85706 (612555), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Отсюда вытекает важное следствие.
Если с1, с2,…, сm - различные корни многочлена f (x), то f (x) делится на многочлен (х-с1) (х-с2) … (х-сm).
Как мы уже отмечали, одной из важных задач в теории многочленов является задача отыскания корней многочлена. В связи с этим существенным представляется вопрос о их числе. В самом деле, если дан какой-то многочлен и уже найдено, скажем, 10 его корней, то нужно знать, следует ли продолжать поиски. А вдруг этот многочлен больше не имеет корней? В таких случаях нам будет полезна приводимая ниже теорема.
Число различных корней ненулевого многочлена f (x) не больше, чем его степень.
Действительно, если f (x) корней не имеет, то ясно, что теорема верна, ибо ст. f (x) ≥0.
Пусть теперь f (x) имеет m корней с1, с2, …, сm, причем все они различны. Тогда, по только что доказанному f (x) делится на (х-с1) (х-с2) … (х-сm). В таком случае ст. f (x) ≥ ст. ( (х-с1) (х-с2) … (х-сm)) =ст. (х-с1) + ст. (х-с2) +…+ст. (х-сm) =m, т.е. ст. f (x) ≥m, а m - это число корней рассматриваемого многочлена.
А вот у нулевого многочлена бесконечно много корней, ведь его значение для любого х равно 0. В частности, по этой причине ему и не предписывают никакой определенной степени.
Из только что доказанной теоремы следует такое утверждение.
Если многочлен f (x) не является многочленом степени, большей, чем n, и имеет более, чем n корней, то f (x) - нулевой многочлен.
В самом деле, из условий этого утверждения следует, что-либо f (x) - нулевой многочлен, либо ст. f (x) ≤n. Если предположить, что многочлен f (x) не нулевой, то ст. f (x) ≤n, и тогда f (x) имеет не более, чем n корней. Приходим к противоречию. Значит, f (x) - ненулевой многочлен.
Пусть f (x) и g (x) - ненулевые многочлены степени, не большей, чем n. Если эти многочлены принимают одинаковые значения при n+1 значении переменной х, то f (x) =g (x).
Для доказательства рассмотрим многочлен h (x) =f (x) - g (x). Ясно, что - либо h (x) =0, либо ст. h (x) ≤n, т.е. h (x) не является многочленом степени, большей, чем n. Пусть теперь число с такое, что f (c) =g (c). Тогда h (c) = f (c) - g (c) =0, т.е. с - корень многочлена h (x). Следовательно, многочлен h (x) имеет n+1 корень, а когда, как только что доказано, h (x) =0, т.е. f (x) =g (x).
Если же f (x) и g (x) принимают одинаковые значения при всех значениях переменной х, то эти многочлены тем более равны.
Эта теорема весьма эффективно используется при доказательстве некоторых числовых тождеств. Докажем, например, что для любых попарно различных чисел а, b, с и любого числа х.
( ( (x-b) (x-c)) / ( (a-b) (a-c))) + ( ( (x-a) (x-c)) ( (b-a) (b-c))) + ( ( (x-a) (x-b)) ( (c-a) (c-b))) =1
Конечно, можно преобразовав левую часть указанного равенства, убедиться, что в результате получится 1. Но такой метод доказательства связан с громоздкими преобразованиями. Попытаемся обойтись без них.
Будем рассматривать х как переменную. Тогда, как нетрудно заметить, в левой части тождества находится многочлен, который мы обозначим f (x). Переменная х входит в этот многочлен самое большое в степени 2, т.е. ст. f (x) ≤2. в правой части того же тождества - так же многочлен: g (x) =1.
Найдем теперь значение многочленов f (x) и g (x) при х=a, b, c. Ясно, что g (a) =g (b) =g (c) =1. Далее,
f (a) = ( ( (a-b) (a-c)) / ( (a-b) (a-c))) + ( ( (a-a) (a-c)) ( (b-a) (b-c))) + ( ( (a-a) (a-b)) ( (c-a) (c-b))) =1.
Аналогично f (b) =f (c) =1. Следовательно, f (a) =g (a), f (b) =g (b), f (c) =g (c). Видим, что многочлены f (x) и g (x), не являющиеся многочленами степени выше, чем 2, принимают одинаковые значения при трех различных значениях переменной. Значит, f (x) =g (x).
Кратные корни многочлена
Если число с является корнем многочлена f (x), этот многочлен, как известно, делится на х-с. Может случиться, что f (x) делится и на какую-то степень многочлена х-с, т.е. на (х-с) k, k>1. В этом случае с называют кратным корнем. Сформулируем определение более четко.
Число с называется корнем кратности k (k-кратным корнем) многочлена f (x), если многочлен делится на (х-с) k, k>1 (k - натуральное число), но не делится на (х-с) k+1. Если k=1, то с называют простым корнем, а если k>1, - кратным корнем многочлена f (x).
В дальнейшем при определении кратности корней нам будет полезно следующее предложение.
Если многочлен f (x) представим в виде f (x) = (x-c) mg (x), m - натуральное число, то он делится на (х-с) m+1 тогда и только тогда, когда g (x) делится на х-с.
В самом деле, если g (x) делится на х-с, т.е. g (x) = (x-c) s (x), то f (x) = (x-c) m+1s (x), а значит, f (x) делится на (х-с) m+1.
Обратно, если f (x) делится на (х-с) m+1, то f (x) = (x-c) m+1s (x). Тогда (x-c) mg (x) = (x-c) m+1s (x) и после сокращения на (х-с) m получим g (x) = (x-c) s (x). Отсюда следует, что g (x) делится на х-с.
А сейчас вернемся к понятию кратности корня. Выясним, например, является ли число 2 корнем многочлена f (x) =x5-5x4+3x3+22x2-44x+24, и если да, найдем его кратность. Чтобы ответить на первый вопрос, проверим с помощью схемы Горнера, делится ли f (x) на х-2. имеем:
Таблица 4.
| 1 | -5 | 3 | 22 | -44 | 24 | |
| 2 | 1 | -3 | -3 | 16 | -12 | 0 |
Как видим, остаток при делении f (x) на х-2 равен 0, т.е. делится на х-2. Значит, 2 - корень этого многочлена. Кроме того, мы получили, что f (x) = (x-2) (x4-3x3-3x2+16x-12). Теперь выясним, является ли f (x) на (х-2) 2. Это зависит, как мы только что доказали, от делимости многочлена g (x) =x4-3x3-3x2+16x-12 на х-2. Снова воспользуемся схемой Горнера:
Таблица 5.
| 1 | -3 | -3 | 16 | -12 | |
| 2 | 1 | -1 | -5 | 6 | 0 |
Получили, что g (x) делится на х-2 и g (x) = (x-2) (x3-x2-5x+6). Тогда f (x) = (x-2) 2 (x3-x2-5x+6).
Итак, f (x) делится на (х-2) 2, теперь нужно выяснить, делится ли f (x) на (x-2) 3.
Для этого проверим, делится ли h (x) =x3-x2-5x+6 на х-2:
Таблица 6.
| 1 | -1 | -5 | 6 | |
| 2 | 1 | 1 | -3 | 0 |
Получим, что h (x) делится на х-2, а значит, f (x) делится на (х-2) 3, и f (x) = (x-2) 3 (x2+x-3).
Далее аналогично проверяем, делится ли f (x) на (х-2) 4, т.е. делится ли s (x) =x2+x-3 на х-2:
Таблица 7.
| 1 | 1 | -3 | |
| 2 | 1 | 3 | 3 |
Находим, что остаток при делении s (x) на х-2 равен 3, т.е. s (x) не делится на х-2. Значит, f (x) не делится на (х-2) 4.
Таким образом, f (x) делится на (х-2) 3, но не делится на (х-2) 4. Следовательно, число 2 является корнем кратности 3 многочлена f (x).
Обычно проверку корня на кратность выполняют в одной таблице. Для данного примера эта таблица имеет следующий вид:
Таблица 8.
| 1 | -5 | 3 | 22 | -44 | -24 | |||||||||||
| 2 | 1 | -3 | -3 | 16 | -12 | 0 | ||||||||||
| 2 | 1 | -1 | -5 | 6 | 0 | |||||||||||
| 2 | 1 | 1 | -3 | 0 | ||||||||||||
| 2 | 1 | 3 | 3 | |||||||||||||
Другими словами, по схеме Горнера деление многочлена f (x) на х-2, во второй строке мы получим коэффициенты многочлена g (x). Затем эту вторую строку считаем первой строкой новой системы Горнера и выполняем деление g (x) на х-2 и т.д. продолжаем вычисления до тех нор, пока не получим остаток, отличный от нуля. В этом случае кратность корня равна числу полученных нулевых остатков. В строке, содержащей последний ненулевой остаток, находится и коэффициенты частного при делении f (x) на (x-2) 3.
Теперь, используя только что предложенную схему проверки корня на кратность, решим следующую задачу. При каких a и b многочлен f (x) =x4+2x3+ax2+ (a+b) x+2 имеет число - 2 корнем кратности 2?
Так как кратность корня - 2 должна быть равна 2, то, выполняя деление на х+2 по предложенной схеме, мы должны два раза получить остаток 0, а в третий раз - остаток, отличный от нуля. Имеем:
Таблица 9.
| 1 | 2 | a | a+b | 2 | ||||||||||
| -2 | 1 | 0 | a | -a+b | 2a-2b+2 | |||||||||
| -2 | 1 | -2 | а+4 | -3a+b-8 | ||||||||||
| -2 | 1 | -4 | а+12 | |||||||||||
Таким образом, число - 2 является корнем кратности 2 исходного многочлена тогда и только тогда, когда
Отсюда получаем: a=-7/2, b=-5/2.
Рациональные корни многочлена
Как мы уже отмечали, одной из важнейших задач в теории многочленов является задача отыскания их корней. Для решения этой задачи можно использовать метод подбора, т.е. брать наугад число и проверять, является ли оно корнем данного многочлена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
