Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Сплайн – интерполяция

В инженерной практике график функции y(x_i) (i=0,N) строят в основном с помощью лекал. Если точки размещены редко, то пользуются гибкой линейкой (spline), ставят ее на ребро и изгибают так, чтобы она одновременно проходила через все точки.

Поскольку приближенное уравнение изгиба пружинистого бруса имеет вид , то можно допустить, что ее форма между узлами есть алгебраический полином 3-й степени.

Вероятно, интерполирующую функцию между каждыми двумя узлами можно взять, например, в таком виде:

(*)

.

Неизвестные коэффициенты a_i, b_i, c_i, d_i найдем с условий в узлах интерполяции.

Поскольку полиномы совпадают с табличными значениями функции y(x_i) (i=1,N) в узлах интерполяции, то:

(А)

(В)

Поскольку этих уравнений в два раза меньше, чем неизвестных коэффициентов, то надо еще какие-нибудь дополнительные условия (например, условия непрерывности 1-й и 2-й производных во всех точках, в том числе и в узлах интерполирования, то есть условия гладкости угла поворота пересечения и кривизны линейки).

С условий непрерывности производных у внутренних узлах имеем:

(С)

(D)

Найдем выражения для производных от сплайна S⁽ⁱ⁾(x):

(Е)

(F)

и подставим их в выражения (С) и (D). Как следствие, имеем 6

(G)

(H)

Для получения еще двух необходимых уравнений воспользуемся условиями в конечных узлах. Например, можно считать концы линейки отпущенными, что отвечает их нулевой кривизне, то есть

(I)

(J)

Построенные при таких условиях кубические сплайны называют свободными. При наличии других известных асимптотических данных задачи, возможны и другие условия на концах отрезков.

Уравнения (A), (B), (G)-(J) составляют полную СЛАУ для определения 4N неизвестных коэффициентов. Если эту СЛАУ преобразовать, то ее решение значительно упростится.

Очевидно, . Кроме того, из выражения (J)

(K)

а из выражения (H) –

(L)

Подставив уравнение (L) в формулу (В) учитывая, что , получим

; (М)

(N)

Извлекая из (G) b_i и b_i+1 с помощью (М), а d_i – на основании (L), придем к такой СЛАУ относительно c_i:

(**)

Матрица этой тридиагональной, то есть нулю не равны только елементы главной и двух соседних диагоналей. Для ее решения можно воспользоваться любым методом, после чего надо найти b_i и d_i из выражений (К) – (N).

Вообще-то можно рассмотреть задачу о нахождении сплайна n-й степени:

коэффициенты которого кусочно-постоянные и который в узлах интерполяции принимает значения заданной функции и непрерывный вместе со своими n-1 производными.

Практическая реализация

Программа на языке Pascal

В процессе выполнения работы мною была написана программа EITKIN на языке Pascal.

В данной программе есть два массива: одномерный массив X, в нем хранятся значения узлов интерполирования х_i и двумерный массив Р, в нем хранятся значения многочленов степени не выше n, переменная z это, то значение для которого надо найти значение функции, n – количество узлов интерполирования. Все вычисления проводятся в одном встроенном цикле. Данные на экран выводятся в виде двухмерной матрицы.

Код программы:

program EITKIN;

uses wincrt, strings;

var x:array [1..60]of real;

p:array [1..60,1..60] of real;

z :real; i,j,n: integer;

begin

StrCopy(WindowTitle, 'Программа интерполяции функции по схеме Эйткина ');

clrscr;

write ('vvedite k-vo uzlov interpolirovanija n=');

readln (n);

write ('vvedite X dlja kotorogo nado najti znach func=');

readln (z);

writeln ('vvedite mas Xi');

for i:=1 to n do

begin

write ('vvedite elem X[',i,']=');

readln (x[i]);

end;

writeln ('vvedite mas Yi');

for i:=1 to n do

begin

write ('vvedite elem Y[',i,']=');

readln (p[1,i]);

end;

writeln ('PROCES VICHISLENIJA......');

for i:=2 to n do

begin

for j:=1 to n+1-i do

begin

p[i,j]:=1/(x[j+i-1]-x[j])*(p[i-1,j]*(x[j+i-1]-z)-p[i-1,j+1]*(x[j]-z));

end;

end;

writeln ('REZ MATRICA::::');

for i:=1 to n do

begin

write ('P^',i,'(',z:4:5,') | ');

for j:=1 to n+1-i do

begin

write (p[i,j]:4:5,' | ');

end;

writeln;

end;

writeln ('!!!!!!!!!OTVET!!!!!!!!!');

writeln ('y(',z:4:5,')=',p[n,1]:4:5);

readkey;

DoneWinCrt;

end.

Для чтобы найти значение функции у(х) в точке х с помощью этой программы нужно сначала ввести количество узлов интерполирования, значение х, для которого надо найти значение функции, а потом ввести узлы интерполирования х_i и соответствующие им значения функции у_i и нажать клавишу ENTER.

Также для определения степени интерполирующего многочлена я написал программу konechn_razn.

Код программы:

program konechn_razn;

uses wincrt, strings;

var y:array [1..50,1..50] of real;

i,j,n: integer;

begin

StrCopy(WindowTitle, 'Программа построения конечных разностей ');

clrscr;

write ('vvedite k-vo znachenij funcii n=');

readln (n);

writeln ('vvedite mas Yi');

for i:=1 to n do

begin

write ('vvedite elem Y[',i,']=');

readln (y[i,1]);

end;

writeln ('PROCES VICHISLENIJA......');

for j:=2 to n do

begin

for i:=1 to n+1-j do

begin

y[i,j]:=y[i+1,j-1]-y[i,j-1];

end;

end;

writeln ('REZ MATRICA::::');

writeln (' Yi | Dyi ');

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n+1-i do

begin

write (y[i,j]:4:5,' | ');

end;

writeln;

end;

readkey;

DoneWinCrt;

end.

Входными данными для этой программы есть: количество узлов интерполирования и значения функции y_i, для которых надо построить конечные разности.

Решение в Excel

Для проверки вычислений я решил поставленную задачу в Excel по схеме Эйткина:

Также в целях проверки вычислений я решил данную задачу с помощью кубических сплайнов:

График, отображающий значения функции, вычисленные по схеме Эйткина и с помощью кубических сплайнов:

Выводы

Все многочлены, которые надо вичислить для данного х выражаются через определитель 2-го порядка, что делает вычисления единообразными. Схему Эйткина просто программировать.

Можно отметить то, что схема Эйткина применима и в случае неравноотстоящих узлов интерполирования, то есть ее можно применять для любого шага интерполирования. Также надо отметить то, что, если в задаче требуется вычислить значение функции в одной точке, нет необходимости строить общее выражение многочленна Лагранжа или Ньютона явно, а требуется только вичислить его значение в точке х. Эти вычисления удобно выполнить по интерполяционной схеме Эйткина.

Сопоставим исходные данные, у нас имеется 6 узлов интерполирования. По этим точкам можно построить интерполяционный полином, причем 5-й степени, привлекая к исследованию интерполяцию кубическим сплайном, утверждаю, что данным методом можно построить на каждом подинтервале полином 3-й степени. Последним словом в выборе между первым и вторым методом будут конечные разности на заданном множестве узлов. Конечные разности являются аналогом производной от функции. В данном случае конечные разности использованы для определения степени полинома и для определения полином данная функция или нет, с помощью которого можно максимально приблизить данную функцию.

Данного количества узлов интерполирования не достаточно для точного определения является ли данная функция полиномом, то есть в данном случае конечные разности не являются точным критерием для выбора между двумя методами интерполирования.

В результате вычисления значения функции в точке 0,47 видно что значения функции в искомой точке мало отличимые. То есть в данном случае можно применять оба метода.

Если взять точность вычисления до четвертого знака после запятой, то степень полинома по данным конечных разностей будет полином 3-й степени. Поскольку по схеме Эйткина строятся все полиномы степени не выше 6-й. И в этом случае лучше применять кубические сплайны.

Список использованной литературы

1. Б. П. Демидович и И. А. Марон. “Основы вычислительной математики”, Москва, 1963г.

2. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. “Численные методы”, Москва, 1987г.

3. Козин А. С., Лященко Н. Я. Вычислительная математика: Пособие для факультативных занятий в 10 классе.- К.: Рад. школа, 1983. – 191 с.

4. Мусіяка В. Г. Основи чисельних методів механіки: підручник. – К.: Вища освіта, 2004. – 240 с.: іл.

5. Л. Д. Назаренко Чисельні методи. Дистанційний курс.

Приложение

Результаты работы программы EITKIN:

Результаты работы программы konechn_razn:

Характеристики

Список файлов курсовой работы