85875 (612596), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Первые подходы к решению задачи о разорении игрока почти одновременно были предложены тремя математиками Монмором, Муавром и Н. Бернулли. Их результаты относились к 1710–1711 г. Задача Гюйгенса в их формулировке слегка преобразилась и приобрела привычный для нас вид: игроки и имеют соответственно и франков и при каждой партии некоторой игры один из них выигрывает у другого 1 франк. Вероятность выигрыша игрока для каждой партии равна , для игрока вероятность выигрыша равна . Спрашивается, чему равны вероятности и того, что игрок выиграет (соответственно игрок ) игру (т.е. игрок выиграет все деньги раньше, чем выиграет их у ).

Муавр нашел, что

, .

И что математическое ожидание числа необходимых для завершения игры партий равно .

Ему же удалось найти вероятности , что игрок выиграет игру за партий (соответственно выиграет за партий игрок ). Вдобавок им был подробно рассмотрен случай, когда .

В 1710 г. формулы для в случае нашел Монмор. Свои соображения он переслал Иоганну Бернулли, который передал письмо своему племяннику Николаю. Ответное письмо Н. Бернулли от 26 февраля 1711 г. содержало решение и для случая .

Рассмотрение решений этих ученых ясно показывает, что все они владели приемами оперирования с вероятностями сложных событий. Практически они безукоризненно точно использовали теоремы сложения и умножения вероятностей, а также формулу полной вероятности, хотя в ту пору они еще не получили точной формулировки. Происходило накопление опыта и выделение тех правил, которые постоянно необходимы при подсчете вероятностей сложных событий.

10. Возникновение предельных теорем теории вероятностей

На последующее развитие теории вероятностей огромное воздействие оказала идея, впервые высказанная и осуществленная Я. Бернулли рассматривать не только точные решения задач теории вероятностей, но и их асимптотические постановки при неограниченном увеличении некоторого параметра. В первую очередь следует указать на закон больших чисел в форме Я. Бернулли. Именно он послужил источником для различного рода уточнений как в 18-ом веке, так и в последующие столетия.

Я. Бернулли дал формулировку своей теоремы в отличном от принятого теперь виде, использовал для обозначения испытаний, при которых интересующее нас событие происходит, слова «плодовитый», «фертильный», а для противоположных исходов слово «стерильный».

«Пусть число фертильных случаев к числу стерильных случаев относится точно или приближенно как или же это число относится к числу всех случаев как или же как . Последнее отношение находится, следовательно, между и . Нужно доказать, что можно произвести столь большое число опытов, что число появившихся фертильных наблюдений к числу всех опытов будет больше, чем , и меньше, чем ». Ясно, что эта формулировка лишь словесно отличается от принятой теперь.

Книга «Искусство предложений» Я. Бернулли быта тщательно изучена его племянником Н. Бернулли. В его работе «О применении искусства предположений в вопросах прав», исходя из таблиц Граунта, он изучал вопрос о вероятности дожития до определенного возраста. На основании долголетних регистраций рождений он отметил тот факт, что мальчиков рождается больше, чем девочек. При этом отношение числа рождений мальчиков к числу рождений девочек оказывается, как он считал, равным 18:17.

Далее Н. Бернулли рассмотрел пример, когда имеется 14 000 рождений. Тогда, согласно формулам Н. Бернулли, имеет место равенство ( означает фактическое число рождений мальчиков)

Фактическое число рождений мальчиков зависит от случая. Приведенная формула позволяет вычислить вероятность того, что число рождений мальчиков будет заключено в указанных границах. Однако вычисления, которые при этом необходимо произвести, сложны.

В точности этот пример рассмотрен Лапласом в «Аналитической теории вероятностей». В качестве искомого значения вероятности неравенства Лаплас указал величину 0.994303.

В двух последних изданиях книги Муавра «Доктрина шансов» был помещен перевод его статьи 1733 г. Согласно словам самого автора «Я помещаю здесь перевод моей работы, написанной 12 ноября 1733 года и сообщенной некоторым друзьям, но никогда не публиковавшейся». В кратком введении Муавр отметил, что для решения ряда задач теории вероятностей необходимо подсчитывать суммы членов биномиального распределения и что вычисления становятся громоздкими при больших значениях числа испытаний. В результате перед Муавром возник вопрос о разыскании асимптотической формулы. Эта задача была им благополучно решена. Основная трудность, которая при этом возникала, состояла в оценке факториала при больших значениях . Муавр доказал, что , где , однако это его не удовлетворило и ему хотелось связать эту константу с ранее введенными в математику. Стирлинг показал, что . Известную формулу Стирлинга для приближенного вычисления факториала в случае больших чисел, таким образом, следовало бы назвать формулой Муавра. Использовав найденную им формулу «Стирлинга», Муавр первоначально выяснил, что в случае средний член бинома асимптотически равен , а затем доказал локальную теорему, названную его именем. Далее Муавр получил локальную теорему для случая фактически в принятом теперь виде.

Имея в руках локальную теорему, Муавр без затруднений сформулировал и интегральную, правда, только для симметричных границ.

Муавр отметил, что интегральную теорему можно использовать и для оценки неизвестной вероятности , т.е. для решения обратной задачи, задачи математической статистики.

11. Контроль качества продукции

В связи с переходом промышленности на массовое изготовление изделий, резко увеличился интерес к проверке качества изделий, входящих в принимаемую партию. Появилась глубокая по содержанию и значительная по своим практическим применениям теория статистических методов приемочного контроля, основанная на широком использовании теории вероятностей.

Первым шагом, относящимся к этому кругу идей, следует считать одну из задач, рассмотренных Т. Симпсоном в книге «Природа и законы случая» (1740 г.). Имеется данное число вещей различного сорта вещей первого, второго и т.д. Наудачу дерутся вещей. Найти вероятность того, что при этом будет взято вещей первого сорта, второго и т.д.

Спустя сто с небольшим лет, к этой задаче вновь вернулся М.В. Остроградский (1801–1862) в работе «Об одном вопросе, касающемся вероятностей» (1846). Он вычислил необходимые для практического применения таблицы. Приведем подлинные слова Остроградского. «В сосуде имеются белые и черные шары, общее количество которых нам известно, но мы не знаем, сколько из них какого цвета. Мы извлекаем некоторое количество шаров, подсчитав, сколько из них белых и сколько черных, снова кладем в сосуд. Требуется определить вероятность того, что общее число белых не выходит из наперед заданных пределов. Или, лучше сказать, мы ищем зависимость между этой вероятностью и пределами, о которых идет речь.

Чтобы понять важность этого вопроса, представим себя на месте того, кто должен получить большое число предметов, причем должны выполняться некоторые условия, и кто, чтобы проверить эти условия, должен на каждый предмет потратить некоторое время. Перед армейскими поставщиками часто стоят такого рода задачи. Для них шары, содержащиеся в сосуде, представляют получаемые предметы, белые, например предметы приемлемые, как удовлетворяющие определенным условиям, а черные неприемлемые.

Таким образом, если бы вопрос, который мы перед собой поставили, был решен, поставщик мог бы воспользоваться этим, чтобы свести приблизительно к двадцатой доле часто очень утомительную механическую работу, как, например, проверку большого количества мешков муки или штук сукна».

Общее число шаров в урне известно, но неизвестен ее состав. Его и следует оценить при выборке, взятой из урны наудачу. Для этой цели Остроградский использует формулы Байеса.

Статистические методы приемочного контроля получили особенно бурное развитие в годы Второй мировой войны, поскольку было необходимо принимать огромные партии однородной продукции, а проверять ее сплошь не было возможностей по ряду причин. Нет возможности здесь перечислить даже основные этапы развития теории статистических методов приемочного контроля. Большое число исследователей работали над различными проблемами этой тематики и внесли в ее развитие крупный вклад. Из отечественных ученых заслуживают быть отмеченными А.Н. Колмогоров, В.И. Романовский, С.Х. Сираждинов, Ю.К. Беляев и др.

12. Развитие теории ошибок наблюдений

Уже упоминалось, что Галилей заложил основы теории ошибок измерений и ввел в рассмотрение ряд важных понятий, которые сохранили значение и в наши дни.

Позднее под влиянием в первую очередь астрономических и геодезических наблюдений интерес к ошибкам измерений значительно возрос. Знаменитый астроном-наблюдатель Тихо Браге (1546–1601) обратил внимание на то, что каждое отдельное измерение несет в себе возможную ошибку и точность измерений значительно повышается, если произвести несколько измерений и взять из них среднее арифметическое.

Казалось бы, от И. Кеплера (1571–1630), сделавшего так много для формирования законов движения планет, следовало ожидать повышенного внимания к методам обработки результатов наблюдений. Но эти вопросы фактически остались в стороне от его интересов, и он заметил только то, что хороший наблюдатель производит измерения с ошибками ограниченной величины.

Первые попытки построить математическую теорию ошибок измерений принадлежат Р. Котсу (1682–1716), Т. Симпсону (1710–1761) и Д. Бернулли (1700–1782).

Позднее теория ошибок измерений привлекла внимание практически всех видных специалистов в области теории вероятностей. Она оказала серьезное влияние на постановку задач и разработку методов математической статистики.

13. Формирование понятия случайной величины

Ведение понятия случайной величины связано с именами многих ученых, которые хотя и не использовали этого термина, но фактически исследовали отдельные его свойства.

Начиная с Котса, Симпсона и Н. Бернулли в 18-ом веке начала развиваться теория ошибок наблюдений, возникшая в первую очередь под влиянием астрономии. Ошибка измерения в зависимости от случая может принимать различные значения. Эта позиция была высказана Галилеем задолго до работ упомянутых ученых. Он же ввел в обиход термин «случайная» и «систематическая ошибка» измерения. Вторая тесно связана с качеством изготовления прибора, мастерством наблюдателя, условиями наблюдения. Первая же зависит от многочисленных причин, влияние которых невозможно учесть и которые изменяются от наблюдения к наблюдению. Теперь мы ясно видим, что ошибка измерения представляет собой случайную величину с каким-то неизвестным нам распределением вероятностей.

Но с понятием случайной величины встречались уже Я. Бернулли, Н. Бернулли, Монмор, Муавр. В самом деле, Я. Бернулли рассмотрел число появлений интересующего его события в независимых испытаниях. Для нас теперь это случайная величина, способная принимать значения с вероятностями, задаваемыми формулами Бернулли. Н. Бернулли, Монмор и Муавр, исследуя задачу о разорении игрока, также имели дело со случайной величиной: числом партий, которые необходимы для разорения. Муавр пошел еще дальше, он ввел в рассмотрение нормальное распределение вероятностей. Однако никто из перечисленных ученых не заметил, что в науку властно постучалась необходимость введения нового понятия случайной величины.

Характеристики

Список файлов курсовой работы