85717 (612557), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Решая данную систему, находим x0 = и y0 =
. Подставим полученные значения в уравнение (4.2):
4x'2 - z'2 + 12x'z' + 6y' + ( )z' + (
)x' + (
) = 0
4x'2 - z'2 + 12x'z' + 6y' + =0 (4.4)
Поскольку коэффициент при x'z' не равен нулю, то продолжим дальнейшее преобразование, совершив поворот осей координат на угол . Координаты произвольной точки поверхности будут связаны следующими соотношениями:
(4.5)
Подставив выражения из (4.5) в уравнение (4.4), получим следующее:
4(Xcos - Zsin)2 – (Xsin + Zcos)2 + 12(Xcos - Zsin)(Xsin + Zcos) + 6Y + = 0
4X2cos2 - 8XZcossin + 4Z2sin2 - X2sin2 - 2XZsin2 - 2XZcossin -Z2cos2 + 12X2cossin + 12XZcos2 - 12XZsin2 - 12Z2sincos + 6Y + = 0
(4cos2-sin2+12cossin)X2+(4sin2-cos2-12sincos)+(-8cossin-2cossin+12cos2-12sin2)XZ+6Y+ =0 (4.6)
Найдём угол такой, что коэффициент при XZ будет равен нулю:
-8cossin-2cossin+12cos2-12sin2=0
6tg2+5tg-6=0
D = 25+144 = 169 = 132
Откуда следует, что tg = или tg =
. Возьмём tg =
. Тогда найдём cos=
=
, sin=
. Подставим найдённые значения в уравнение (4.6):
( )X2+(
)Z2+(
)XZ+6Y+
=0
(4.7)
- это каноническое уравнение поверхности (4.1). Оно имеет сдвиг по оси O'Y на (- ).
3. Исследование формы поверхности методом сечений
Проведём исследование графика уравнения (4.7) методом сечения плоскостями.
Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Y=h. Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость ZO'X имеют вид:
:
Рассмотрим три случая:
Если h + >0, h >
, запишем полученное уравнение в виде:
(4.8)
Уравнение (4.8) задаёт гиперболы с центрами в точках (0, h ,0).
Полуоси гипербол:
a = - действительная полуось, b =
- мнимая полуось, увеличиваются с увеличением h. При различных значениях h получим семейство соответствующих гипербол:
h = 1 a= ; b=
;
h=2 a= ; b=
;
h=3 a= ; b=
;
Изобразим данные гиперболы на рисунке:
Если h + =0, h =
, запишем полученное уравнение в виде:
или
Данное уравнение задаёт две пересекающиеся прямые. Изобразим их на рисунке:
Если h + < 0, h<
, запишем полученное уравнение в виде:
Данное уравнение задаёт сопряжённые гиперболы с центрами в точке (0, h, 0).
Полуоси гипербол:
a= - действительная полуось, b=
- мнимая полуось, увеличиваются с увеличением | h |.
При различных значениях h получаем семейство соответствующих гипербол:
h=-1 a= ; b=
;
h=-2 a= ; b=
;
h=-3 a= ; b=
;
Изобразим данные гиперболы на рисунке:
Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Z=h. Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость XO'Y имеют вид:
:
(4.9)
Уравнение (4.9) задаёт параболы, с вершинами в точках V(0, , h) и параметром
p= . При различных h получим семейство соответствующих парабол:
h = 1 :
h = 2 :
h = 3 :
Изобразим данные параболы на рисунке:
Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями X=h. Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость YO'Z имеют вид:
(4.10)
Уравнение (4.10) задаёт параболы, с вершинами в V(h, ,0) и параметром p=
. При различных h получаем семейство соответствующих парабол.
h = 1 :
h = 2 :
h = 3 :
Изобразим данные параболы на рисунке:
4. Графики уравнения поверхности
Изобразим поверхность второго порядка в общеалгебраической и канонической системе координат.
График в общеалгебраической системе координат:
График в канонической системе координат:
5. Вывод
Исследовав каноническое уравнение (4.7) гиперболического параболоида, отметим следующее:
-
Оси O'Z и O'X являются осями симметрии поверхности. Центра симметрии у поверхности нет.
-
Рассекая поверхность горизонтальными плоскостями Y = h, в сечениях получаем:
h > - гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Z
h = - две пересекающиеся прямые
h < - сопряжённые гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Y
-
Рассекая поверхность плоскостями Z = h и X = h, в сечениях получаем параболы, с ветвями, направленными вниз (Z = h) или вверх (X = h).
-
Поверхность гиперболического параболоида бесконечна в направлении всех трёх координатных осей.
Список литературы
-
Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997.
-
Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1974.