85497 (612495), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Если матрица существует, то условию (12) в терминах линейных преобразований отвечает условие

означающее, что --- преобразование, обратное к . существует тогда и только тогда, когда --- биективное преобразование. При этом определено однозначно. Так как , то биективность означает, в частности, что

Пусть теперь --- какое-то биективное линейное преобразование из в . Обратное к нему преобразование существует, но, вообще говоря, не ясно, является ли оно линейным. Чтобы убедиться в линейности , мы введем векторы-столбцы

и применим к обеим частям этих равенств преобразование . В силу его линейности получим

Так как , то

откуда, в соответствии с импликацией (13), находим, что , --- нулевые векторы. Таким образом, выполнены свойства (i), (ii) из 3.1, определяющие линейные отображения. Имеем , где --- некоторая матрица. Переписав условие ( ) в виде (см. (8)) и снова воспользовавшись теоремой 1, мы придем к равенствам (12).

Итак, матрица, обратная к , существует в точности тогда, когда преобразование биективно. При этом преобразование линейно. Биективность равносильна условию, что любой вектор-столбец записывается единственным образом в виде (1)

где --- столбцы матрицы (сюръективность приводит к существованию , для которого , а инъективность дает единственность : если , то , откуда, согласно (12), ). Значит, совпадает с пространством столбцов матрицы , так что .

Если матрица, обратная к , существует, то, согласно вышесказанному, она единственна. Ее принято обозначать символом . В таком случае (см. ( ))

Квадратную матрицу , для которой существует обратная матрица , называют невырожденной (или неособенной). Невырожденным называют и соответствующее линейное преобразование . В противном случае матрицу и линейное преобразование называют вырожденными (или особенными).

Резюмируем полученные нами результаты.

3.3.2 Теорема. Квадратная матрица порядка является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14).

Следствие. Невырожденность влечет невырожденность и . Если --- невырожденные --- матрицы, то произведение также невырождено и .

Для доказательства достаточно сослаться на симметричность условия .

Нами получено довольно много правил действий с квадратными матрицами порядка . Имеются в виду, ассоциативность (следствие теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще внимание на так называемые законы дистрибутивности:

где , , --- произвольные матрицы из .

Действительно, полагая , мы получим для любых равенство (используется дистрибутивность в ):

левая часть которого дает элемент матрицы , а правая --- элементы и матриц и соответственно . Второй закон дистрибутивности (16) проверяется совершенно аналогично. Необходимость в нем обусловлена некоммутативностью умножения в . Законы дистрибутивности

для линейных отображений , , из в можно не доказывать, ссылаясь на соответствие между отображениями и матрицами, но можно, в свою очередь, выводить (16) из ( ), поскольку в случае отображений, рассуждение столь же просто.

Заключение

Таким образом, в данной курсовой работе мы доказали, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса. В работе была доказана теорема: Для любой прямоугольной -матрицы справедливо равенство (это число называется просто рангом матрицы и обозначается символом ).А также было получено эффективное средство для вычисления ранга матрицы , устраняющее необходимость приведения к ступенчатому виду, доказана теорема: Квадратная матрица порядка является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14) и следствие этой теоремы: невырожденность влечет невырожденность и . Если --- невырожденные --- матрицы, то произведение также невырождено и .

Список использованных источников

1. Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 256с.

2. Русаков С.А., Алгебраические -арные системы. Минск, 1987. - 120с.

3. Кон П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.

4. Ходалевич А.Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр// Вопросы алгебры.-1996.-Вып.10 с.144-152

5. Mонaxов В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным.- В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника, 1975, с. 70 - 100.

Характеристики

Список файлов курсовой работы