81 0.93 20.94 -0.91 20.17 1.70 1.66 -0.99 -0.25 -0.51 0.79 20.58 1.78 2.62 0.99 -1.45 0.89 -0.48 -0.98

Вывод: Используя данный метод можно формировать случайные величины со сколь угодно сложным законом распределения. Недостаток – необходимость некоторой подготовительной работы перед непосредственным применением процедуры и двукратное применение датчика случайных чисел для розыгрыша одного значения случайного числа Y.

Задание 3

Критерием Пирсона проверить, что данный массив имеет соответствующий закон распределения.

Для построения гистограммы и нахождения числовых характеристик, необходимо составить статистический ряд:

Статистический ряд

m[1]=0.00 x[1]=-19.5 pi[1]=0.0000 hi[1]=0.0000

m[2]=0.00 x[2]=-18.5 pi[2]=0.0000 hi[2]=0.0000

m[3]=0.00 x[3]=-17.5 pi[3]=0.0000 hi[3]=0.0000

m[4]=0.00 x[4]=-16.5 pi[4]=0.0000 hi[4]=0.0000

m[5]=1.00 x[5]=-15.5 pi[5]=0.0033 hi[5]=0.0033

m[6]=0.00 x[6]=-14.5 pi[6]=0.0000 hi[6]=0.0000

m[7]=0.00 x[7]=-13.5 pi[7]=0.0000 hi[7]=0.0000

m[8]=1.00 x[8]=-12.5 pi[8]=0.0033 hi[8]=0.0033

m[9]=0.00 x[9]=-11.5 pi[9]=0.0000 hi[9]=0.0000

m[10]=1.00 x[10]=-10.5 pi[10]=0.0033 hi[10]=0.0033

m[11]=2.00 x[11]=-9.5 pi[11]=0.0067 hi[11]=0.0067

m[12]=3.00 x[12]=-8.5 pi[12]=0.0100 hi[12]=0.0100

m[13]=2.00 x[13]=-7.5 pi[13]=0.0067 hi[13]=0.0067

m[14]=2.00 x[14]=-6.5 pi[14]=0.0067 hi[14]=0.0067

m[15]=1.00 x[15]=-5.5 pi[15]=0.0033 hi[15]=0.0033

m[16]=2.00 x[16]=-4.5 pi[16]=0.0067 hi[16]=0.0067

m[17]=8.00 x[17]=-3.5 pi[17]=0.0267 hi[17]=0.0267

m[18]=11.00 x[18]=-2.5 pi[18]=0.0367 hi[18]=0.0367

m[19]=32.00 x[19]=-1.5 pi[19]=0.1067 hi[19]=0.1067

m[20]=79.00 x[20]=-0.5 pi[20]=0.2633 hi[20]=0.2633

m[21]=83.00 x[21]=0.5 pi[21]=0.2767 hi[21]=0.2767

m[22]=26.00 x[22]=1.5 pi[22]=0.0867 hi[22]=0.0867

m[23]=8.00 x[23]=2.5 pi[23]=0.0267 hi[23]=0.0267

m[24]=12.00 x[24]=3.5 pi[24]=0.0400 hi[24]=0.0400

m[25]=1.00 x[25]=4.5 pi[25]=0.0033 hi[25]=0.0033

m[26]=1.00 x[26]=5.5 pi[26]=0.0033 hi[26]=0.0033

m[27]=2.00 x[27]=6.5 pi[27]=0.0067 hi[27]=0.0067

m[28]=0.00 x[28]=7.5 pi[28]=0.0000 hi[28]=0.0000

m[29]=1.00 x[29]=8.5 pi[29]=0.0033 hi[29]=0.0033

m[30]=2.00 x[30]=9.5 pi[30]=0.0067 hi[30]=0.0067

m[31]=0.00 x[31]=10.5 pi[31]=0.0000 hi[31]=0.0000

m[32]=3.00 x[32]=11.5 pi[32]=0.0100 hi[32]=0.0100

m[33]=0.00 x[33]=12.5 pi[33]=0.0000 hi[33]=0.0000

m[34]=1.00 x[34]=13.5 pi[34]=0.0033 hi[34]=0.0033

m[35]=0.00 x[35]=14.5 pi[35]=0.0000 hi[35]=0.0000

m[36]=0.00 x[36]=15.5 pi[36]=0.0000 hi[36]=0.0000

m[37]=1.00 x[37]=16.5 pi[37]=0.0033 hi[37]=0.0033

m[38]=0.00 x[38]=17.5 pi[38]=0.0000 hi[38]=0.0000

m[39]=1.00 x[39]=18.5 pi[39]=0.0033 hi[39]=0.0033

m[40]=1.00 x[40]=19.5 pi[40]=0.0033 hi[40]=0.0033

Построим гистограмму:

Рис.3. Гистограмма распределения по закону Коши.

По данным статистического ряда вычислим числовые характеристики:

Числовые характеристики:

- статистическое математическое ожидание

- статистическая дисперсия

- статистическое среднеквадратическое отклонение

- скошенность

- эксцесс

Для нахождения необходимо вычислить P_i (вероятности попадания на каждый из интервалов). Вероятность попадания может быть найдена как площадь криволинейной трапеции, ограниченной концами этого интервала слева и справа, и графиком плотности распределения сверху:

По найденной частоте и вероятности, вычислим значение :

Т.к. число степеней свободы r = 7, а уровень значимости p = 0.1, следовательно значение будет равным 12.02.

Вывод: Таким образом, сравнив значения и получим, что , а, следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении случайной величины по закону Коши.

Литература

1. Е. С. Венцель “Теория вероятности”

2. Г.М. Погодина “Лабораторные работы по курсу Теория вероятностей и статистических решений”

3. Курс лекций по Теории вероятности

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы