85497 (612495)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-42

Мариненко В.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Скиба С.В.

Гомель 2003

Содержание

Введение

1. Алгебраические группы матриц

1.1 Примеры алгебраических групп матриц

1.2 О полугруппах

1.3 Компоненты алгебраической группы

1.4 О -группах

2 Ранг матрицы

2.1 Возвращение к уравнениям

2.2 Ранг матрицы

2.3 Критерий совместности

3 Линейные отображения. Действия с матрицами

3.1 Матрицы и отображения

3.2 Произведение матриц

3.3 Квадратные матрицы

Заключение

Список использованных источников

Введение

Множество матриц -ой степени над будем рассматривать как аффинное пространство с имеющейся на ней полиномиальной топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные части алгебраических множеств из , являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы - общая линейная группа . В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.

Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в , диез - замыкание в , бемоль - взятие невырожденной части, т. е. - совокупность всех невырожденных матриц из . Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, - например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.

1. Алгебраические группы матриц

1.1 Примеры алгебраических групп матриц

Классические матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная:

где

- единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.

Диагональная группа , группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа (для определенности --- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа (треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.

Централизатор произвольного множества из в алгебраической группе , нормализатор замкнутого множества из в .

Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц из --- алгебраическая группа. Она обозначается и называется алгебраической группой, порожденной множеством .

Каждую алгебраическую линейную группу из можно изоморфно --- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой подгруппой из в силу формулы

Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.

Множество всех матриц из , оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму на .

Пусть --- алгебра над конечной размерности (безразлично, ассоциативная или нет), --- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в какую-нибудь базу и сопоставляя автоморфизмам алгебры их матрицы в этой базе, мы получим на строение алгебраической группы. Действительно, пусть

т. е. --- структурные константы алгебры . Пусть далее

где . Тогда задается в матричных координатах очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений

Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.

В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.

1.1.1 Если матричная группа содержит алгебраическую подгруппу конечного индекса, то сама алгебраическая.

Доказательство. Пусть - аннулятор группы в , - его корень в . Надо показать, что . Пусть, напротив, . Пусть - смежные классы по . Для каждого выберем многочлен

и положим

Очевидно, , . Получили противоречие.

Пусть --- алгебраическая группа, , --- подмножество и замкнутое подмножество из . Тогда множества

где , замкнуты. Если тоже замкнуто и --- общее поле квазиопределения для , , , то , , квазиопределены над . В частности, если существует хотя бы одно с условием (соответственно, , ), то можно считать, что (см. 7.1.5).

Если на множестве выполняется теоретико-групповое тождество , то оно выполняется и на его замыкании . В частности, коммутативность, разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в полиномиальной топологии.

1.2 О полугруппах

Определим действие элементов из на рациональные функции из , , полагая

Для каждого отображение (сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля . Отображение есть изоморфизм полной линейной группы в группу автоморфизмов расширения .

Имеет место следующее предложение.

1.2.1 Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из являются группами. Более общно: замыкание произвольной полугруппы --- группа. Более точно: если --- аннулятор в , то совпадает с

Здесь вместо можно написать .

Доказательство. Во-первых, и, значит, . Действительно, если , и , то , т. е. . Подпространство многочленов из степени отображается оператором на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё отображается на себя, как объединение всех .

Во-вторых, , т. е. для каждого . Действительно, пусть . По уже доказанному, . Найдём с условием . Тогда .

В-третьих, , т. е. для всех , . Действительно, . Предложение доказано.

Таким образом, теория алгебраических полугрупп из исчерпывается теорией алгебраических групп.

Отметим ещё одно полезное предложение.

1.2.2 Пусть алгебраическая группа неприводима, т. е. --- многообразие, --- густое подмножество, плотное в . Тогда каждый элемент является произведением двух элементов из ; в частности, если --- подгруппа, то она совпадает с .

Доказательство. Множества и тоже густые и плотные, поэтому пересечение непусто (см. п. 8.2).

Если --- полугруппа из , то .

1.3 Компоненты алгебраической группы

Пусть --- алгебраическая группа матриц. Невырожденные части компонент её подлежащего многообразия называеются компонентами группы . наличие в групповой структуры позволяет высказать о компонентах ряд важных утверждений, отсутствующих в случае произвольного многообразия.

1.3.1 Теорема. Пусть --- алгебраическая группа матриц. Её компонента , содержащая единицу, единственна и является нормальной подгруппой. Остальные компоненты --- смежные классы по (в частности, они являются связными компонентами группы в полиномиальной топологии). --- единственная связная замкнутая подгруппа конечного индекса в . Аннулятор компоненты связан с аннулятором всей группы следующим образом:

для некоторого , зависящего от

, где --- аннулятор единицы в , --- некоторый многочлен из .

Доказательство. а) Пусть --- общее поле определения всех компонент группы . Пусть , содержат единицу , , --- их независимые общие точки над и , . Имеем специализации

над , откуда , , . Этим доказана единственность компоненты .

б) Очевидно, что отображения

являются гомеоморфизмами пространства . Так как инвариантна относительно них, то --- нормальная подгруппа группы .

в) Пусть . Тогда при фиксированном --- снова все компоненты группы . В частности, , . Этим доказано, что --- смежные классы по и, значит, связные компоненты группы .

г) Если --- связная замкнутая подгруппа группы , то, предыдущему, . Если, кроме того, конечного индекса, то она той же размерности, что и , потому совпадает с .

д) Для каждого возьмем многочлен

Пусть --- точка из , в которой . Рассмотрим многочлен

Он искомый. В самом деле, очевидно, . Оба включения справа налево очевидны (использовать простоту идеала ). Остается доказать включение

Пусть , . Имеем:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы